6.6. Преобразование и сложение скоростей

Рис.6.7. Рассмотрим движение материальной точки

В системе X

• положение точки определяется в каждый момент времени t координатами x,y,z.

• Выражения представляют собойпроекции вектора скорости точки на соответствующие оси в системе отсчета X.

В системе

• положение материальной точки характеризуется в каждый момент времени координатами

• Проекции вектора скорости относительно на эти оси определяются выражениями.

Из формул (6.2) получаем

Разделив первые три равенства на четвертое, получаем формулы для преобразования скоростей при переходе их одной системы отсчета в другую:

(6.3)

При эти соотношения переходят в преобразования Галилея в классической механике.

Обратные преобразования имеют вид:

Если тело движется параллельно оси x,

• его скорость относительно системыX совпадает с ,

• а скорость относительно системы- с.

В этом случае закон сложения скоростей принимает вид (6.4)

Если скорость частицы в одной системе отсчета =c, то в другой системе, согласно (6.4) эта скорость равна

Мы получили, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета.

6.7. Преобразования для импульса и энергии

Уравнения Ньютона

• инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея.

• неинвариантными к преобразованиям Лоренца.. В частности, не инвариантен к преобразованиям Лоренца вытекающий из законов Ньютона закон сохранения импульса.

Импульс - в теории относительности, как и в Ньютоновской механике, равен произведению массы тела на его скорость

(6.5)

Масса. Однако в выражении (6.5) масса не является постоянной величиной, а зависит от скорости по закону

. (6.6)

Величина называется массой покоя - это инвариантная величина, масса носит название релятивистской массы.

Рис.6.8. Зависимость релятивистской массы от скорости .

Продифференцировав выражение (6.5) по времени, получаем

релятивистское выражение второго закона Ньютона

Чтобы найти релятивистское выражение для энергии, умножим это уравнение на перемещение частицы :

Правая часть этого выражения равна работе, совершаемой над частицей за время dt.

Как следует из закона сохранения энергии, эта работа равна приращению энергии частицы:

Преобразуем полученное выражение:

Проинтегрировав, имеем

Экспериментально доказано, что константа в этом выражении равна нулю.

Тогда полная энергия частицы (6.7)

Если скорость частицы равна нулю, энергия -это энергия покоя.

• Она не связана ни с каким движением частицы.

• Для произвольного тела энергия покоя равна сумме энергий покоя всех его частиц, кинетических энергий этих частиц в системе центра масс тела и потенциальных энергий взаимодействия этих частиц.

• В энергию покоя, как и в полную энергию, не входит потенциальная энергия тела в поле внешних сил.

Кинетическая энергия равна разности между полной энергией и энергией покоя частицы:

В случае малых скоростей эта формула преобразовывается к виду:

Мы получили классическое выражение для кинетической энергии частицы.

Решив совместно уравнения (6.5), (6.6) и (6.7), получаем:. (6.8)

При имеем:

Это выражение отличается от классического выражения для кинетической энергии слагаемым .

Из выражения (6.7) следует еще одна формула для энергии: .

Тогда импульс частицы

Получим еще одну формулу для энергии.

Из замедления времени получаем

где -промежуток времени между двумя происходящими с частицей событиями, отсчитанный по часам в той системе отсчета, в которой частица движется,

- тот же промежуток времени, отсчитанный по часам, движущимся вместе с частицей.

Подставив это выражение в формулу (6.7), имеем(6.9)

Получим теперь преобразования импульса и энергии.

Из (6.8) следует (6.10)

Масса является инвариантом, следовательно, и выражение (6.10) представляет собой инвариант, т.е. имеет одинаковую величину во всех инерциальных системах отсчета. Сами по себе величины E и не являются инвариантами, так как они зависят от скорости, которая меняется при переходе из одной системы отсчета в другую.

1. Будем считать, что частица движется параллельно оси x,

• в системе скорость частицы равна.

• Тогда согласно релятивистской теореме сложения скоростей скорость в системе X равна

6.11)

Здесь -скорость, с которой система движется относительно системыX.

Энергию в системе X выразим через .

Для этого вычислим выражение :

Тогда энергия

Полученная формула справедлива при любой взаимной ориентации векторов и. Это означает, что в преобразованиях участвует только компонента импульса .

Так как ,

выражение для импульса принимает вид =.

Подставим в него из (6.11), имеем

1. будем считать, что

• в системе частица движется параллельно осии, следовательно, .

• В системе X компонента скорости частицы по оси x равна ,

так что .

Соответственно,

Так как , то из преобразований Лоренца для скоростей, и

Аналогичный результат получается для компоненты .

Тогда преобразования для энергии и импульса принимают вид:

Эти формулы совпадают с формулами (6.2) преобразования координат и времени.

По аналогии с трехмерными векторами в евклидовом пространстве можно определить четырехмерные векторы.

Под четырехмерным вектором понимают совокупность четырех величин преобразующихся по тем же формулам, что иct, x,y, z.

Квадрат такого вектора равен .

Вследствие того, что компоненты преобразуются так же, как координаты, квадрат четырехмерного вектора оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца.

Тогда совокупность величин образует четырехмерный вектор, называемыйвектором энергии-импульса. Квадрат этого вектора является инвариантом и равен

рис.6.9. Зависимость релятивистского импульса от скорости .

При малых скоростях релятивистский импульс совпадает с классическим.