6.2. Преобразования Лоренца.

Наблюдатель находится в системе координат К - система

а наблюдатель - в системе - К^/ - система. Назовем эту систему штрихованной.

2. Необходимо найти такие уравнения преобразования координат, чтобы тело, движущееся со скоростью в нештрихованной системе, двигался бы в штрихованной системе с той же скоростью,

т.е. если x=ct, то .

2. Общий вид преобразования координат (6.1)

где -некоторые функции скорости.

2. Пусть

• в начальный момент времени ( при ) начала координат обеих систем совпадали,

• движение происходит в направлении оси , поэтому.

2. Рассмотрим часы, которые находятся в точке , время между их “тиканьями” составляет.

Наблюдатель X видит движущиеся часы, время между “тиканьями” которых ,

тогда при и из (6.1) получаем.

Таким образом, .

2. Для наблюдателя X часы движутся со скоростью , он их видит при ,

подставив в (6.1), получаем ,

тогда .

2. Чтобы найти коэффициент , поместим часы в начало координат X.

В соответствии с принципом относительности наблюдатель видит их удаляющимися влево со скоростью.

Таким образом, приx=0.

Тогда из (6.1) получаем и .

С учетом сказанного уравнения (6.1) пронимают вид:

2. Известно, что при x=ct .

Подставив это выражение в последнюю систему уравнений и разделив первое уравнение на второе, получаем:

.

Отсюда , и.

Мы получили все коэффициенты уравнений (6.1), тогда эти уравнения принимают вид:

(6.2)

Эта система уравнений в физике называется преобразованиями Лоренца - она выражает штрихованные координаты через нештрихованные.

Обратные преобразования

6.3. Следствия из преобразований Лоренца.

Рис.6.4.

Предположим теперь, что

• наблюдатель X решил измерить длину метровой линейки, покоящейся относительно штрихованной системы координат,

• сама же система координат движется относительно нештрихованнойX со скоростью

• Концы этой линейки закреплены в точках и, тогда из преобразований Лоренца получаем:

• Длина линейки в штрихованной системе (длина покоящейся линейки) равна

.

• Чтобы наблюдатель правильно измерил в своей системе отсчета длину движущегося предмета, он должен постараться отметить положения концов линейки в моменты времени, которые он считает совпадающими:, поэтому.

• Очевидно, -длина линейки, которую измерит наблюдатель X. Относительно этого наблюдателя линейка движется со скоростью .

• Тогда , или - длина движущейся линейки в раз меньше длины этой же линейки в покое. Данный факт получил название Лоренцево сокращение длины.

6.4.Одновременность событий в разных системах отсчета.

То, что один наблюдатель считает метровую линейку короче, чем другой, с точки зрения физики объясняется несовпадением для них понятия одновременности, т.е. события, одновременные для одного наблюдателя, не являются таковыми для другого.

При этом следует помнить, что для измерения длины метровой линейки положения обоих ее концов следует отмечать одновременно.

Рис.6.5.Рассмотрим движущийся вагон

и покажем, что события одновременные с точки зрения неподвижного наблюдателя, не будут одновременными для наблюдателя внутри вагона. -длина вагона в состоянии покоя для наблюдателя , стоящего в центре вагона.

Предположим, что в момент времени наблюдательпроезжает мимо наблюдателяX, который стоит рядом с железнодорожным полотном.

В это время (по часам наблюдателя X) две молнии ударяют в концы вагона и оставляют следы на рельсах .

Наблюдателю X это дает хорошую возможность измерить длину вагона как расстояние между отметками, при этом .

Однако наблюдатель считает, что молния ударила сначала в правый конец, действительно, наблюдатель в вагоне движется навстречу свету от правой молнии и видит раньше этот свет.

Если лицо наблюдателя раньше освещается светом справа, то это означает, что свет справа достиг его раньше, и этот факт не зависит от наблюдателя. Но по мнению наблюдателя, обе вспышки молнии произошли на одинаковом расстоянии от него, и если он сначала видел вспышку справа, то он и считает, что она произошла раньше.

Если ввести еще одного наблюдателя , который начал двигаться из той же точки не вправо, а влево, то для него раньше произойдет левая вспышка.

Таким образом, если промежуток времени между двумя событиями короче того времени, которое необходимо для распространения света между ними, то порядок следования этих событий остается неопределенным: он зависит от скорости наблюдателя.

В таких случаях может оказаться, что будущее событие опережает предыдущее, если выбрать подходящего движущегося наблюдателя.