1.2.Закон био-савара-лапласа

Ученые Био и Савар показали, что во всех случаях магнитных полей значение пропорционально силе тока, магнитная индукция зависит от формы и размеров проводника с током; в производной точке поля магнитная индукциязависит от расположения этой точки по отношению к проводнику с током. Лаплас обобщил результаты экспериментов Био и Савара и получил следующий закон:, где– элемент проводника, направленный по току,- радиус – вектор, проведенный из элемента проводникав рассматриваемую точку поля;r – модуль радиус-вектора ;- коэффициент пропорциональности.

Из Закона Био-Савара - Лапласа следует, что вектор магнитной индукции в какой-либо точкеС магнитного поля направлен перпендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы итаким образом, что из конца вектораповорот векторадо совмещения с векторомпо кратчайшему пути виден происходящим против часовой стрелки. Коэффициентзависит от свойств среды и от системы единиц измерения величин, входящих в выражение:, где– безразмерная величина, которая характеризует магнитные свойства среды и называется относительной магнитной проницаемостью среды. Она не зависит от системы единиц, в вакууме= 1, тогда закон Био-Савара - Лапласа примет вид:. В системе СИ, где– магнитная постоянная, и.

1.3. Магнитное поле прямолинейного проводника с током

Рассмотрим прямолинейный проводник (рис.1.2) , который является частью замкнутой электрической цепи. По закону Био-Савара-Лапласа вектор магнитной индукцииполя, создаваемого в точкеА элементом проводника с токомI, имеет значение , где- угол между векторамии. Для всех участковэтого проводника векторыилежат в плоскости чертежа, поэтому в точкеА все векторы , создаваемые каждым участком, направлены перпендикулярно к плоскости чертежа (к нам). Векторопределяется по принципу суперпозиции полей:, его модуль равен:

.

Обозначим расстояние от точки А до проводника . Рассмотрим участок проводника. Из точкиА проведем дугу СD радиуса ,– мал, поэтомуи. Из чертежа видно, что;, но, (CD=). Поэтому.

Для получаем:

,

где и- значения угла для крайних точек проводникаMN.

Если проводник бесконечно длинный, то ,. Тогда

• индукция в каждой точке магнитного поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током обратно пропорциональна кратчайшему расстоянию от этой точки до проводника.

1.4. Магнитное взаимодействие постоянных токов. Закон ампера

Ампер исследовал действие магнитного поля на проводники с током и показал, что сила F, действующая на прямолинейный проводник с током, находящийся в однородном магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, его длине , магнитной индукциии синусу угламежду направлениями тока в проводнике и вектором:

.

В случае неоднородного магнитного поля и проводника произвольной формы перейдем к бесконечно малым приращениям, имеем:

.

-коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора единицы измерения. В СИ .

Будем считать, что элемент проводника перпендикулярен вектору, тогда-магнитная индукциячисленно равна силе, действующей со стороны поля на единицу длины проводника, по которому течет электрический ток единичной силы и который расположен перпендикулярно к направлению магнитного поля. Т.е. магнитная индукцияявляется силовой характеристикой поля.

Направление силы определяется по правилу левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы в нее входили линии магнитной индукции, а четыре вытянутых пальца расположить по направлению электрического тока в проводнике, то отставленный большой палец укажет направление силы, действующей на проводник со стороны поля.

Если не перпендикулярен, то векторсовпадает по направлению с векторным произведением- векторнаправлен перпендикулярно к плоскости, образованной векторамиитаким образом, чтобы из конца векторавращение от векторак векторупо кратчайшему пути происходило против часовой стрелки.

Закон Ампера в векторной форме имеет вид: .

Силы электромагнитного взаимодействия не являются центральными и всегда перпендикулярны к линиям магнитной индукции.

Рассмотрим два длинных прямолинейных проводника, которые расположены параллельно друг к другу. Расстояние между проводниками а. При пропускании тока по проводникам между ними возникает сила взаимодействия. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1.Пусть токи ив проводниках направлены в одну сторону (рис.1.3.а). В этом случае проводники притягиваются друг к другу. Каждый из проводников создает вокруг себя магнитное поле, которое действует по закону Ампера на другой проводник. При этом на элементвторого проводника с токомдействует сила:

.

Если а << , то проводник можно считать бесконечно длинным, тогда, при этом,, имеем.

Для выражение примет такой же вид. Оно симметрично для обоих проводников, поэтому, тогда.

2. Если токи противоположны по направлению, то проводники отталкиваются (рис.1.3.б).

Рассмотрим контур с током, находящийся в магнитном поле (рис.1.4). Сила Ампера, действующая на контур, равна , интегрирование проводится по контуру с током. Если поле однородно, векторможно вынести за знак интеграла. Интегралпредставляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов, поэтому он равен нулю. Поэтому результирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. Если же поле неоднородно, результирующая сила отлична от нуля. Рассмотрим плоский контур, размеры которого малы. Такой контур называют элементарным. Его магнитный момент, где- ток в контуре,- его площадь,- единичный вектор нормали к поверхности контура, связанный с направлением тока правилом правого винта. Сила Ампера, действующая на такой контур в неоднородном магнитном поле, равна, где- производная магнитной индукции на направление магнитного момента. Из этой формулы следует:

1. в однородном магнитном поле , т.к.;

2. направление вектора в общем случае не совпадает ни с вектором, ни с вектором; векторсовпадает лишь с направлением элементарного перемещения, взятого в направлении векторав месте расположения контура. На рис. 1.5 представлены три расположения контура в поле прямого тока. Проекция силы на направлениеХ равна

.

Найдем момент сил Ампера, действующий на контур с током в магнитном поле. В однородном поле результирующая сил, действующих на контур, равна нулю, следовательно, суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. В этом случае говорят просто о моменте амперовых сил. Результирующий момент этих сил . Таким образом, результирующий момент амперовых сил , действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен магнитному моменту контура и вектору магнитной индукции.