Задание 3. Расчет балок на прочность при плоском изгибе

Стальная балка постоянного поперечного сечения нагружена двумя силами Р₁ , Р₂ и внешним изгибающим моментомМ(схемаана рис. 11 и 12) или силойР₁ , моментомМ и распределенной нагрузкой интенсивностьюq(схемабна рис. 11 и 12).

Требуется:

– определить реакции опор, выполнив проверку полученных значений;

– построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, записав их аналитическое выражение для каждого из участков;

– определить положение опасного сечения балки и внутренние силовые факторы, действующие в нем;

– из расчета на прочность по нормальным напряжениям при изгибе подобрать для каждой схемы нагружения размеры поперечного сечения для трех вариантов изготовления балки (для схемы апоперечное сечение имеет вид круга диаметромd, прямоугольника с определенным соотношением высотыhи шириныb, двутавра, а для схемыб – кольца с заданным отношением внутреннегоdи наружногоDдиаметров, квадрата и швеллера);

– сравнить массы полученных для каждой схемы балок и выбрать наиболее экономичное сечение.

Геометрические характеристики сечений приведены в приложении.

Номер схемы соответствует последней цифре варианта, а номер строки в таблице 3 – первой цифре варианта.

Таблица 3

Исходные данные для расчета балки при изгибе

Первая цифра варианта	P1, кН	P2, кН	M, к	q, кН/м	a, м		b, м	c, м	h /b	d/D	[σ], МПа
1	20	15	60	20	1,1		2,0	1,4	1,5	0,60	160
2	30	10	70	40	1,2		1,8	1,5	2,0	0,70	180
3	40	20	80	30	1,4		1,6	1,6	2,5	0,80	200
4	25	30	90	10	1,5		1,5	0,8	3,0	0,90	220
5	35	25	50	40	1,0		2,0	1,6	3,5	0,55	240
6	45	15	30	50	1,2		1,6	1,5	3,0	0,60	220
7	15	35	60	30	1,1		1,8	0,6	2,5	0,70	200
8	50	10	40	30	1,3		1,5	1,2	2,0	0,80	180
9	25	20	70	40	1,2		2,2	0,8	1,5	0,90	160
0	15	30	80	20	1,4		2,1	1,3	3,5	0,75	140

Рис. 11. Схемы нагружения балок

Рис. 12. Схемы нагружения балок

Пример выполнения задания.Дано: схема балки (рис. 13);

На изгиб работают балки, валы, оси и другие детали различных конструкций. В качестве примера можно привести межэтажные перекрытия зданий и сооружений, консольные балки балконов и козырьков, мостовые балки и т. п. В данной работе рассмотрен изгиб брусьев, имеющих хотя бы одну плоскость симметрии, а плоскость действия нагрузок совпадает с ней.

При поперечном изгибе в любом поперечном сечении возникают деформации растяжения и сжатия, сдвига. Основой расчета на прочность большинства балок является расчет по нормальным напряжениям. В отличие от деформаций при центральном растяжении и сжатии напряжения, возникающие при поперечном изгибе, неравномерно распределяются по площади поперечного сечения и зависят не только от его площади, но и от формы сечения. Поэтому для экономически обоснованного расчета необходимо выбрать рациональные размеры и форму сечения.

1. Определение реакций опор балки от заданной нагрузки.

Покажем внешние силы, приложенные к ферме: пары сил с моментами и; силуР; распределенную нагрузку интенсивностьюqи реакции опорАиВ(рис. 13).

Реакция в опоре А (шарнирно-неподвижная опора) раскладывается на две составляющие – Z_А и Y_А; в точке В реакция направлена перпендикулярно поверхности установки катка – R_B.

Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

Из этих уравнений Z_А = 0 кН; Y_А= 30 кН;R_B= 30 кН.

Для проверки правильности вычислений составим уравнение моментов сил относительно точки В:

то есть реакции опор найдены верно.

Расчетная схема балки приведена на рис. 14.

2. Построение эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов .

Разбиваем балку на участки. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены сосредоточенные силы, моменты и начинает или заканчивает действие распределенная нагрузка. Рассматриваемая балка делится на три участка.

Запишем уравнения для определения внутренних силовых факторов для каждого из участков.

I участок():

Рис.15.УчастокI

Отсюда

На границах участка:

при м

при

II участок():

Рис. 16. УчастокII

Отсюда

На границах участка:

при

при

Так как поперечная сила Q₂ на участке меняет знак, то эпюра изгибающего момента в этом сечении имеет минимум или максимум. ПриQ₂= 0 координатам. Значение изгибающего момента в этом сечении:

III участок():

Рис. 17. УчастокIII

Отсюда

На границах участка:

при м

при

По полученным значениям строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 14).

3. Определение положения опасного сечения.

Опасное сечение расположено в том месте, где модуль изгибающего момента имеет максимальное значение. В рассмотренном примере оно расположено на границе второго и третьего участков, где

4. Определение расчетного осевого момента сопротивления сечения.

Из условия прочности по нормальным напряжениям

находим расчетный осевой момент сопротивления сечения балки с учетом того, что [σ] = 190 МПа:

1. Определение размеров наиболее распространенных сечений балок.

5.1. Круг:

5.2. Квадрат:

5.3. Прямоугольник с соотношением сторон h/b = 2:

5.4. Кольцо с соотношением α = d/D= 0,7:

5.5. Двутавр: по таблице сортамента прокатной стали (ГОСТ 8239 – 89) подбираем двутавровое сечение с моментом сопротивления большим или равным расчетному. В данном случае это двутавр №27, у которого

2. Сравнение масс полученных балок.

Для выбора наиболее экономичного варианта изготовления сравним массы балок различного поперечного сечения. При прочих равных условиях массы балок относятся так же, как и площади их поперечных сечений:

Таким образом, наиболее выгодной является балка двутаврового сечения, масса которой, а следовательно, и стоимость, в 4,39 раза меньше, чем у балки круглого сечения.