1.5.Разветвленные цепи. Правила кирхгофа

На практике часто требуется рассчитать разветвленную цепь. Это цепь, содержащая несколько ветвей. Ветвь образуется одним или несколькими последовательно соединенными участками цепи. Место соединения трех или более ветвей называется узлом (рис.4) Ветви, присоединенные к одной паре узлов, называются параллельными. Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, называется контуром (рис.5). Рассчитать электрическую цепь – означает вычислить токи во всех ее ветвях по известным значениям сопротивлений и ЭДС, действующих в ветвях. Этот расчет упрощается, если использовать правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

. (4)

Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Это правило вытекает из уравнения непрерывности, т.е. в конечном счете, из закона сохранения заряда. Действительно, для постоянного тока , тогда поток векторачерез любую замкнутую поверхность, окружающую узел, равна нулю, Но потокравен алгебраической сумме токов, сходящихся в узле, следовательно,. Если ток направлен к узлу, он входит в выражения (4) со знаком «+». Если от узла – со знаком «-».

Второе правило относится к любому выделенному в разветвленной цепи замкнутому контуру и является обобщением закона Ома на разветвленные цепи: (5)

• сумма падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Здесь n – число участков, на которые контур разбивается узлами, - соответственно, сила тока, сопротивление и ЭДСk-того участка.

Для составления уравнений (5) необходимо произвольно выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против нее). Все токи на участках, совпадающие с направлением обхода, считают положительными, несовпадающие – отрицательными. Далее, необходимо учитывать правило знаков для ЭДС источников: если напряженность поля сторонних сил в источнике совпадает с направлением обхода участка (т.е. внутри источника обход связан с перемещением положительных зарядов от катода к аноду), то при подсчете ЭДС этого источника считают положительной, в противном случае – отрицательной (рис.6).

, r , r

1 - + 2 1 + - 2



r = U₁ – U₂ + r = U₁ – U₂ –

а) б)

Рис. 7

На рис.7а) выбрано направление обхода слева на право. Направление тока на участке цепи 1-2 J совпадает с выбранным направлением обхода, поэтому ток входит в уравнение со знаком «+». Сторонние силы заставляют положительные заряды двигаться внутри источника от «-» к «+» и вызывают ток , который течет слева направо. Это направление совпадает с выбранным раннее направлением обхода, поэтому ЭДС ₁₂ = ,положительна.

На рис. 7б) сторонние силы заставляют двигаться положительные заряды от «-» к «+» внутри источника тока и вызывают ток , направленный справа налево (от точки 2 к точке 1). Таким образом, направление тока , создаваемого источником, противоположно выбранному направлению обхода. В этом случае ЭДС учитывается со знаком «-»:₁₂ = - .

При расчете разветвленных цепей постоянного тока рекомендуется:

• произвольно выбрать и обозначить на схеме цепи направления токов во всех участках цепи;

• для каждого узла цепи записать уравнение для токов по первому правилу Кирхгофа;

• выделить в разветвленной цепи всевозможные замкнутые контуры, в каждом контуре произвольно выбрать направления обхода и записать уравнения для напряжений по второму правилу Кирхгофа; при составлении уравнений контуры следует выбирать так, чтобы каждый новый контур содержал хотя бы один участок цепи, не входящий в уже рассмотренные контуры;

• из записанных уравнений выбрать k любых независимых уравнений (k – число неизвестных токов); решая полученную систему, найти значения токов;

• если в результате расчета получается отрицательное значение силы тока на каком-либо участке цепи, это означает, что электрический ток в действительности идет в направлении, противоположном выбранному при расчете.

Рассмотрим пример расчета разветвленной цепи, представленной на рис.6. Выберем направление обхода контура АВСD – против часовой стрелки, а контура AFED –по часовой стрелке. Такой выбор позволяет учитывать ЭДС, действующие в контурах, со знаками «+». Токи в ветвях обозначим ,. В этой цепи два узла –A и D, независимых уравнений по первому правилу Кирхгофа – одно:

(6)

Цепь содержит два независимых контура АВСD и AFED. По второму правилу Кирхгофа уравнения для этих контуров имеют вид:

; . (7)

Решив систему уравнений (6) – (7), находим неизвестные токи.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Для экспериментальной проверки правил Кирхгофа используется лабораторная установка, представляющая собой прибор настольного типа и используемая в двух вариантах. В установке смонтированы:

- стрелочный вольтметр с диапазоном измерений от 0 до 20В (во втором варианте – диапазон от 0 до 3В);

- исследуемая электрическая схема ;

- источник питания, ЭДС которого = 20В (= 3В).

Электрическая схема установки представлена на рис. 8. На лицевой панели установки расположены (рис. 9) гнезда 1 А, В, С, D, Е, тумблер 2 «Сеть», сигнальная лампочка 3, щуп 4 F, подключенный к вольтметру и к кабелю «Земля», шкала вольтметра V 5.

Рис.8.

Источник питания включает в себя последовательно соединенные понижающий трансформатор, выпрямитель тока и стабилизатор.Значения сопротивлений , включенных в цепь, равны: R₁ = 215 Ом; R₂ = 500 Ом; R₃ = 193 Ом; R₄ = 103 Ом; R₆ = 333 Ом; R₇ = 323 Ом; R₈ = 163 Ом.

Питание установки осуществляется от сети напряжением 220 В.

Методика эксперимента состоит в следующем. Последовательно помещая щуп Щ в разные гнезда схемы (А, В, С, D, Е), находят разность потенциалов между каждой из этих точек и точкой F: φ_А - φ_F; φ_В - φ_F и т.д. Учитывая, что потенциал φ_F = 0 («Земля»), получаем: φ_А = φ_А - φ_F; φ_В = φ_В - φ_F и т.д.

По закону Ома имеем:

φ_А – φ_В = I₆R₆;

φ_В – φ_С = I₂R₂; (8)

φ_С – φ_D = I₁R_1,

и т.д. φ_А = . Формулы (8) позволяют рассчитать токи во всех участках цепи.

Рис. 9

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить в сеть вилку сетевого шнура установки.

2. На лицевой панели установки включить тумблер «Сеть».

3. Вставляя последовательно щуп Щ в гнезда А, В, С, D, Е , определить потенциалы этих точек.

4. Выключить установку. Для этого выключить тумблер «Сеть» на лицевой панели установки, выключить из сети вилку сетевого шнура.

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Пользуясь правилами Кирхгофа, рассчитать цепь, представленную на рис. 8.

Результаты расчетов свести в таблицу 1.

Таблица 1

	I1	I2	I3	I4	I5	I6	I7	I8
Теорет.
Экспер.

2. Найденные экспериментально потенциалы точек схемы свести в таблицу 2.

Таблица 2

φА	φВ	φС	φD	φE	φF

3. По формулам (8) рассчитать токи через все сопротивления цепи. Результаты расчетов свести в таблицу 1.

4. Проверить выполнение первого правила Кирхгофа.

5. Найти ЭДС источника ε = φ_А – φ_F

6. На основании второго правила Кирхгофа с использованием найденных экспериментальных значений токов для указанных в таблице 3 контуров определить ε в цепи. Найти среднее значение и погрешность.

Таблица 3

контур		Δ	ср	Δср	%
ABF
ABEF
ABCDEF
ABCEF

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что такое электрический ток?

2. При каких условиях ток является постоянным? Почему?

3. Что такое плотность тока? Как вектор связан с силой тока?

4. Выведите уравнение неразрывности.

5. Какую роль играют сторонние силы в цепи постоянного тока?

6. Что такое ЭДС, чему она равна в замкнутой цепи? Поясните физический смысл ЭДС, напряжения и разности потенциалов участка цепи.

7. Сформулируйте закон Ома в интегральной и дифференциальной форме для однородного и неоднородного участков цепи.

8. Сформулируйте правила Кирхгофа. На каких законах физики они основаны?

9. Как правильно выбрать знак ЭДС?

10. Каков порядок расчета разветвленных цепей?

11. Пользуясь правилами Кирхгофа, рассчитайте одну из цепей (рис. 10 а,б).

12. Сделайте выводы по результатам табл. 1. Почему существует различие между теоретическим и экспериментальным значениями силы тока?

13. Прокомментируйте табл. 3. Почему значение одной и той же ЭДС для разных контуров различаются?

R₂ ε₁

а)

ε₁ = ε₂ = ε₃ = 1В

R₁ = R₂ = R₃ =R₄ = 1Ом

R₁ R₃

R₅ ε₂

ε₃ R₄

б)

R₁ = R₂ = R₃ =R₄ = 1Ом

ε₁ = ε₂ = ε₃ = 1В

R₃ ε₁

ε₂ R₄

ε₃

Рис. 10