6.2. Преобразования лоренца

Рассмотрим двух наблюдателей, движущихся с относительной скоростью(рис.6.2). Один наблюдатель , другой . Наблюдатель находится в системе координат , а наблюдатель - в системе . Назовем эту систему штрихованной. Необходимо найти такие уравнения преобразования координат, чтобы тело, движущееся со скоростью в нештрихованной системе, двигался бы в штрихованной системе с той же скоростью, т.е. еслиx=ct, то . Общий вид преобразования координат

, (6.1)

где - некоторые функции скорости.

Будем считать, что в начальный момент времени (при ) начала координат обеих систем совпадали, а движение происходит в направлении оси, поэтому.

Рассмотрим часы, которые находятся в точке , время между их “тиканьями” составляет. НаблюдательX видит движущиеся часы, время между “тиканьями” которых, как будет показано позднее, , где, тогда прии из (6.1) получаемТаким образом,.

Для наблюдателя X часы движутся со скоростью , он их видит при , подставив в (6.1), получаем , тогда.

Чтобы найти коэффициент , поместим часы в начало координат X. В соответствии с принципом относительности наблюдатель видит их удаляющимися влево со скоростью. Таким образом,приx=0. Тогда из (6.1) получаем

и . С учетом сказанного уравнения (6.1) пронимают вид:

Известно, что при x=ct . Подставив это выражение в последнюю систему уравнений и разделив первое уравнение на второе, получаем:

.

Отсюда , и.

Мы получили все коэффициенты уравнений (6.1), тогда эти уравнения принимают вид:

(6.2)

Эта система уравнений в физике называется преобразованиями Лоренца. Она выражает штрихованные координаты через нештрихованные. Обратные преобразования

6.3. Парадоксы релятивистской кинематики: сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета

Применим оба принципа теории относительности к простой разновидности часов – световым часам. Они представляют собой два обычных зеркала, установленных параллельно друг другу на расстоянии (рис.6.3). Такое устройство может служить своего рода часами, если поверхности зеркал абсолютно отражающие и короткий световой импульс бегает между ними в прямом и обратном направлениях. Пусть- время, за которое импульс света, отразившись от нижнего зеркала, достигнет верхнего. Часы “тикают” всякий раз, когда свет отражается от зеркала. Рассмотрим две пары вполне идентичных часови, причем частота их синхронизована и период тиканья равен. Часыдвижутся вправо со скоростью. Останется ли длина движущихся часовтакой же, как у часов? Пусть на конце часовимеется небольшая кисточка с краской. Когда часыпроходят мимо часов, эта кисточка оставляет на часахметку, и, если метка приходится на край часов, то это означает, что длина часовне изменилась. Если же метка окажется ниже края часов, то длина часовпри движении сократилась. Предположим, что именно последний случай и реализован в действительности. Тогда наблюдатель, движущийся вместе с часами, увидит, что движущиеся часыстали короче. С другой стороны, с точки зрения наблюдателядвижущиеся относительно него световые часы окажутся длиннее. Однако, согласно принципу относительности, оба наблюдателя совершенно равноправны и оба должны наблюдать один и тот же эффект. Это возможно лишь в том случае, когда обоим наблюдателям обе пары часов кажутся одной и той же длины.

Рассмотрим наблюдателя (рис.6.4). Ему путь светового луча от одного края часовдо другого будет представляться более длинным, чем в часах(световой импульс относительно наблюдателядвижется по диагонали со скоростью света). Следовательно, с точки зрения наблюдателясветовому импульсу в часахпонадобится больше времени для того, чтобы достичь верхнего зеркала, чем световому импульсу в часах. Обозначим этот больший промежуток времени, тогда длина диагонали равна, и по теореме Пифагора, отсюда

.

В теории относительности множитель, стоящий перед , встречается очень часто и обозначается.

Наблюдательвидит тиканье часовчерез время, а тиканье своих часовчерез время. Таким образом, любой наблюдатель обнаруживает замедление хода движущихся часов враз по сравнению с точно такими же, но находящимися в покое часами. Величинаназывается собственным временем. Это измеренный наблюдателем промежуток времени между двумя событиями, которые наблюдатель видит в одной и той же точке пространства. Тогда- промежуток времени между теми же событиями, но измеренный движущимся наблюдателем по его собственным часам. Собственное время– это время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами. Оно одинаково во всех инерциальных системах отсчета, т.е. является инвариантом.

Предположим теперь, что наблюдатель X решил измерить длину метровой линейки, покоящейся относительно штрихованной системы координат, сама же система координат движется относительно нештрихованнойX со скоростью (рис.6.5). Концы этой линейки закреплены в точкахи, тогда из преобразований Лоренца получаем:

Длина линейки в штрихованной системе (длина покоящейся линейки) равна . Чтобы наблюдательправильно измерил в своей системе отсчета длину движущегося предмета, он должен постараться отметить положения концов линейки в моменты времени, которые он считает совпадающими:, поэтому. Очевидно,- длина линейки, которую измерит наблюдательX. Относительно этого наблюдателя линейка движется со скоростью . Тогда, или - длина движущейся линейки в раз меньше длины этой же линейки в покое. Данный факт получил название лоренцева сокращения длины.