6. Найдите решение однородной системы уравнений.

Находим определитель матрицы системы:

Так как однородная система линейных уравнений всегда совместна, но в нашем случае , то данная нам однородная система уравнений имеет множество решений. Так как находится минор второго порядка то Поэтому мы можем этот минор считать базисным, а соответствующие выбранным коэффициентам переменные – базисными переменными. В нашем случае переменные – базисные, соответственно переменная – свободная. Чтобы найти общее решение системы выразим базисные переменные через свободные.

Выписываем укороченную систему уравнений, соответствующую выбранному базисному минору:

Перепишем эту систему, учитывая, что свободным переменным можно придавать произвольные значения. Поэтому пусть , тогда укороченная система примет вид:

Так как количество уравнений укороченной системы , количество переменных укороченной системы ранг матрицы из коэффициентов равны между собой, , то укороченная система уравнений имеет единственное решение. Найдем это решение, например, по формулам Крамера:

Теперь находим значения переменных используя формулы Крамера:

Окончательно получаем следующее общее решение исходной системы:

Ответ:

Решение типового варианта повышенной сложности:

1. Выполните указанные действия:

Будем проводить вычисления по действиям:

Ответ:

2. Найдите значение матричного многочлена f(A):

Найдем составляющие элементы нашего многочлена:

Ответ:

3. Решите уравнение или неравенство:

Левая часть данного матричного уравнения представляет собой определитель третьего порядка, поэтому раскроем определитель, например, по правилу треугольников.

Находим значения переменных, для которых сохраняется равенство нулю:

Ответ:

4. Решите матричное уравнение:

В общем виде данное нам матричное уравнение описывается формулой решение которого можно найти таким образом:

Находим матрицы обратные для используя формулы:

Ответ:

5. Проверьте систему на совместность и решите ее тремя способами:

• методом Гаусса;

• матричным методом;

• методом Крамера:

Проверим систему уравнений на совместность по теореме Кронекера-Капелли, то есть покажем, что ранг матрицы из коэффициентов равен рангу расширенной матрицы :

.

Найдем ранг каждой матрицы, приводя каждую к ступенчатому (треугольному) виду, используя метод неопределенных коэффициентов:

Перечислим элементарные преобразования, которые позволят нам привести расширенную матрицу к ступенчатому виду:

• получаем нулевые элементы в первом столбце второй и третьей строк:

;

.

• получаем нулевой элемент во втором столбце третьей строки:

• Заметим, что элементы последней строки кратны числу 776, поэтому сократим элементы этой строки на указанное число:

Выполнение указанных действий предлагаем читателю провести самостоятельно. Результаты вычислений позволяют нам сделать следующие записи:

По виду последней матрицы, имеющей ступенчатый вид, мы можем определить ранг матриц Получаем, что:

Так как ранги этих матриц равны, то система линейных уравнений совместна, то есть имеет решение, причем это решение будет единственным, потому что количество уравнений , количество переменных и ранг системы уравнений совпадают:

Найдем решение системы линейных уравнений методом Гаусса.

Суть метода состоит в последовательном исключении переменных, то есть первая переменная исключается из каждого уравнения, кроме первого, вторая переменная – из всех уравнений, кроме второго и так далее. Прямой ход метода Гаусса приводит расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Обратный ход позволяет найти значения всех переменных, начиная с последней.

В нашем случае, расширенная матрица системы уже приведена к ступенчатому виду (при определении ранга), поэтому воспользуемся результатом. Перейдем от последней матрицы к системе уравнений:

На этом месте прямой ход метода Гаусса закончен. Находим значения переменных, входящих в систему, используя обратный ход. Из последнего уравнения находим значение последней переменной, это значение подставляем в предпоследнее уравнение и определяем значение предпоследней переменной и т.д.

Ответ:

Найдем решение системы линейных уравнений матричным методом. Для этого запишем систему линейных уравнений в виде матричного уравнения: где – матрица системы, т.е. матрица из коэффициентов, – столбец свободных членов. Решение такого матричного уравнения ищем в виде:

Ищем обратную матрицу

Транспонируем исходную матрицу и находим алгебраические дополнения этой матрицы:

Составляем присоединенную, а затем и обратную матрицы:

Далее находим решение системы:

Ответ:

Найдем решение системы линейных уравнений методом Крамера, то есть с применением формул: - определитель матрицы из коэффициентов; – определитель, получаемый из Δ, заменой – го столбца на столбец свободных членов. В нашем случае:

Находим значения всех переменных по формулам Крамера:

Ответ: