kletenik_doc / kletenik_o4

ОТВЕТЫ (Глава 4)

385. 1) x² — y² = 9; 2) (x — 2)² + (y + 3)² = 49; 3) (x – 6)² + (y + 8)² = 100 4) (x + 1)² + (y – 2)² = 25; 5) (x – 1)² + (y – 4)² =8; 6) х² + у² = 16; 7) (x — 1)² + (y + 1)² = 4; 8) (x — 2)² + (y — 4)² = 10; 9) (x —l)² + y² = 1; 10) (x —2)² + (y — 1)² = 25. 386. (x — 3)² + (y + 1)² = 38. 387. (x — 4)² + (y + 1)² = 5 и (x — 2)² + (y — 3)² = 5. 388. (x + 2)² + (y + 1)² = 20. 389. (x — 5)² + (у + 2)² = 20 и (x — )² + (y — )² = 20. 390. (x — 1)² + (у + 2) = 16. 391. (x + 6)² + (y — 3)² = 50 и (y — 29)² + (у + 2)² = 800. 392. (х — 2)³ + (y — 1)² =5 и (x — )² + (y + )² = . 393. (x — 2)² + (y — 1)² = , (x + 8)² + (y + 7)² = . 394. (х — 2)² + (y — 1)² = 25 и (x + ) + (y — )² = ()² . 395. (x + )² + (y + ) = 1 и (x — )² + (y — )² = 1. 396. (х — 5)² + у² = 16, (x + 15)² + y² = 256, (x — ) + (y — )² = ()² и (x — )² + (y + )² = ()². 397. Уравнения 1), 2), 4), 5), 8) и 10) определяют окружности; 1) С(5; —2), R = 5; 2) С(— 2; 0), R = 8; 3) уравнение определяет единственную точку (5;—2); 4) С(0; 5), R = ; 5) С (1; — 2), R = 5;

6)уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости; 7) уравнение определяет единственную точку (—2; 1); 8) С( — ; 0), R = ; 9) уравнение не определяет никакого геометрического образа на плоскости; 10) C(0; —) R = . 398. Полуокружность радиуса R = 3 с центром в начале координат, расположенная в верхней полуплоскости (черт. 82); 2) полуокружность радиуса R = 5 с центром в начале координат, расположенная в нижней полуплоскости (черт. 83); 3) полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат, расположенная в левой полуплоскости (черт. 84); 4) полуокружность радиуса R = 4 с центром в начале координат, расположенная в правой полуплоскости (черт. 85);

5) полуокружность ради­уса R = 8 с центром С (0; 15), расположенная над прямой у — 15 = 0

(черт. 86); 6) полуокружность радиуса R = 8 с центром С(0; 15), располо­женная под прямой у— 15 = 0 (черт. 87); 7) полуокружность радиуса R = 3 с центром С (—2; 0), расположенная влево от прямой x + 2;=0 (черт. 88); 8) полуокружность радиуса R = 3 с центром С (—2; 0), расположенная вправо от прямой x +2 = 0 (черт. 89); 9) полуокружность радиуса R = 5 с центром С (—2; —3), расположенная под прямой у + 3 = 0 (черт. 90); 10) полуокружность радиуса R = 7 с центром С (— 5; — 3), расположенная вправо от прямой x + 5 = 0 (черт. 91). 399. 1) Вне окружности; 2) на ок­ружности; 3) внутри окружности; 4) на окружности; 5) внутри окружности. 400. 1) х + 5у — 3 = 0; 2) х + 2 = 0; 3) 3х — у — 9 = 0; 4) у + 1 = 0. 401. 2x — 5у +19 = 0. 402. а) 7; б) 17; в) 2. 403. M₁(—1; 5) и М₂(—2; —2).

404. 1) Пересекает окружность; 2) касается окружности; 3) проходит вне окружности. 405. 1) | k | < ; 2) k = ± ; 3) | k| > . 406. . 407. 2x + у — 3 = 0. 408. 11x — 7y — 69 = 0. 409. 2. 410. 2x — 3y + 8 = 0, 3x + 2y —14 = 0. 412. x² + y² + 6x — 9y — 17 = 0.

413. 13x² + 13у + 3x + 71у = 0. 414. 7x —4у = 0. 415. 2. 416. 10. 417. (х + 3)' + (у – 3)² =10. 418. х — 2у + 5 = 0. 419. 3x — 4у + 43 = 0. 420. M₁(—; ); d = 2. 421. x₁x + y₁y = R². 422. (x₁ — α)(x — α) + (y₁ — β)(у — β) = R². 423. 45°. 424. 90°. 425. (α — α)² + (β — β) = . 427. x — 2y — 5 = 0 и 2x — y — 5 = 0.

428. 2x +y — 8 = 0 и x — 2y + 11 = 0. 429. 2x + y — 5 = 0, x — 2y = 0. 430. 90°. 431. x + 2y + 5 = 0. 432. d = 7,5. 433. d = 6. 434. d = . 435. 3. 436. 2x + 4y — 1 = 0 и 2x + y + 19 = 0. 437. 2x + у — 5 = 0 и 2х + y + 5 = 0. 438.  = 2R cos ( — ₀) (черт. 92). 439. 1)  = 2R cos  (черт. 93); 2)  = —2 cos  (черт. 94); 3)  = 2R sin  (черт. 95); 4)  = — 2R sin  (черт. 96). 440. 1) (2; 0) и R = 2; 2) (; ) и R = ; 3) (1; ). R = 1; 4) (—;) и R = ; 5) (3; 4) и R = 3; 6 (4; ) и R= 4; 7) (4; —) и R = 4. 441. 1) x² + y² — 3x = 0; 2) x² + y² + 4 = 0; 3) х² + y² — х + у = 0. 442. 1)  = cos ; 2)  = —3 cos ; 3)  = 5 sin ; 4)  = — sin ;

5)  = cos  + sin . 443.  = R cos ( — ₀). 444. 1) ; 2) ;

3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) или 10) 447. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 446. 1) 4 и 3; 2) 2 и 1; 3) 5 и 1; 4) и ; 5) и 6) и 7) 1 и 8) 1 и 4 9) и 10) и 1 447. 1) 5 и 3 ; 2) F₁(—4; 0), F₂(4; 0), 3)  = ; 4) x =  448. 16 кв. ед. 449. 1) и 3; 2) F₁(0; —2), F₂(0; 2); 3)  = ; 4) y = ± . 450. кв. ед. 451. . 452. См. черт. 97. 453. (—3; —), (—3; ). 454. Точки A₁ и A₆ лежат на эллипсе; A₂, A₄ и A ₈ — внутри эллипса;

A₃, A ₅, A₇, A₉ и A₁₀ — вне эллипса. 455. 1) Половина эллипса расположенная в верхней полуплоскости (черт. 98); 2) половина эллипса , расположенная в нижней полуплоскости (черт. 99,); 3) половина эллипса расположенная в левой полуплоскости (черт. 100); 4) половина эллипса расположенная в правой полуплоскости (черт. 101). 456. 15. 457. 8. 458. 5x + 12у + 10 = 0, х — 2 = 0. 459. r₁ = 2,6, r₂ = 7,4. 460. 20. 461. 10. 462. (—5; 3и (—5; — 3). 463. (— 2; ) и (— 2; —). 464. 3 и 7. 465. 1) 2) 3) 3) 5) 6) 6) 466. 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 467. . 468. 471. 1) С (3; —1), полуоси 3 и , . уравне­ния директрис: 2x — 15 = 0, 2y + 3 = 0; 2) С(— 1; 2), полуоси 5 и 4, . уравнения директрис: 3x — 22 = 0; 3x + 28 = 0; 3) С(1; — 2), полуоси 2 и 4, . уравнения директрис: у — 6 = 0, у + 10 = 0. 472. 1) Половина эллипса = 1 расположенная над прямой у + 7 = 0 (черт. 102); 2) половина эллипса = 1 расположенная под прямой у — 1 = 0 (черт. 103); 3) половина эллипса = 1 , расположенная в левой полуплоскости (черт. 104); 4) половина эллипса = 1 расположенная вправо от прямой x + 5 = 0. (черт. 105). 473. 1) = 1 2) 2x² — 2xy + 2у² - 3 = 0; 3) 68x² + + 48xy + 82у² — 625 = 0; 4) 11х² + 2ху + 11y^s — 48x — 48y — 24 = 0. 474. 5x² + 9y² + 4x — 18y — 55 = 0. 475. 4x² + 3y + 32x — 14у + 59 = 0. 476. 4x² + 5y² + 14x + 40y + 81 =0. 477. 7x² — 2xy + 7у² — 46x + 2y + 71 = 0. 478. 17x² + 8xу + 23у² + 30x — 40y — 175 = 0. 479. x² + 2y² — 6x + 24y + 31 = 0. 480. (4; ), (3; ) — прямая касается эллипса. 482. Прямая проходит вне эллипса. 483. 1) Прямая пересекает эл­липс; 2) проходит вне эллипса; 3) касается эллипса. 484. 1) При |m|<5 — пересекает эллипс; 2) при т = ± 5 — касается эллипса; 3) при ) |т | > 5 — про­ходит вне эллипса. 485. k²a² +b² =m². 486. ; 488. 3x + 2у — 10 = 0 и 3x + 2y + 10 = 0. 489. х + y — 5 = 0 и x + y + 5 = 0, 490. 2x — у —12 = 0, 2х — 2y + 12 = 0; d = . 491. M₁(— 3; 2); d = . 492. x + y — 5 = 0 и x+ 4y — 10 = 0. 493. 4x — 5у — 10 = 0. 494. d = 18. 495. , ли . 496. . 499.

Указание. Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498. 500. . Указание. Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в задаче 498. 502. 2x + 11у — 10 = 0. Указание. Восполь зоваться свойством эллипса,

сформулированным в задаче 501. 503. (3; 2) и (3; — 2). 504. . 505. 10,5. 506.  = 60°. 507. 16,8. 508. 60°. 509. В эллипс, уравнение которого . 510. x² + y² – 0, 511. . 512. q = 513. q = 514. q₁ = q₂ = 515. 1) . 2) 3) . 4) 5) . 6) 7) . 8) 9) 516. 1) 2) . 3) . 4) . 5) . 517. 1) a = 1, b = 2; 2) a = 4, b = 1; 3) a = 4, b = 2; 4) a = 1, b = 1; 5) a = , b = ; 6) a = , b = ; 7) a = , b = ; 518. 1) a = 3, b = 4; 2) F₂(—5; 0), F₂(5; 0); 3)  = ; 4) y = ± 5) x = ± 519. 1) a = 3, b = 4; 2) F₁(0; -5), F₂(0; 5); 3)  = ; 4) y = ± 5) y = ± 520. 12 кв. ед. 521. 1) Часть гиперболы , расположенная в верхней полуплоскости (черт. 106); 2) ветвь гипер-

болы , расположенная в нижней полуплоскости (черт. 107); 3) ветвь гиперболы , расположенная в левой полуплоскости

(черт. 108); 4) ветвь гиперболы расположенная в верхней полуплоскости (черт. 109). 522. x + 4 + 10 = 0 и x — 10 = 0. 523. r₁ = 2, r₂ = 10. 524. 8. 525. 12. 526. 10. 527. 27.528. (10; ) и (10; — ) 529. (—6; 4) и (—6; — 4). 530. 2 и 26. 531. См. черт. 110. 532. 1) ; 2) x² — y² = 16; 3) . или 4) ; 5) ; 534.  = . 535. 1) ; 536. . 540. 1) 2)

541. 1) С (2; —3), а = 3, b = 4,  = 5/3, уравнения директрис: 5x — 1 = 0, 5x — 19 = 0, уравнения асимптот: 4x — 3y — 17= 0, 4х + 3у + 1 = 0; 2) С(—5; 1), a = 8, b = 6,  = 1,25; уравнения директрис: х=—11,4 и x= 1,4, уравнения асимптот: 3x + 4y + 11 = 0 и 3x — 4y + 19 = 0; 3) C(2; —1), a = 3, b = 4,  = 1,25, уравнения ди­ректрис: y = — 4,2, y = 2,2, уравнения асимптот: 4x + 3y — 5 = 0, 4х — 3у — 11 = 0. 542. 1) Часть гиперболы

, расположенная над прямой у + 1 = 0 (черт. 111); 2) ветвь гиперболы расположенная под прямой y —7 = 0 (черт. 112); 3) ветвь гиперболы расположенная влево от прямой x — 9 = 0 (черт. 113); 4) часть гиперболы расположенная влево от

прямой х — 5 = 0 (черт. 114), 543. 1) 2) 24xy + 7y² — 144 = 0; 3) 2xy + 2x — 2у + 7 = 0. 544. 545. 546. x² — 4у² — 6x — 24y — 47 = 0. 547. 7x² — 6xy — y² + 26x — 18y — 17 = 0. 548. 91x² — 100xу + 16у² — 136x + 84y — 47 = 0. 549. xу = при повороте старых осей на угол — 45°; ху = — при повороте на угол + 45°.

550. 1) С(0; 0), а = b = 6, уравнения асимптот: x = 0 и у = 0; 2) С(0; 0), a = b = 3, уравнения асимптот: x = 0 и y = 0; 3) С(0; 0), а = b = 5, уравне­ния асимптот: x = 0 и у = 0. 551. (6; 2) и (. 552. () - прямая касается гиперболы. 553. Прямая проходит вне гиперболы. 554. 1) Касается гиперболы; 2) пересекает гиперболу в двух точках; 3) проходит вне гиперболы. 555. 1) При |m| > 4,5 — пересекает ги­перболу; 2) при т = ± 4,5 - касается гиперболы; 3) при |т| < 4,5 – про-ходит вне гиперболы. 556. k²а² — b² = т². 557. 559. 3х — 4у — 10 = 0, 3х — 4у + 10 = 0. 560. 10x — 3у —32 = 0, 10x —3y + 32 = 0. 561. x + 2y — 4 = 0, x + 2y + 4 = 0; d = 562. M₁(—6; 3); d =. 563. 5х — 3у — 16 = 0, 13x + 5y + 48 = 0. 564. 2x + 5y — 16 = 0. 565. d = . 566. , . 567. . 568. х = — 4, х = 4, у = — 1, у = 1. 572. . 573. . 575. 2x + y + 6 = 0. Указание. Воспользоваться свойством гиперболы, сформулированным в задаче 574. 577. x² — у² = 16. 578. . 579. . 580. q = . 581. q = 2. 582. q₁ = 2, q₂ = у. 583. 1) y² = 6x; 2) у² = —x. 3) x² = ; 4) x² = — 6y. 584. 1) p = 3; в правой полуплоскости сниметрично оси Ох; 2) р = 2,5; в верхней полуплоскости симметрично оси Оу; 3) р = 2; в левой полуплоскости симметрично оси Ох; 4) р = ; в нижней полуплоскости симметрично оси Оу. 585. 1) у² = 4х; 2) у² = — 9x; 3) x² = у;

4) x² = — 2у. 586. 40 см. 587. x² = — 12у. 588. 1) Часть параболы у² = 4x; расположенная в первом координатном углу (черт. 115); 2) часть параболы

у² = — х, расположенная во втором координатном углу (черт. 116); 3) часть параболы у² = — 18x, расположенная в третьем координатном углу (черт. 117);

4) часть параболы у² — 4х, расположенная в четвёртом коорди­натном углу (черт. 118); 5) часть параболы x² = 5у, расположенная в первом координатном углу (черт. 119); 6) часть параболы x² == — 25у, расположенная в третьем координатном углу (черт. 120); 7) часть параболы x² = 3y, распо­ложенная во втором координатном углу (черт. 121); 8) часть параболы x² = — 16у, расположенная в четвёртом координатном углу (черт. 122).

589. F(6; 0), х + 6 = 0. 590. 12. 591. 6. 592. (9; 12), (9; — 12). 593. y² = — 28x. 594. 1) (у — β) = 2р(х — α); 2) (у —β)² = — 2р(х — α). 595. 1) (x — α )² = 2р(у — β); 2) (x —α)² = — 2р(у — β). 596. 1) А(2; 0), p = 2, x — 1 = 0; 2) А(0), р = 3, 6x —13 = 0; 3) А(0; —). р = 3, 6y — 13 = 0; 4) А(0; 2), p = ; 4y — 9 = 0. 597. 1) А(—2; 1), р = 2; 2) А(1; 3),