3.2 Количественные показатели надежности восстанавливаемых систем

3.2.1 Показатели безотказности

В пределах любого i – го отдельного интервала безотказной работы (рис. 3.1) для восстанавливаемых систем (объектов) справедливы все показатели безотказности, рассмотренные для невосстанавливаемых систем: P(t), Q(t), f(t), (t), T_o, если считать за начальный момент времени t = 0 начало i – го интервала безотказной работы.

Кроме этих показателей безотказности, используются и дополнительные показатели безотказности, учитывающие процессы отказов и восстановлений, характерные именно для восстанавливаемых систем:

1. Параметр потока отказов (t)– отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки:

, (3.1)

где , – математическое ожидание числа отказов n за время t + t и t соответственно.

Для стационарного потока отказов является величиной постоянной, т.е. . Из (3.1) имеем:

.

Статистически параметр потока отказов определяется по формуле:

, (3.2)

где – суммарное число отказов i – го испытуемого образца на интервале времени (от t до t + );

– суммарное число отказов, возникших во всех объектах на интервале времени;

– среднее число отказов на интервале , приходящееся на один испытуемый объект:

(3.3)

2. Средняя наработка на отказ Т_ср (Т_ср= Т_р.ср) – отношение наработки восстанавливаемого объекта к среднему числу его отказов в течение этой наработки:

(3.4)

или для статистического значения

(3.5)

Этот показатель характеризует среднее время безотказной работы между двумя соседними отказами (i – 1) – м и i – м восстанавливаемого объекта.

Для простейшего потока отказов (ординарного, без последействия, стационарного) и получим:

(3.6)

,

, (3.7)

где – суммарное время безотказной работы i – го образца;

– суммарное число отказов i – го образца за время испытаний.

3. Вероятность возникновения (появления) некоторого числа n отказов на интервале времени (0, t) определяется формулой закона Пуассона (для простейшего потока):

,

,

. (3.8)

При числе отказов n = 0 формула (3.8) примет вид:

и будет определять вероятность безотказной работы восстанавливаемой системы за время t.

3.2.2 Показатели ремонтопригодности

1. Вероятность восстановления работоспособного состояния – вероятность того, что время восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного времени t (рис. 3.4):

, (3.9)

Рис. 3.4

Функция представляет собой интегральную функцию распределения случайной величины . С вероятностной точки зрения она идентична рассмотренной ранее функции Q(t) (вероятности отказа) и имеет такие же свойства.

Статистически вероятность определяется по формуле:

, (3.10)

где – число объектов, восстановленных за время t;

– число объектов, поставленных на восстановление.

2. Плотность вероятности восстановления работоспособного состояния объекта (частота восстановления, плотность (закон) распределения времени восстановления ) – дифференциальная функция распределения случайной величины , определяется через производную от интегральной функции:

, (3.11)

где μ – интенсивность восстановления работоспособного состояния объекта.

Установим связь вероятности с характеристикамииμ. Запишем уравнение (3.11) в виде и, после интегрирования обеих частей, получим:

,

. (3.12)

Вероятность является возрастающей экспонентой.

Статистическая оценка показателя :

, (3.13)

где – число объектов, восстановленных в интервале времениt.

3. Интенсивность восстановления объекта за время μ(t) – условная плотность вероятности восстановления объекта в момент времени t при условии, что до этого момента времени t восстановления объекта не произошло:

.

Для экспоненциального закона восстановления (3.12) характеристика μ(t) является постоянной μ(t) = μ в течении времени нормальной эксплуатации и ее точное значение равно:

, (3.14)

где – среднее время восстановления объекта.

Статистически интенсивность восстановления равна:

, (3.15)

где – число не восстановленных объектов за времяt.

4. Среднее время восстановления – математическое ожидание времени восстановления работоспособного состояния объекта (математическое ожидание случайной величины).

Т.к. случайная величина является непрерывной, то

. (3.16)

Приведем интеграл (3.16) к табличному виду , для чего введем следующие обозначенияt = u, ,,. После подстановки значений в (3.16), получим:

. (3.17)

В выражении (3.17) произведение прибудет равно единице, так как привероятностьбудет стремиться к единице быстрее, чем параметрt будет стремиться к бесконечности и . Подстановка нижнего пределаt = 0 даст .

Таким образом, окончательно получим:

. (3.18)

Определим связь между характеристиками Т_в и μ.

Для этого подставим в правую часть уравнения (3.17) значение вероятности и получим:

. (3.19)

Статистическая оценка показателя :

, (3.20)

где – суммарное время, затраченное на восстановление всех возникшихотказов уi – го испытуемого объекта за время t;

– суммарное время восстановления всехобразцов.

Учитывая, что для восстанавливаемых систем число восстановлений равно числу отказов, и каждый испытуемый объект за время испытаний может иметь несколько отказов, то характеристику (для удобства вычисления) можно определить по следующей формуле:

, (3.21)

где – суммарное число отказов, возникших уi – го объекта за время испытаний t.

В формуле (3.21) верхнее значение N_в(t) в знаках суммирования можно заменить числом N_о , т.е. общим числом объектов, поставленных на испытание. В этом случае для не отказавших объектов соответствующие значения ибудут равны 0. Тогда статистическая оценкабудет иметь вид:

. (3.22)

Выражения (3.21) и (3.22) определяют характеристику как среднее время, затрачиваемое на восстановление одного отказа в одном объекте.