![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
Раздел VII. Кратные интегралы и теория поля
Глава 16. Двойной интеграл
16.1. Понятие двойного интеграла.
Рассмотрим в
плоскости
замкнутую область
,
ограниченную линией
.
Пусть в области
задана непрерывная функция
.
Разобьем область
на
частей:
называемых площадками. Через
обозначим и площади площадок. В каждой
из площадок возьмем точку
:
.
Обозначим через
значения функции в выбранных точках и
составим сумму произведении вида
(1). Эта сумма называется интегральной
суммой для функции
в области
.
Если
,
то
– объем цилиндра, построенного на
как на основании с высотой
.
Рассмотрим
произвольную последовательность
интегральных сумм, составленных с
помощью
для данной области
:
(2) при различных способах разбиения
области
на части
.
Считаем, что
при
.
При этом справедлива теорема 1:
Теорема 1.Еслинепрерывна в замкнутой области
,
то существует предел последовательности
(2) интегральных сумм (1), если
диаметр площадок
,
(
),
который не зависит ни от способов
разбиения области
,
ни от выбора точек
.
Этот предел
называется двойным интегралом от функции
по области
и обозначается так:
или
,
т.е.
,
– область интегрирования.
Если
,
то
– объему тела, ограниченного поверхностью
,
плоскостью
и цилиндрической поверхностью, образующие
которой параллельны
,
а направляющей служит граница области
.
Теорема 2.Двойной интеграл от суммы двух функцийпо области
равен сумме двойных интегралов по
области
от каждой из функций в отдельности.
Теорема 3.Постоянный множитель можно вынести за
знак двойного интеграла: (
).
Доказательство,аналогично доказательству для определения интеграла.
Теорема 4.Если
областьразбита на две области
и
без общих внутренних точек и функция
непрерывна во всех точках области
,
то
.
Доказательство.Интегральную сумму по областиможно представить в виде:
,
где первая сумма содержит слагаемые,
соответствующие площадкам области
,
вторая – соответствующие площадкам
области
.
Это возможно, т.к. двойной интеграл не
зависит от способа разбиения и общая
граница
и
является границей площадок
.
Теорема справедлива для любого числа слагаемых.
Теорема 5.(теорема о среднем).,
Точка
,
- площадь области
.
Теорема 6.Есливо всех точках области
удовлетворяет неравенствам
,
то
*
,
где
– площадь области
.
16.2. Вычисление двойного интеграла.
Пусть область
такова, что всякая прямая, параллельна,
одной из координатных осей, например,
оси
,
и проходящая через внутреннюю точку
области
,
пересекает границу области в двух
точках. Предположим, что область
ограничена линиями:
,
,
,
,
причем
и функции
и
непрерывны
на отрезке
,
.
Такая область называется правильной в
направлении оси
.
Аналогично, определяется область,
правильная в направлении оси
.
Область, правильную как в направлении
оси
,
так и оси
,
называют правильной.
Пусть
непрерывна в области
.
Рассмотрим
,
который будем называть двукратным
интегралом от
по области
.
В этом выражении сначала вычисляется
определенный интеграл, стоящий в скобках,
при этом считаем, что
,
получаем функцию
:
,
далее вычисляем определенный интеграл
,
который равен постоянному числу.
Пусть область
такова, что одна из функций
не может быть задана одним аналитическим
выражением на всем участке
,
т.е. если
,
то
на отрезке
и
на отрезке
,
тогда
.
Теорема.Двойной
интеграл от непрерывной функциипо правильной области
равен двукратному интегралу от этой
функции по области
:
.
(1)
Замечание 1.
Пусть правильная
в направлении оси
область
ограниченная линиями
,
,
,
,
,
.
Очевидно,
(2).
Для вычисления двойного интеграла его
надо представить в виде двукратного. В
каждом конкретном случаи надо выбрать
формулу (1) или (2) в зависимости от вида
области и подынтегральной функции
.
Пример 1.Изменить порядок интегрирования в
интеграле:.
Очевидно, что
,
,
.
.
Пример 2. Вычислить,
где
- треугольник, ограниченный прямыми
.
.
Замечание 2.Если областьне является правильной ни в направлении
оси
,
ни в направлении
,
то необходимо разбить область
наконечное число правильных областей
и затем найти интегралы по каждой области
и сложить результаты.
16.3. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.
Объем.Как
отмечалось выше, объем цилиндроида,
т.е. тела, ограниченного поверхностью,
плоскостью
и цилиндрической поверхностью,
направляющей для которой служит граница
области
,
а образующие параллельные оси
,
равен
.
Пример.Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
Очевидно, что
.
Замечание 1.Если тело, объем которого ищется,
ограничено сверху поверхностью,
а снизу – поверхностью
,
причем проекцией обеих поверхностей
на плоскость
является область
,
то объем этого тела равен разности
объемов двух цилиндроидов:
.
Формула верна для любых непрерывных
функций
и
,
для которых
.
Площадь плоской фигуры.
Если составить
интегральную сумму для функции
по области
,
то эта сумма равна площади
.
Переходя к пределу, получим:
.
Если область – правильная, то имеем
- формула, рассмотренная ранее.
Пример 2.Вычислить площадь, ограниченную линиями.
Координаты точек пересечения:
,
.
16.4. Двойной интеграл в полярных координатах.
Пусть в полярной
системе координат
задана такая область
,
что каждый луч, проходящий через
внутреннюю точку области, пересекает
границу области не более чем в двух
точках.
ограничена кривыми
,
и лучами
и
,
,
.
Такую область называютправильной.
Пусть в области
задана непрерывная функция
.
Разобьем
на площадки
и составим интегральную сумму
,
точка
.
Из теоремы
существования двойных интегралов
следует, что при
существует предел
интегральной суммы:
.
Т.к. предел интегральной суммы не зависит
от способа разбиения
,
то разобьем
с помощью лучей
и концентрических окружностей:
функции
,
– наибольшее значение
.
Обозначим через
площадку, ограниченную линиями
.
Если площадка
пересекается границей или не лежит в
,
то их не учитываем
и
.
Интегральная сумма
,
где
– произвольная точка площадки
.
Найдем площадь
.
Она равна разности площадей двух
секторов: ощадь
или
,
где
.
Тогда интегральная сумма:
,
– точка площадки
.
Предположим, что
,
тогда
.
Теперь пусть
– формула для вычисления двойного
интеграла в полярных координатах.
Если область
является правильной в полярных
координатах, то
(
).
Пример.Вычислить
объем тела, ограниченного сферойи цилиндром
.
Область интегрирования
– основание цилиндра
- круг с центром в точке
и
радиусом
.
Вычислим
- ту его часть, которая расположена в 1
октанте:
.
В полярных
координатах:
,
,
то уравнение окружности:
или
.
Тогда:
.