Математическая логика

Метод резолюций в логике предикатов

Куценко Дмитрий Александрович 14 июля 2011 г.

Приводятся сведения, отсутствующие в [4], касающиеся реализации метода резолюций в логике предикатов. Введены необходимые определения, рассмотрены такие понятия, как подстановки, их композиции, нахождение множества несогласованности для множества выражений, приведён алгоритм унификации множества выражений. Далее подробно рассматривается нахождение резольвент и сам метод резолюций. Для иллюстрации изложенного приведено множество примеров.

Материал основан на работах [1], [6], [8].

Содержание

1.Метод резолюций в логике предикатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.Подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.Композиция подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.Множество несогласованности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5.Унификация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6.Склейки и резольвенты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.7.Алгоритм метода резолюций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.8. Стратегии метода резолюций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8.1.Стратегия насыщения уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.8.2.Линейная стратегия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.8.3.Стратегия предпочтения более коротких дизъюнктов . . . . . . . . . . . 10

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2. Подстановки

Подстановка — это конечное (возможно, пустое) множество { 1/ 1, . . . , / }, где каждая — предметная переменная, каждый — терм, запись « / » называется подстановочной компонентой и означает, что переменная заменяется термом , причём отличается от , а среди 1, . . . , нет одинаковых переменных. В этом случае называют переменной компоненты / , а — термом / . Подстановки будем обозначать строчными греческими буквами (α, . . . , w). Подстановку, не содержащую элементов, будем называть пустой и обозначать буквой «ε». У каждой непустой подстановки T = { 1/ 1, . . . , / }

имеется множество термов { 1, . . . , } и множество переменных { 1, . . . , }. Подстановка называется фундаментальной, если все термы из её множества термов являются фундаментальными.

Пример 1.4. Следующие множества являются подстановками:

{ ( ) }

T = { ( )/ , / }, σv= / , ( )/ , ( ) , ε = {}.

Пусть даны подстановка T = { 1/ 1, . . . , / } и выражение E. Конкретизацией E посредством T называется операция, состоящая в замене одновременно всех вхождений переменных 1, . . . , на термы 1, . . . , соответственно. Получившееся выражение ET называется T-примером E.

Пример 1.5. Рассмотрим подстановку T = { / , ( )/ , / } и выражение E = ( , , ). В результате конкретизации выражения E посредством подстановки T получим T-пример этого выражения, имеющий вид

T ( )

E = , ( ), .

ET будет называться фундаментальным примером E, если T — фундаментальная подстановка.

1.3. Композиция подстановок

Пусть T = { 1/ 1, . . . , / } и λ = { 1/ 1, . . . , 1/ } — две подстановки. Композицией T и λ называют подстановку T λ, которая получается из множества

{ λ 1, . . . , λ , 1/ 1, . . . , / }

1

вычёркиванием всех подстановочных компонент λ , для которых λ = , а также всех подстановочных компонент / , таких, что { 1, . . . , }.

Пример 1.6. Пусть даны подстановки

T = { 1/ 1, 2/ 2} = { ( )/ , / },

λ = { 1/ 1, 2/ 2, 3/ 3} = { / , / , / }.

Тогда их композиция образуется из следующего множества подстановочных компонент:

Мы вычеркнули подстановочную компоненту λ2 2 = / , так как терм этой компоненты равен её переменной ( λ2 = 2, т. е. = ), затем вычеркнули подстановочные компоненты1/ 1 = / и 2/ 2 = / , так как переменные 1 и 2 содержатся среди множества переменных { 1, 2} = { , } подстановки T. В итоге получаем

T λ = { ( )/ , / }.

Легко убедиться, что ε T = T ε = T для любой подстановки T. Кроме того, композиция подстановок ассоциативна, т. е. (T λ) μ = T (λ μ) для любых подстановок T, λ и μ, поэтому можно опускать скобки при записи кратных композиций подстановок. Также отметим, что для любых подстановок T и σvсправедливо следующее: если для каждого выражения E имеет место равенство ET = Eσv, то T = σv.

Сущность композиции операций подстановки состоит в том, что если E — некоторое выражение, а σv= T λ, то Eσv= ET λ = (ET)λ, т. е. Eσv— это λ-пример ET.

1.4. Множество несогласованности

Если E — множество выражений, то множеством несогласованности множества E называется множество всех тех подвыражений элементов множества E, которые начинаются с того места, где не все выражения из E имеют один и тот же символ.

Пример 1.7. Рассмотрим множество выражений

{ ( ) ( ) }

E = , ( , ), , , ( ), , ( , , ) .

Множество несогласованности для E есть { ( , ), ( ), } .

Ясно, что если множество выражений E содержит более одного элемента, то множество несогласованности множества E также содержит более одного элемента.

1.5. Унификация

Пусть E = {E1, E2, . . . , E } — множество выражений, а T — подстановка. Подстановка T является унификатором E (иначе говоря, T унифицирует E) тогда и только тогда, когда

ET1 = ET2 = . . . = ET .

В этом случае будем считать, что множество ET состоит из одного (уникального) элемента (можно записать, что ET = {ET1}).

Множество выражений унифицируемо, если для него существует унификатор.

Унификатор σvдля множества выражений будет наиболее общим унификатором (НОУ) тогда и только тогда, когда для каждого унификатора T для этого множества существует такая подстановка λ, что T = σv λ.

Для поиска НОУ для конечного унифицируемого множества W непустых выражений разработан алгоритм унификации, который можно записать следующим образом:

Если σv— НОУ для множества выражений E, то говорят, что E является общеунифицируемым множеством.

11. Так как |W | = 1, то σv = { / , ( )/ , ( )/ } НОУ для W .

3 3

Итак, подстановка { / , ( )/ , ( )/ } является НОУ для множества выражений W =

{ ( ) }

( ) ( )

= , , ( ) , , ( ), ( ) .

Пример 1.10. Определим, унифицируемо ли множество выражений

{ ( ) }

W = ( ), ( ) , ( , ) .