5.2. Применение метода статистических испытаний для анализа надёжности сложных систем

5.2.1. Метод статистических испытаний

Метод статистических испытаний (МСИ) - численный метод решения математических задач при помощи имитации случайных величин. Создателями этого метода считают американских ученых Дж. Неймана и С. Улама. Значительный вклад в его популяризацию и развитие внесли отечественные ученые Ю.А. Шрейдер, Н.П. Бусленко, И.М. Соболь. Первые публикации об МСИ относятся к пятидесятым годам прошлого века.

Теоретическая основа метода была известна давно. Однако до появления ЭВМ этот метод не мог найти широкого применения, так как моделирование случайных величин вручную требует больших затрат времени.

К основной области применения МСИ относятся вероятностные задачи, в частности, задача статистического оценивания показателей надёжности. Главной целью МСИ при оценивании показателей надежности является определение средних значений этих показателей, а также вероятностей того, что они будут равны тем или иным величинам. Эта цель достигается в результате многократной имитации, как правило, на ЭВМ, случайных испытаний. Отдельное испытание состоит в определении значений случайных величин по известным законам распределения и на основе определения зависимости показателей надёжности от этих случайных величин расчет его значения. При многократном повторении испытаний образуется выборка значений показателя как случайной величины, аналогичная той, которую можно было бы получить, производя испытания на надёжность или систематизируя данные о ней за период эксплуатации. Таким образом, МСИ заменяет процесс получения статистических данных. Его реализация возможна при условиях, что известны законы распределения аргументов функции, представляющей показатель надёжности, и соответствующая функциональная зависимость. На практике это не всегда так, поэтому МСИ не эквивалентен натурным испытаниям и наблюдениям.

Проиллюстрируем тот факт, что МСИ основывается на использовании зависимостей между отдельными реализациями случайных величин. Если, например, требуется оценить как случайную величину время безотказной работы устройства состоящего из двух последовательно соединенных (в смысле надёжности) элементов, то оно составит

t = min (t′, t″),

где t′, t″ - случайные длительности безотказной работы первого и второго элементов.

Зная законы распределения этих длительностей и определяя путем имитации на ЭВМ их случайные значения можно найти оценку математического ожиданияt по формуле

где N - число имитируемых пар .

Аналогично можно рассчитать оценку дисперсии, построить гистограмму, представляющую опытный (статистический) аналог плотности распределения.

Таким образом, МСИ дает возможность по известным законам распределения случайных величин, представляющих аргументы интересующего специалистов показателя надёжности, определять значения исследуемой функции, их вероятности и находить аналоги законов распределения.

Важно уяснить, что МСИ целесообразно применять только в таких ситуациях, когда по случайным аргументам с известными распределениями нельзя найти характеристики закона распределения функции. В рассматриваемом примере функция случайных аргументов t = min (t′, t″), будучи вообще говоря, достаточно простой, может быть оценена в принципе лишь посредством МСИ и только в частных случаях - аналитически.