1.2.Закон био-савара-лапласа

Ученые Био и Савар показали, что во всех случаях магнитных полей значение пропорционально силе тока , магнитная индукция зависит от формы и размеров проводника с током; в производной точке поля магнитная индукция зависит от расположения этой точки по отношению к проводнику с током. Лаплас обобщил результаты экспериментов Био и Савара и получил следующий закон: , где – элемент проводника, направленный по току, - радиус – вектор, проведенный из элемента проводника в рассматриваемую точку поля; r – модуль радиус-вектора ; - коэффициент пропорциональности.

Из Закона Био-Савара - Лапласа следует, что вектор магнитной индукции в какой-либо точке С магнитного поля направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы и таким образом, что из конца вектора поворот вектора до совмещения с вектором по кратчайшему пути виден происходящим против часовой стрелки. Коэффициент зависит от свойств среды и от системы единиц измерения величин, входящих в выражение: , где – безразмерная величина, которая характеризует магнитные свойства среды и называется относительной магнитной проницаемостью среды. Она не зависит от системы единиц, в вакууме = 1, тогда закон Био-Савара - Лапласа примет вид: . В системе СИ , где – магнитная постоянная, и .

1 .3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Рассмотрим прямолинейный проводник (рис.1.2) , который является частью замкнутой электрической цепи. По закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукции поля, создаваемого в точке А элементом проводника с током I, имеет значение , где - угол между векторами и . Для всех участков этого проводника векторы и лежат в плоскости чертежа, поэтому в точке А все векторы , создаваемые каждым участком , направлены перпендикулярно к плоскости чертежа (к нам). Вектор определяется по принципу суперпозиции полей: , его модуль равен:

.

Обозначим расстояние от точки А до проводника . Рассмотрим участок проводника . Из точки А проведем дугу СD радиуса , – мал, поэтому и . Из чертежа видно, что ; , но , (CD= ). Поэтому .

Для получаем:

,

где и - значения угла для крайних точек проводника MN.

Если проводник бесконечно длинный, то , . Тогда

• индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника.

1.4. Магнитное взаимодействие постоянных токов. Закон ампера

Ампер исследовал действие магнитного поля на проводники с током и показал, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине , магнитной индукции и синусу угла между направлениями тока в проводнике и вектором :

.

В случае неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы перейдем к бесконечно малым приращениям, имеем:

.

-коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы измерения. В СИ .

Будем считать, что элемент проводника перпендикулярен вектору , тогда -магнитная индукция численно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению магнитного поля. Т.е. магнитная индукция является силовой характеристикой поля.

Направление силы определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля.

Если не перпендикулярен , то вектор совпадает по направлению с векторным произведением - вектор направлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторами и таким образом, чтобы из конца вектора вращение от вектора к вектору по кратчайшему пути происходило против часовой стрелки.

Закон Ампера в векторной форме имеет вид: .

Силы электромагнитного взаимодействия не являются центральными и всегда перпендикулярны к линиям магнитной индукции.

Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, которые расположены параллельно друг к другу. Расстояние между проводниками а. При пропускании тока по проводникам между ними возникает сила взаимодействия. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1 .Пусть токи и в проводниках направлены в одну сторону (рис.1.3.а). В этом случае проводники притягиваются друг к другу. Каждый из проводников создает вокруг себя магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник. При этом на элемент второго проводника с током действует сила :

.

Если а << , то проводник можно считать бесконечно длинным, тогда , при этом , , имеем .

Для выражение примет такой же вид. Оно симметрично для обоих проводников, поэтому , тогда .

2. Если токи противоположны по направлению, то проводники отталкиваются (рис.1.3.б).

Р ассмотрим контур с током, находящийся в магнитном поле (рис.1.4). Сила Ампера, действующая на контур, равна , интегрирование проводится по контуру с током. Если поле однородно, вектор можно вынести за знак интеграла. Интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов , поэтому он равен нулю. Поэтому результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. Если же поле неоднородно, результирующая сила отлична от нуля. Рассмотрим плоский контур, размеры которого малы. Такой контур называют элементарным. Его магнитный момент , где - ток в контуре, - его площадь, - единичный вектор нормали к поверхности контура, связанный с направлением тока правилом правого винта. Сила Ампера, действующая на такой контур в неоднородном магнитном поле, равна , где - производная магнитной индукции на направление магнитного момента. Из этой формулы следует:

1. в однородном магнитном поле , т.к. ;

2. направление вектора в общем случае не совпадает ни с вектором , ни с вектором ; вектор совпадает лишь с направлением элементарного перемещения , взятого в направлении вектора в месте расположения контура. На рис. 1.5 представлены три расположения контура в поле прямого тока. Проекция силы на направление Х равна

.

Н айдем момент сил Ампера, действующий на контур с током в магнитном поле. В однородном поле результирующая сил, действующих на контур, равна нулю, следовательно, суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. В этом случае говорят просто о моменте амперовых сил. Результирующий момент этих сил . Таким образом, результирующий момент амперовых сил , действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен магнитному моменту контура и вектору магнитной индукции.