5.5. Стек.

Стек — частный случай линейного односвязного списка, для которого разрешено добавлять или удалять элементы только с одного конца списка, который называется вершиной стека (рис. 5.2). Такой принцип доступа к данным называется LIFO (Last In First Out – «последним пришел – первым вышел»). Голову списка в данном случае называют еще указателем стека (stack pointer –sp, однако в целях общности будем как и прежде придерживаться обозначения h).

Стек имеет важное значение для организации межмодульного взаимодействия, ор­ганизации прерываний, рекурсивных вычислений и еще много других полез­ных применений, с которыми мы позна­комимся в ходе изуче­ния различных алгоритмов.

Удобно все опера­ции со стеком офор­мить в виде процедур и функций и помес­тить в отдельный модуль. Ниже приводится пример такого модуля, в котором информационное поле элемента стека относится к символьному типу. Если нужен стек с другим типом элементов, то в этот модуль необходимо внести соответствующие измене­ния.

UNIT Stack;

INTERFACE

Type u = ^Uzl;

Uzl = Record

i :Char; {информационное поле символьного типа }

L :u;

End;

{ далее h – формальный параметр ! }

Procedure Push ( Var h :u; a :Char ); { включение в стек нового элемента.}

Function Pop ( Var h :u ) :Char; {исключение элемента из стека }

Function Empty ( h :u ) :Boolean; {функция «пустой» стек}

Function Top ( h :u ) :Char; {функция возвращает копию вершины}

IMPLEMENTATION

Procedure Push;

Var t :u;

Begin New(t); t^.i := a; t^.L := h; h := t; End;

Function Pop;

Var t :u;

Begin Pop := h^.i; t := h; h := h^.L; Dispose ( t ); End;

Function Empty; Begin Empty := h = Nil; End;

Function Top; Begin Top := h^.i; End;

End.

5.6. Пример вычисления арифметического выражения с помощью стеков.

Одно из интереснейших применений стека - синтаксический раз­бор и вычисление выражения, например, арифметического. Пусть дана строка, являющаяся записью арифметического выражения. Возможно наличие бинарных операций '+', '-', '*', '/', левой и пра­вой круглых скобок, в качестве операндов для простоты будем ис­пользовать цифры от 0 до 9. Выражение заканчивается знаком '='. Например, допустимым будет выражение 4-2/6*(2+3*6)=. Необхо­димо написать программу, вычисляющую значение этого выраже­ния или выдающую сообщение об ошибке в нем.

Попробуем сформулировать основные положения, которые нам понадобятся для вычисления выражения.

1. Операции выражения в скобках выполняются первыми, т.е. имеют наивысший приоритет. Для выражения, находящегося в скобках, правила вычисления выражения те же, что и для обычного выражения.

2. Наивысший приоритет из четырех возможных арифметичес­ких операций имеют операции умножения и деления. При отсутствии скобок эти операции выполняются раньше, чем сложение и вычитание.

3. Операции с равными приоритетами выполняются в порядке их появления в выражении.

Рассмотрим для начала выражение без скобок, например 8/2+3*4=. Сначала надо выполнить деление, далее - умножение, а затем - сложение. Причем складывать надо результаты первой и второй операций. Будем разбирать выражение по символу. Первый символ 8 - операнд, он нам понадобится позже, поэтому временно поместим его в стек операндов. Следующий символ - знак деления. Мы не знаем, что нам встретится позднее, возможно скобка, поэ­тому надо ли выполнять деление прямо сейчас, мы сказать не можем. Следовательно, поместим на время этот символ в стек опе­раций. Следующий символ - тоже операнд, и мы поместим его в стек операндов. Далее идет знак сложения. Посмотрим, какие опе­рации встречались до сложения, не надо ли их выполнить раньше. На вершине стека операций находится символ операции деления. Операция деления имеет больший приоритет, чем операция сложе­ния, поэтому выполним теперь деление. Для этого вынем знак опе­рации деления из стека операций, а также возьмем из стека операндов два верхних операнда: сначала - правый (2), затем -левый (8). Поделим левый операнд на правый. Получим значение 4. Оно понадобится нам и позже, поэтому временно положим его в стек операндов. Теперь текущим рассматриваемым символом яв­ляется знак сложения. Если в стеке операций есть еще элементы, которые надо выполнить до сложения, то выполним их. Но у нас стек пуст. Какие операции встретятся дальше, мы не знаем, поэтому поместим пока знак сложения в стек операций и перейдем к сле­дующему символу. Это операнд 3, поместим его в стек операндов. Перечислим снизу вверх элементы стека операндов: (4, 3). Далее следует знак умножения. Проверим, не было ли у нас операций, которые должны были быть до него выполнены (например, другое умножение). Верхним элементом в стеке операций у нас является знак сложения, так как умножение должно выполняться раньше, по­местим его в стек над сложением. Таким образом, стек операций выглядит в следующим виде: ('+','*'). Следующий символ - опе­ранд 4. Поместим его в стек операндов, в котором теперь будут храниться уже три элемента: (4, 3, 4). Следующий символ - знак равенства, означающий конец выражения. На вершине стека опе­раций у нас знак умножения. Выполним эту операцию, вынув ее из стека и взяв два верхних операнда из стека операндов. Левый операнд у нас 3, а правый - 4. Результатом умножения будет 12. Поместим этот результат в стек операндов, теперь там два элемен­та: (4, 12). На вершине стека операций находится знак сложения. Выполним эту операцию. Левым операндом будет 4, правым - 12. Результатом будет 16, поместим 16 в стек операндов. Стек операций пуст, значит, в стеке операндов у нас находится результат. Удалим его из стека и выведем на экран. У нас получился верный результат вычисления выражения 8/2+3*4.

Заметим, что для элементов стека операндов неудобно исполь­зовать тип Char, как для элементов стека операций. Целесообразно элементы стека операндов объявить как вещественные числа.

Схема алгоритма:

1

8 / 2 + 3 * 4 =

.8  Sd; ( Sd – стек операндов (данных) )

2. /  So; ( So – стек операций)

3. 2  Sd;

4. + ; смотрим Sо , там /, p( / ) > p( + ), поэтому выполним операцию / ;

8 : 2 = 4  Sd .

5. Смотрим So. Если So ≠Ǿ и p(операции) > p( + ), то эти операции

должны быть выполнены. Но у нас So= Ǿ, поэтому

+  So.

6. 3  Sd;

7. * : смотрим So → там + ; так как p ( + ) < p( * ), поэтому

*  So;

8. 4  Sd;

9. = конец выражения.

4 * 3 = 12  Sd;

4 +12 = 16  Sd;

Sd  Ответ =16

Теперь посмотрим, какие необходимо выполнить действия, если в выражении есть скобки. В качестве примера разберем выражение 4*(2+3)=. Первый символ - операнд. Поместим его в стек операн­дов. Следующий символ - знак умножения. Операций, которые надо было выполнить до него, у нас нет, поэтому поместим этот символ в стек операций. Далее следует левая скобка. Это означает, что то, что будет записано далее, должно вычисляться раньше, чем то, что мы рассматривали до сих пор. Поместим левую скобку в стек операций, состояние стека: ( '*','(' ). Далее у нас следует операнд. По­местим его в стек операндов, состояние стека операндов: (4, 2). Сле­дующий символ - знак сложения. На вершине стека находится скобка, таким образом, у нас нет ничего, что надо было выполнить до сложения. Поместим сложение в стек операций, который теперь содержит три элемента: ( '*','(','+' ). Следующий символ - операнд. Поместим его в стек операндов, который теперь имеет следующее содержимое: (4, 2, 3). Далее у нас идет правая скобка, следователь­но, выражение в скобках на этом заканчивается, надо его вычис­лить. Верхней операцией у нас является сложение, выполним его. В стеке операций у нас теперь два элемента: ('*', '(' ), в стеке опе­рандов – тоже два: (4, 5). Выполним все операции, которые содер­жались в скобках, удалим из стека операций левую скобку (если ее в стеке нет, значит, в выражении была допущена ошибка). Перей­дем теперь к следующему символу. Это знак '=', означающий конец выражения. Выполним верхнюю операцию в стеке – умножение. Те­перь стек операций у нас пуст, а в стеке операндов хранится число 20. Это и есть результат вычисления нашего выражения.

Итак, для каждого символа в выражении предусмотрены раз­личные действия, причем действия с операциями зависят не только от самой операции, но и от того, что находится на вершине стека операций. Рассмотрим возможные варианты.

Для символов '+' и '-' правила одинаковы:

1. Если стек пуст или верхний элемент - левая скобка, поместим операцию в стек и перейдем к следующему символу.

2. Если на вершине стека операция с равным приоритетом, вы­полнить ее, поместить рассматриваемую в данный момент опера­цию в стек и перейти к следующему символу.

3. Если на вершине стека операция с высшим приоритетом, вы­полнить эту операцию. Так как возможно, что до сложения или вы­читания встретилась не одна операция, которая должна быть выполнена раньше рассматриваемой в данный момент, то к следующему символу пока не переходим.

Правила для операций умножения и деления (для символов '*' и '/').

1. Если стек пуст или на вершине находится левая скобка или операция с меньшим приоритетом, операция помещается в стек, и переходят к следующему символу.

2. Если на вершине стека находится операция с равным при­оритетом, необходимо выполнить ее и поместить рассматриваемую в данный момент операцию в стек и перейти к следующему сим­волу.

В случае левой скобки необходимо добавить символ в стек опе­раций и перейти к следующему символу.

В случае правой скобки возможны следующие варианты:

1. Стек пуст. Следовательно, не хватает левой скобки, т.е. вы­ражение ошибочно.

2. На вершине - левая скобка. Следовательно, выражение в скобках кончилось, удаляем левую скобку из стека и переходим к следующему символу.

3. На вершине стека - арифметическая операция. Вынимаем опе­рацию из стека и выполняем ее.

И наконец, рассмотрим действия, необходимые для обработки символа конца выражения.

1.Если стек пуст, то выражение вычислено. Следовательно, нужно удалить из стека операндов результат и вывести его.

2. На вершине - левая скобка. Следовательно, левых скобок в выражении было больше, чем правых, т.е. выражение ошибочно.

3. На вершине стека - арифметическая операция. Необходимо удалить ее из стека и выполнить.

Итак, у нас шесть возможных вариантов действий. Для выбора того или иного действия необходимо проверить сочетание состо­яния вершины стека операций и рассматриваемый символ. Чтобы ускорить выбор нужной операции, составим матрицу, элементы ко­торой будут соответствовать номеру действия, необхо

		текущая операция из входной строки
		=	(	+	-	*	/	)
вершина стека операций	пусто	5	1	1	1	1	1	0
	(	0	1	1	1	1	1	3
	+	4	1	2	2	1	1	4
	-	4	1	4	4	2	2	4
	*	4	1	4	4	2	2	4
	/	4	1	2	2	1	1	4
Табл. 5.2. Таблица решений для выбора действия.

димого при данном состоянии стека и данной операции (табл.5.2.). Состояние стека оп­ределяется номером строки, операция - номером столбца. Обозна­чим состояние ошибки числом 0, а остальным вариантам присвоим номера от 1 до 5:

0 – ошибка;

1 – положить операцию в стек и перейти к следующему символу выражения;

2 – выполнить верхнюю операцию, положить рассматриваемую операцию в стек и перейти к следующему символу выражения;

3 – извлечь из стека операций верхний элемент и перейти к следующему символу выражения;

4 – выполнить верхнюю операцию;

5 – состояние конца выражения.

Воспользуемся процедурами, описанны­ми в модуле Stack для работы со стеком операций и напишем аналогичный модуль для работы со стеком данных. Далее составим программу вычисления арифметического выражения.

Program Compute;

Uses CRT, So, Sd; { So –стек для знаков операций;

Sd – стек для данных. }

Const tab:Array[0..5,0..6] Of Byte =( ( 5, 1, 1, 1, 1, 1, 0 ),

( 0, 1, 1, 1, 1, 1, 3 ),

( 4, 1, 2, 2, 1, 1, 4 ),

( 4, 1, 2, 2, 1, 1, 4 ),

( 4, 1, 4, 4, 2, 2, 4 ),

( 4, 1, 4, 4, 2, 2, 4 ) );

Var ho :w; h :u; {указатели для стеков операций и данных}

v :String; {в v исходное арифметическое выражение }

Ok, f :Boolean; {флаги корректности и завершения}

j, k :Integer; c :Char; res, x :Real; {рабочие переменные}

.......................................................................................................................................

Function NumAct ( sp :w; op :Char ) :Byte;

{ возвращает номер действия из таблицы tab; op – операция из вх. строки v }

Var i :Byte;

Begin

If EmptyO(sp) Then i := 0 Else i := Pos ( TopO(sp), '( + - * / ) ' );

NumAct := tab [ i, Pos( op, ' = ( + - * / ) ' ) – 1 ];

End;

Function Calc ( op :Char; Var sp: u ) :Boolean;

{вычисляет операцию ор, результат помещает в стек данных;

если успешно, то возвращает True.}

Var x, y :Real;

Begin

Calc := True;

If Empty( sp ) Then Begin Calc := False; Exit; End;

y := Pop ( sp );

If Empty( sp ) Then Begin Calc := False; Exit; End;

x := Pop ( sp );

Case op Of

'+': x := x + y;

'-': x := x - y;

'*': x := x * y;

'/': If y=0 Then Calc := False Else x := x / y;

End;

Push ( sp, x );

End;

.......................................................................................................................................

Begin { головная программа}

ClrScr;

v := ' 4 * ( 2 + 3 ) / 9 = ' ;

ho := Nil; h := Nil;

j := 1; Ok := True; f := False;

While Not f Do

If v[j] In ['0'..'9']

{если v[j] операнд, то положить его в стек, иначе вып-ть действие из tab}

Then Begin Val ( v[j], x, k ); Push ( h, x ); Inc( j ); End

Else If v[ j ] In [ '(', '+', '-', '*', '/' , ')', '=' ]

Then { если v [ j ] есть операция}

Case NumAct( ho, v[j] ) Of

{ошибка в выражении} 0: Begin Ok := False;

f := True;

End;

{операцию в стек} 1: Begin PushO ( ho, v[j] ); Inc( j ); End;

{выч-ть верх операцию} 2: Begin Ok := Calc ( PopO (ho), h );

f := Not Ok;

{а текущю оп-цию в стек} PushO ( ho, v[j] );

Inc( j );

End;

{ ' ( ' из стека  } 3: Begin c := PopO ( ho );

Inc( j ) ;

End;

{ выч-ть верх. оп-цию} 4: Begin Ok := Calc ( PopO(ho), h );

f := Not Ok;

End;

{конец выражения} 5: Begin res := Pop ( h );

Ok := Empty ( h ) And ( j >= Length( v ) );

f := True;

End;

End; {Case}

If Ok Then Writeln ( v, res :10 :6 )

Else Write ( 'ошибка в выражении или деление на­  0 ' );

Readkey;

Еnd.