otvetiki_peredel

15. ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ САУ. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ.

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие.

Говорят, что система устойчива "в малом", если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива "в большом", когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

16. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Критерий Рауса: Раус предложил критерий устойчивости в виде алгоритма, по которому заполняется таблица коэффициентов характеристического уравнения:

1.В первой строке записываются коэффициенты с четными индексами в порядке их возрастания

2.Во второй строке - с нечетными

3.Остальные элементы таблицы определяются по формуле:

Сk,i = Ck+1, i-2 + riCk+1, i-1 , где ri = C1, i-2/ C1, i-1 k – номер строки

4. число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения Критерий Рауса: Чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы

элементы первого столбца были положительны. Иначе система неустойчива, а количество правых корней равно числу перемен знака в первом столбце.

Критерий Гурвица: Из характеристического уравнения строится определитель Гурвица:

1.По главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты по порядку

2.От каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы так, чтобы индексы убывали сверху вниз

3.На место коэффициентов с индексами меньше 0 или больше n ставятся нули. Критерий Гурвица: Чтобы система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя были положительны.

17. ЧАСТОТНЫЕ КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Критерий Михайлова

Все элементарные вектора изображаются на комплексной плоскости. Задаваясь изменением частоты от до будем наблюдать поворот единичных векторов. Анализ их изменения показывает, что устойчивые вектора поворачиваются отлично от неустойчивых. Это наблюдение позволило сделать вывод о значении угла поворота устойчивой системы в зависимости от числа правых и левых корней (левыми считаются устойчивые корни, а правыми – неустойчивые корни).

При изменении частоты вектор будет изменяться как по величине, так и по направлению, описывая своим окончанием некоторую кривую, называемую кривой Михайлова или годографом Михайлова.

Критерий Михайлова: для того, чтобы САУ была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова, начинаясь на вещественной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно n-квадрантов комплексной плоскости, нигде не обращаясь в нуль (n – степень характеристического полинома (уравнения)).

Устойчивая САУ

Неустойчивая САУ

Критерий устойчивости Найквиста: если разомкнутая САУ неустойчива, то для того, чтобы замкнутая система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от до охватывала точку с координатами в положительном направлении - раз (где число правых корней характеристического уравнения разомкнутой системы)

18. УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ, ОБЛАДАЮЩИХ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Значительное число объектов описываются математической моделью, в состав которой входит звено запаздывания. Общая передаточная функция такой системы состоит из произведения передаточной функции линейной части системы и передаточной функции

звена запаздывания

запаздывания.

Звено чистого запаздывания не изменяет амплитуду АФЧХ, но создает дополнительный отрицательный сдвиг по фазе, зависящий от частоты. Устойчивость САУ с запаздыванием наиболее просто определить по критерию Найквиста, АФЧХ такой

системы строится следующим образом: сначала строят годограф , а затем

каждую i-тую точку годографа доворачивают на угол по часовой стрелке. Анализируя устойчивость рассмотренных систем необходимо бывает установить значение запаздывания, при котором система находится на границе устойчивости (критическое время запаздывания). Определяется из следующего выражения:

Метод D-разбиений

На практике бывает необходимо оценить с помощью какого - либо критерия устойчивости всю область устойчивости по параметрам.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

Комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в виде вектора на

плоскости Конкретное численное значение D(j) зависит от частоты, и при изменении в диапазоне от - до + конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D - разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать также как отображение мнимой оси плоскости корней).

Для определения устойчивости необходимо выбрать по одному значению D в каждой из областей и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент передачи, постоянная времени), который может иметь только вещественные значения.

19. ПОНЯТИЕ КАЧЕСТВА САУ. ОСНОВНЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА.

Качество работы систем автоматики характеризует точность ее работы как в установившемся, так и переходном режимах.

Качество работы системы автоматики можно оценить по виду переходного процесса и по его составляющим и . В связи с чем различают две группы показателей качества:

1)показатели качества переходного процесса ;

2)показатели качества, характеризующие вынужденную составляющую и определяющие точность воспроизведения предписанной величины.

Точность системы в установившихся режимах оценивается с помощью статических и динамических ошибок. Эти ошибки по аналогии можно назвать показателем качества системы в установившихся режимах. Совокупность показателей качества переходного процесса и установившихся режимов называется показателями качества системы в целом.

В зависимости от свойств системы переходный режим может оказаться достаточно быстрым или медленным, монотонным или колебательным. Для оценки поведения системы в переходном режиме вводятся динамические показатели качества, т. е.

численные оценки быстродействия и колебательности системы.

Для количественной оценки быстродействия систем используется также понятие степени устойчивости, которой называется положительное число, соответствующее расстоянию от мнимой оси до ближайшего к ней корня pi.

20. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ. ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ САУ.

Нелинейность считается слабой, если она может быть заменена линейным элементом без изменения принципиальных особенностей системы, причем процессы в такой линеаризованной системе качественно не должны отличаться от процессов в реальной системе. Нелинейность является существенной, если подобная замена невозможна. В этом случае нелинейные статические характеристики являются разрывными или близкими к разрывным функциями и процессы в линеаризованной и реальной системах сильно отличаются.

1 Колебания переходного процесса в нелинейных системах могут отличаться от входного гармонического сигнала и по форме, и по частоте.

2 В линейных системах частотные характеристики не зависят от амплитуды входного сигнала и полностью определяются свойствами системы.

3 В нелинейных системах условия устойчивости зависят от величины внешнего воздействия: система устойчива при одних значениях воздействий и неустойчива при других его значениях.

Простейшими нелинейными элементами являются статические нелинейности, у которых выходная переменная зависит только от входной переменной, причем, эта

зависимость строго однозначна: Такие нелинейности называются типовыми. Наиболее часто встречаются следующие типовые нелинейности:

1Усилительное звено с зоной нечувствительности. Такими характеристиками обладают некоторые схемы электронных, магнитных и гидравлических усилителей в области малых входных сигналов.

2Усилительное звено с ограничением амплитуды. Подобными характеристиками обладают практически все реальные усилители, ограниченные по мощности в области больших входных сигналов.

3Двухпозиционное реле.

4Двухпозиционное реле с зоной возврата. Такая нелинейная характеристика типична для двухпозиционных переключающих элементов, например, электромагнитных реле

21.МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ И ИХ ТИПЫ.

Метод фазовой плоскости — графоаналитический метод исследования динамических

систем, приводимых к уравнениям вида. Обычно метод применяется для исследования нелинейных систем, в случаях, когда линеаризация приводит к неудовлетворительным ошибкам, либо когда линеаризация значительно

ограничена в применимости по времени.

С помощью метода находят характеристики особых точек, изолированных замкнутых траекторий и сепаратрис, что в свою очередь позволяет оценить динамику разрабатываемой или исследуемой нелинейной динамической системы в широком диапазоне возможных начальных условий.

Фазовый портрет системы, устойчивой в большом, и неустойчивой в малом. Эллипс выделенный жирным — устойчивый предельный цикл, характеризующий автоколебания, и в данном случае являющейся сепаратрисой.

Особые точки и их типы.

22. МЕТОД ПРИПАСОВЫВАНИЯ

Метод припасовывания состоит в том, что линейные дифференциальные уравнения решаются в общем виде отдельно для каждого участка процесса, на котором они справедливы. Затем на каждом участке в полученных решениях произвольные постоянные определяются таким образом, чтобы все соседние участки правильно состыковывались друг с другом. Это делается следующим образом: по заданным начальным условиям процесса определяются произвольные постоянные в общем решении для первого участка. Значения фазовых координат в конце первого участка служат начальными условиями для второго участка и т. д.

Уравнение объекта: уравнение регулятора:

Общее уравнение замкнутой системы имеет вид:

23. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОЙ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

Пусть входной сигнал нелинейного звена х(t) = А sinωt.

Выходной сигнал у(t) = Ф(А sinωt) будет периодической функцией времени, которую можно разложить в ряд Фурье. Первая гармоника этого ряда запишется в таком виде

где коэффициенты гармонической линеаризации определяются по формулам

Выражение можно представить и в другой форме

Если перейти к комплексному виду записи уравнений то будем иметь:

24. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ВТОРЫМ МЕТОДОМ ЛЯПУНОВА

При исследовании устойчивости прямым методом Ляпунова, именуемым также второй методой Ляпунова, предполагается использование непрерывной скалярной функции переменных состояния V(x) совместно с уравнениями состояния

Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V(x) и вычислить производную по времени от этой функции W(x).

Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.

V(x) = V(x1, x2, ..., xn ), (10.3)

тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (10.1) для этой системы.

25. ДИСКРЕТНЫЕ САУ И ОСОБЕННОСТИ ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ

Система управления называется дискретной, если она содержит дискретный элемент. Элемент называется дискретным, если его выходной сигнал квантован по времени или по уровню. Говорят, что сигнал квантован по времени, если он представляет собой последовательность импульсов, и квантован по уровню, если он принимает дискретные значения, т. е. значения, кратные некоторой минимальной величине, называемой уровнем квантования или квантом.

Дискретные системы разделяются на импульсные, цифровые и релейные.

Система управления называется импульсной, если она содержит импульсный элемент — дискретный элемент, преобразующий непрерывный сигнал в импульсный, т. е. в последовательность импульсов. На выходе импульсного элемента сигнал квантован по времени.

Система управления называется цифровой, если она содержит цифровое устройство. На выходе цифрового устройства сигнал квантован по уровню и по времени.

Система управления называется релейной, если она содержит релейный элемент. Релейные системы управления являются существенно нелинейными. Они не подлежат обычной линеаризации.

В импульсном элементе происходит модуляция, т. е. в соответствии с входным сигналом изменяется один из параметров последовательности импульсов на выходе. В зависимости от того, какой параметр изменяется, различают амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ), широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) и другие. При АИМ изменяется амплитуда АИ, а при ШИМ — ширина (длительность) импульса. Импульсную систему управления, содержащую АИМ-элемент, называют АИМсистемой управления, а импульсную систему управления, содержащую ШИМ-элемент,

называют ШИМ-системой управления.