Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая

академия им. П.А. Соловьева

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Утверждено

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« » _________ 2007 г.

Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Волновая механика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № ВМ – 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

С ПОМОЩЬЮ УНИВЕРСАЛЬНОГО МАЯТНИКА

Нормоконтроль	Автор: к. т. н., доцент Суворова З. В.
____________	___________________
	Рецензент: к. ф–м. н., доцент Шалагина Е.В.
	___________________

Рыбинск 2007 требования по технике безопасности

При выполнении работы соблюдать требования инструкции №170 по технике безопасности. При работе с электросекундомером соблюдайте правила безопасного обращения с прибором. При проведении эксперимента колебания маятников следует возбуждать не толчками, а малыми отклонениями (3⁰ – 5⁰) от положения равновесия.

1. Краткие теоретические сведения

Ускорение силы тяжести является одной из важнейших характеристик гравитационного поля. Используемая в лабораторном эксперименте установка – универсальный маятник представляет собой систему из двух маятников. Методика работы с ними несколько отлична, хотя и содержит много общих черт. Определение основано на исследовании колебательного движения маятников.

Колебание – один из самых распространённых процессов в природе и технике. Колебания – это процессы, повторяющиеся во времени. Колебания бывают механические, электромагнитные, химические, термодинамические и др. Несмотря на такое многообразие, все колебания описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Первыми учёными, изучавшими колебания, были Галилео Галилей и Христиан Гюйгенс. Галилей установил независимость периода колебаний от амплитуды. Гюйгенс изобрёл часы с маятником.

Любая система, которая, будучи слегка выведена из положения равновесия, совершает устойчивые колебания, называется гармоническим осциллятором. В классической физике такими системами являются математический маятник в пределах малых углов отклонения, груз на пружине в пределах малых деформаций пружины, не выходящих за рамки закона Гука, электрический контур, состоящий из линейных элементов ёмкости и индуктивности.

Рис. 1

Гармонический осциллятор можно считать линейным, если смещение от положения равновесия прямо пропорционально возмущающей силе. Частота колебаний гармонического осциллятора не зависит от амплитуды. Для осциллятора выполняется принцип суперпозиции - если действуют несколько возмущающих сил, то эффект их суммарного действия может быть получен как результат сложения эффектов от действующих сил в отдельности.

Гармонические колебания описываются уравнением (рис.1)

(1)

где х -смещение колеблющейся величины от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, равная величине максимального смещения, - фаза колебаний, определяющая смещение в момент времени , - начальная фаза, определяющая величину смещения в начальный момент времени, - циклическая частота колебаний.

Время одного полного колебания называется периодом, , где - число колебаний, совершенных за время .

Частота колебаний определяет число колебаний, совершаемых в единицу времени, она связана с циклической частотой соотношением , тогда период .

Скорость колеблющейся материальной точки

,

Ускорение . (2)

Рис. 2

Таким образом, скорость и ускорение гармонического осциллятора также изменяются по гармоническому закону с амплитудами и соответственно. При этом скорость опережает по фазе смещение на , а ускорение – на (рис.2).

Из сопоставления уравнений движения гармонического осциллятора (1) и (2) следует, что , или

. (3)

Это дифференциальное уравнение второго порядка называется уравнением гармонического осциллятора. Его решение содержит две постоянные а и , которые определяются заданием начальных условий

.

Отсюда .

Если периодически повторяющийся процесс описывается уравнениями, не совпадающими с (1), он называется ангармоническим. Система, совершающая ангармонические колебания, называется ангармоническим осциллятором.

В природе очень распространены малые колебания, которые система совершает вблизи своего положения равновесия. Если система, выведенная из положения равновесия, предоставлена себе, то есть на неё не действуют внешние силы, то такая система будет совершать свободные незатухающие колебания. Рассмотрим систему с одной степенью свободы.

Устойчивому равновесию соответствует такое положение системы, в котором её потенциальная энергия имеет минимум (q – обобщённая координата системы). Отклонение системы от положения равновесия приводит к возникновению силы , которая стремится вернуть систему обратно. Значение обобщённой координаты, соответствующей положению равновесия, обозначим , тогда отклонение от положения равновесия

Будем отсчитывать потенциальную энергию от минимального значения . Примем Полученную функцию разложим в ряд Маклорена и оставим первый член разложения, имеем:

,

где . Тогда с учётом введённых обозначений:

, (4)

С учётом выражения (4) для силы, действующей на систему, получаем:

Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения системы имеет вид: ,

тогда

, (5)

Выражений (5) совпадает с уравнением (3) свободных гармонических колебаний при условии, что

, (6)

и имеет два независимых решения: и , так что общее решение: , или

,

где

Из формулы (6) следует, что частота определяется только собственными свойствами механической системы и не зависит от амплитуды и начальных условий движения.

Зависимость координаты колеблющейся системы от времени можно определить в виде вещественной части комплексного выражения , где – комплексная амплитуда, её модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент – с начальной фазой.

Рис. 3.

Под маятником понимают твёрдое тело, которое совершает под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной точки или оси. Различают физический и математический маятники.

Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из невесомой нерастяжимой нити, на которой подвешена масса, сосредоточенная в одной материальной точке.

Математическим маятником, например, является шарик на длинной тонкой нити.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуется углом , который образует нить с вертикалью (рис.3). При отклонении маятника от положения равновесия возникает момент внешних сил (силы тяжести) : , где m – масса, – длина маятника

Этот момент стремится вернуть маятник в положение равновесия (аналогично квазиупругой силе) и направлен противоположно смещению φ, поэтому в формуле стоит знак «минус».

Уравнение динамики вращательного движения для маятника имеет вид: ,

или

.

Будем рассматривать случай малых колебаний, поэтому , обозначим , имеем: , или , и окончательно

.

Это уравнение гармонических колебаний, его решение:

.

Частота колебаний математического маятника определяется только его длиной и ускорением силы тяжести, и не зависит от массы маятника. Период равен:

. (6)

_{Если колеблющееся тело нельзя представить, как материальную точку, то маятник называют физическим (рис.4). Уравнение его движения запишем в виде:}

Рис. 4.

.

_{В случае малых колебаний} , или =0_{, где}

. ₍₇₎

_{Это уравнение движения тела, совершающего гармонические колебания. Частота колебаний физического маятника зависит от его массы, длины и момента инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса.}

_{Обозначим . Величина называется приведённой длинной физического маятника. Это длина математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром масс, лежащая на расстоянии приведённой длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника (О’). Если маятник подвесить в центре качания, то приведённая длина и период колебаний будут теми же, что и в точке О. Таким образом, точка подвеса и центр качания обладают свойствами взаимности: при переносе точки подвеса в центр качания прежняя точка подвеса становится новым центром качания.}

_{Математический маятник, который качается с таким же периодом, как и рассматриваемый физический, называется изохронным данному физическому маятнику.}