Первое достаточное условие перегиба.

После того как найдены все , которые могут быть абсциссами точек перегиба, следует воспользоваться первым достаточным условием перегиба графика функции.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке , имеет в ней касательную (можно вертикальную) и эта функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах этой окрестности слева и справа от , вторая производная имеет разные знаки, то  является точкой перегиба графика функции.

Как видите первое достаточное условие не требует существования второй производной в самой точке , но требует ее существование в окрестности точки .

Второе достаточное условие перегиба.

Если , а , тогда  является абсциссой точки перегиба графика функцииy=f(x).

Третье достаточное условие перегиба.

Пусть , а , тогда если n – четное число, то  является абсциссой точки перегиба графика функции y=f(x).

35 асимптоты

Нахождение асимптот графика основано на следующих трех теоремах.

Теорема о вертикальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена в некоторой окрестности точки x₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из односторонних пределов функции равен бесконечности, т.е.Тогда прямая x = x₀ является вертикальной асимптотой графика функции у = f(х).

Очевидно, что прямая х = х₀ не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке х₀, так как в этом случае . Следовательно, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения.

 

Теорема о горизонтальной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции . Тогда прямая у = b есть горизонтальная асимптота графика функции.

Замечание. Если конечен только один из пределов , то функция имеет соответственно левостороннюю либоправостороннююгоризонтальную асимптоту.

 

В том случае, если , функция может иметь наклонную асимптоту.

Теорема о наклонной асимптоте. Пусть функция у = f(х) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы. Тогда прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции.

Асимптоты функции

Определение асимптот функции не такое и трудное занятие если Вы хорошо знаете ряд правил и имеете добрые знания вычисления пределов. Если же не умеете находить пределы то наверстывать придется много, но научиться можно.

Прямая называется асимптотой кривой если точка кривой неограниченно приближается к ней при росте абсциссы или ординаты. Асимптоты разделяют на вертикальные, наклонные (горизонтальные) асимптоты.

Вертикальные асимптоты

График функции  при аргументе  котрый стремится к точке  имеет вертикальную асимптоту, если предел функции в ней бесконечен

Кроме этого точка  является точкой разрыва II рода, а уравнение вертикальной асимптоты имеет вид

Наклонные асимптоты

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид

где  - пределы, которые  вычисляются по правилу

Если оба пределы существуют и конечны то функция имеет наклонную асимптоту, иначе - нет. Следует отдельно рассматривать случаи, когда аргумент стремится к бесконечности () и минус бесконечности ().