1.4. Кинематика вращательного движения

Вращательным называют такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной кривой, называемой осью вращения (рис.1.9).Ось вращения может находиться и вне тела (рис.1.9.б).

Поворот тела на некоторый угол можно задать в виде отрезка, длина которого, а направление совпадает с осью вращения. Для того, чтобы указать, в какую сторону совершается поворот вокруг данной оси, связывают направление поворота и изображающего его отрезка правилом правого винта: направление отрезка должно быть таким, чтобы, глядя вдоль него, мы видели поворот совершающимся по часовой стрелке (рис.1.10). Вектор поворотаявляется не истинным вектором, а псевдовектором.

Векторная величина ,

где –время, за которое совершается поворот, называется угловой скоростью тела. Она направлена по оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта, и представляет собой псевдовектор. Модуль угловой скорости равен.

Вращение с постоянной угловой скоростью называют равномерным. Такое движение характеризуют периодом , под которым понимают время полного оборота. При этом, тогда, и. Число оборотов в единицу времени ( частота обращения) равно.

Подставив , получаем:.

Вектор может изменяться как при изменении скорости вращения тела вокруг оси ( по величине), так и при повороте оси вращения в пространстве ( в этом случаеменяется по направлению). Изменение вектора угловой скорости со временем характеризуется угловым ускорением. Угловое ускорение, также как и угловая скорость, является псевдовектором.

Отдельные точки вращающегося тела имеют различные линейные скорости . Скорость каждой из точек непрерывно изменяет свое направление. Величина скоростиопределяется угловой скоростью вращения телаи расстояниемрассматриваемой точки от оси вращения. Пусть за малый промежуток времени тело повернулось на угол(рис.1.11). Точка, находящаяся на расстоянииот оси, проходит при этом путь. Линейная скорость точки равна. (1.9)

Эта формула связывает модули линейной и угловой скоростей. Найдем выражение, связывающее векторы и. Положение рассматриваемой точки тела будем определять радиус-вектором, проведенным из лежащего на оси вращения начала координатО ( рис.1.12). Из рисунка видно, что векторное произведение совпадает по направлению с вектороми имеет модуль, равный. Следовательно,.

Нормальное ускорение точек вращающегося тела равно .

Если ввести перпендикулярный к оси вращения вектор , проведенный в данную точку тела (рис.1.12), это выражение можно записать в векторной форме . Знак минус поставлен, так как векторы и направлены противоположно.

Будем считать, что ось вращения не поворачивается в пространстве. В этом случае расстояние рассматриваемой точки до оси вращения не меняется, , и взяв производную от выражения (1.9), получаем

Таким образом, нормальное и тангенциальное ускорения растут линейно с увеличением расстояния точки от оси вращения.

В случае сложного вращения, когда тело движется одновременно относительно нескольких осей, необходимо производить сложения угловых скоростей. Рассмотрим движение твердого тела, вра­щающегося одновременно вокруг двух пересе­кающихся осей. Сообщим некоторому телу вращение с угловой скоростью вокруг осиОА (рис. 1.13) и затем эту ось приведем во вра­щение с угловой скоростью вокруг осиOB, неподвижной в К-системе отсчета. Найдем ре­зультирующее движение тела в К-системе.

Введем вспомогательную K'-систему отсчета, жестко связан­ную с осями ОА и ОВ. Ясно, что эта система вращается с угло­вой скоростью , и тело вращается относительно нее с угло­вой скоростью.

За промежуток времени тело совершит поворотвокругоси АО в K'- системе и одновременно поворот вокруг оси ОВ вместе с K'- системой. Суммарный поворот есть = + . Разделив обе части этого равенства на получим

.

Таким образом, результирующее движение твердого тела в K- системе представляет собой чистое вращение с угловой ско­ростью вокруг оси, совпадающей в каждый момент с векто­ром и проходящей через точкуO (рис. 1.13). Эта ось переме­щается относительно K- системы — она поворачивается с угло­вой скоростью вместе с осью ОА вокруг оси ОВ.

Нетрудно сообразить, что даже в том случае, когда угловые скорости и не меняются по модулю, тело будет обладать в K- системе угловым ускорением , направленным, согласно, за плоскость (рис. 1.14).

И последнее замечание. Поскольку вектор угловой скорости удовлетворяет основному свойству векторов — векторному сложению, можно представить как векторную сумму состав­ляющих на определенные направления, т. е. =++..., где все векторы относятся к одной и той же системе отсчета. Этим удобным и полезным приемом часто пользуются при ана­лизе сложного движения твердого тела.

1. 5. ОБОБЩЕННЫЕ КООРДИНАТЫ

Выше отмечалось, что для определения положения материальной точки в пространстве необходимо задать ее радиус-вектор, или три независимых координаты. Для определения положения системы из материальных точек надо задать радиус-векторов, т.е. 3 координат. Число независимых величин, задание которых необходимо для однозначного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы. Эти величины не обязательно должны быть декартовыми координатами. Например, в ряде задач физики удобнее использовать сферические координаты.

Любые s величин , полностью характеризующие положение системы с s степенями свободы, называют ее обобщенными координатами. Производные от обобщенных координат называют обобщенными скоростями.

Для описания положения механической системы вводят систему координат в воображаемом s-мерном пространстве. Его называют конфигурационным или -пространством. По осям этой системы откладывают значения координат . Тогда для каждого момента времени положению системы в обычном пространстве будет соответствовать точка в конфигурационном пространстве. Движению системы в реальном трехмерном пространстве соответствует движение точки в s-мерном пространстве.

Задание обобщенных координат еще не определяет «механического состояния» системы в данный момент времени, т.к. оно не позволяет предсказать положение системы в последующие моменты времени. При заданных значениях обобщенных координат система может обладать произвольными скоростями, и ее положение в следующий момент времени может быть любым. Одновременное же задание всех координат и скоростей полностью определяет дальнейшее движение. С математической точки зрения это значит, что заданием всех координат и скоростей в некоторый момент времени однозначно определяется также и значение ускорений в этот момент. Соотношения, связывающие ускорения с координатами и скоростями – это уравнения движения

Если положение точки определяется только заданием одной координаты, движение называется одномерным.