1.4. Закон ома для неоднородного участка цепи

На носители тока на неоднородном участке цепи действуют, кроме электростатических сил , еще и сторонние силы . Сторонние силы способны вызывать упорядоченное движение носителей тока так же, как и силы электростатические. На неоднородном участке цепи средняя скорость упорядоченного движения носителей пропорциональна суммарной силе , тогда плотность тока

(2)

– это закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной форме.

Перейдем к интегральной форме этого закона. Рассмотрим неоднородный участок цепи. Допустим, что внутри этого участка существует линия (контур тока) удовлетворяющая следующим условиям:

1. в каждом сечении, перпендикулярном к контуру, величины , , и имеют с достаточной точностью одинаковые значения;

2. векторы , , в каждой точке направлены по касательной к контуру. Поперечное сечение проводника может быть непостоянным. Выберем произвольно направление движения по контуру. Пусть выбранное направление соответствует перемещению от конца 1 к концу 2 участка цепи. Спроектируем выражение (2) на элемент контура1-2:

, (3)

причем ; ; . Знак «+» берем в том случае, если ток течет от 1 к 2, «-»если ток течет в направлении 2 к 1. Вследствие сохранения заряда сила постоянного тока в каждом сечении должна быть одинаковой. Поэтому вдоль контура . Силу тока в данном случае нужно рассматривать как алгебраическую величину. Направление 1-2 выбрано произвольно, поэтому, если ток течет в выбранном направлении, его считают положительным, если в направлении 2-1 – отрицательным. Заменим ; , тогда из ( 3):

.

Умножим это выражение на и проинтегрируем вдоль контура:

.

Здесь – сопротивление всей цепи, - разность потенциалов на сопротивление R, - ЭДС, действующая на участки 1,2. Тогда , а ток

– это закон Ома для неоднородного участка цепи.

Если цепь замкнутая, то ; и .Тогда -закон Ома для замкнутой цепи. Если в цепи действует несколько ЭДС, то равна их алгебраической сумме.

1.5. Мощность тока

Рассмотрим произвольный участок цепи постоянного тока, к концам которого приложено напряжение U. За время t через каждое сечение проводника проходит заряд q=It,что равносильно переносу заряда q из одного конца проводника на другой. При этом силы электростатического поля и сторонние силы совершают работу , тогда мощность

.

Эта мощность может расходоваться на совершение работы участком цепи над внешними телами

( для этого участок должен перемещаться в пространстве), на протекание химической реакции и на перемещение данного участка цепи.

Отношения мощности dp , развиваемой в объеме dV, к величине этого объема, называется удельной мощностью тока

.

Найдем выражение для удельной мощности тока. Сила развивает при движении носителя тока мощность:

,

где – скорость хаотического движения, – скорость упорядоченного движения носителей.

Усредним это выражение по носителям, заключенным в объеме dV, в пределах которого и можно считать постоянными:

.

Мощность , развиваемую в объеме , найдем, умножив на число носителей тока в этом объеме :

.

Подставив , имеем:

1.6. ЗАКОН ДЖОУЛЯ –ЛЕНЦА

Если ток в цепи постоянен, а проводники, входящие в цепь, неподвижны, работа сторонних сил полностью расходуется на нагревание проводников. Тепловую энергию обозначим W.

Объемной плотностью тепловой мощности тока называется энергия, выделяющаяся в единице объема проводника за единицу времени. Закон Джоуля -Ленца в дифференцированной форме имеет вид:

- объемная плотность тепловой мощности тока равна скалярному произведению векторов плотности тока и напряженности электрического поля.

Объемная плотность тепловой мощности тока прямо пропорциональна квадрату напряженности электрического поля, создающего ток, и удельной проводимости проводника.

Интегрируя это выражение по объему проводника, получим закон Джоуля –Ленца в интегральной форме: количество теплоты, выделяемой в проводнике, пропорционально силе тока, времени его прохождения и падению напряжения:

.

Классическая электронная теория дает следующее объяснение рассматриваемому выше закону. Кинетическая энергия электрона в конце пробега

.

При столкновении с ионом кристаллической решетки электрон отдает свою энергию, поэтому внутренняя энергия металла возрастает (металл нагревается), число соударений одного электрона , поэтому в единицу времени в единице объема выделяется тепло: .

Для энергии dW имеем: , причем объём .

Проинтегрировав это выражение, получаем: , причем , , тогда .

Таким образом, количество теплоты, выделяемой в проводнике, равно

.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника тока с эдс и внутренним сопротивлением r и нагрузки сопротивлением R (рис. 7).

По закону Ома ток в цепи равен:

.

Напряжения на нагрузке U совпадает с напряжением на зажимах источника и равно:

.

Напряжение U всегда меньше , если цепь разомкнута, R→∞ и U= .

Полная мощность, развиваемая в цепи источником тока равна

. (4)

Зависимость полной мощности по отношению представлена на рис. 8.

Рис.8

На нагрузке выделяется не вся мощность р, а часть её, называемая полезной:

. (5)

Полезная мощность имеет максимальные значения, когда производная функции по переменной R равна нулю: . Это имеет место при R=r.

Зависимость полезной мощности от отношения представлена на рис. 9.

р _н

1

η

1

0 ,5

1

Рис. 10

КПД будет тем больше, чем меньше отношение , т.е. чем больше сопротивление нагрузки R. При размыкании цепи R→∞ и η=1.

О днако при этом мощность, выделяемая во внешней цепи, стремиться к нулю, поэтому условие максимума КПД с практической точки зрения не интересно. Наиболее притягательная область R~r₀ , в которой полезная мощность наибольшая и η~0,5.

2.ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ИЗМЕРЕНИЙ

Для исследования мощности используется лабораторная установка (рис.11), выполненная в виде прибора настольного типа и содержащая смонтированные в одном корпусе специализированный источник питания, который по своим характеристикам является аналогом аккумулятора; стрелочный вольтмиллиамперметр с пределами измерений напряжения от 0 до 25В; нагрузка-реостат с сопротивлением несколько сот Ом. Питание установки осуществляется от сети напряжением 220 В. На лицевой панели прибора (рис. 11) расположены клавиша 1 включения источника питания «ВКЛ», под которой помещена сигнальная лампочка 2, шкала вольтмиллиамперметра 3, переключатель 4 измерений I/U, ручки потенциометра 5. В положении «I» переключателя 4 стрелочный прибор показывает силу тока, в положении «U» - напряжение на нагрузке. Потенциометр R меняет сопротивление нагрузки от нуля до максимального значения.

Схема установки представлена на рис. 12.

3 4

r

5

2 мА

I U

V 1 ВКЛ

R

Рис. 12

Установка включается в сеть напряжением 220В.

В работе предусматривается определение внутреннего сопротивления r и ЭДС источника двумя способами – графическим и расчетным.

Графический метод определения внутреннего сопротивления и ЭДС источника состоит в следующем. Меняя сопротивление реостата R потенциометром, фиксируют соответствующие значения тока J и напряжения на нагрузке. По формуле

p_Н = IU (6)

вычисляют полезную мощность, а по формуле

(7)

сопротивление нагрузки, и строят зависимость p_Н(R) . По графику определяют сопротивление R, при котором p_Н достигает максимума. В этом случае R = r.

По закону Ома

(8)

- по этой формуле вычисляют ЭДС источника.

Зная R и r, строят зависимости , , . При этом должно выполняться соотношение (1) = 0,5.

Более точный метод определения r и основан на применении метода наименьших квадратов (МНК) и включает в себя обработку результатов эксперимента на ЭВМ (см. Приложение 1). По данным эксперимента строят зависимость и апроксимируют ее прямой, уравнение которой имеет вид:

.

Напряжение U откладывают по оси ординат, ток I – по оси абсцисс. Точка пересечения этой прямой с осью ординат соответствует значению , тангенс угла наклона к оси абсцисс – сопротивлению r.

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Проверив подключение реостата к клеммам установки, включить сетевой шнур в розетку. На лицевой панели включить клавишу 1 «ВКЛ». При этом должна загореться сигнальная лампочка 2.

2. Перемещая движок реостата и изменяя напряжение от минимума до 20 зафиксировать не менее 10 значений тока и напряжения .

3. Отключить установку в последовательности, обратной процедуре включения.

4. По результатам измерений рассчитать значения сопротивления нагрузки , полезной мощности , полной мощности (полагая В) и к.п.д. .

5. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1.

Таблица 1

№ п/п	(В)	(мА)	(Ом)	Р (Вт)	рполн. (Вт)

6. Построить графики зависимостей (на одном графике) и . По максимуму полезной мощности и значению к.п.д. определить величину внутреннего сопротивления источника .

7. Провести обработку результатов на ЭВМ. Предварительно необходимо ознакомиться с инструкцией по обработке результатов физического практикума на ЭВМ.

4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

1. Рассчитать значения сопротивления нагрузки по формуле (7) и полезную мощность по формуле (6). Результаты расчетов свести в таблицу 1.

2. Построить график зависимости . Определить точку R = r.

3. По формуле (8) определить ЭДС источника.

4. Рассчитать полную мощность, развиваемую источником для всех значений тока I по формуле: .

5. Рассчитать КПД источника по формуле .

6. Результаты расчетов п.п. 5,6 свести в таблицу 1.

7. Построить графики зависимостей , , .

8. Обработать результаты эксперимента на ЭВМ. Сравнить и r с рассчитанными в п.п. 3, 4.