книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

динамическая точность, тем, вообще говоря, лучше система автомати­

в реальных условиях ее работы, выбираются такие воздействия, кото­ рые бы характеризовали либо наиболее неблагоприятные, но реально возможные, либо наиболее типичные и часто встречающиеся условия работы системы.

Часто исследование поведения системы под влиянием воздей­ ствия, представляющего собой заданную функцию времени, оказы­ вается практически вполне достаточным.

Располагая набором такого рода «типовых» или «пробных» воз­ действий и установив по отношению к каждому из них качество воспроизведения (определяемое, например, статической и максималь­ ной ошибкой, временем переходного процесса и числом колебаний), можно прийти к заключению, что система будет обладать требуемым качеством уже по отношению к целому классу воздействий, который может более или менее полно характеризовать реально возможные условия работы системы.

Другой подход заключается в предварительном изучении стати­ стических свойств всей совокупности воздействий, которые могут быть приложены к системе, и последующем применении к ее расчету мето­ дов математической статистики.

Следует, однако, заметить, что возможность этого последнего подхода, базирующегося на предположении о наличии связи между теорией процессов, происходящих при передаче сигналов, и мате­ матической статистикой, была осознана лишь сравнительно недавно. Трудно было отчетливо себе представить, что математические приемы, которые должны применяться для изучения таких последовательных данных, как, например, метеорологические сводки, публикуемые еже-" дневно Бюро погоды, и такой последовательности данных, которой, как мы видели, является сигнал в какой-либо линии связи, радио­ локационной установке или следящей системе, имеют что-либо общее.

ния во времени. Данные метеорологических сводок могут быть запи­ саны в виде таблиц, графиков, затем обработаны на счетно-аналити­

радиолокационная установка, определяющая координаты какого-либо

зависит от тех априорных сведений, которые имеются о воздействиях, прикладываемых к системе в реальных условиях ее работы. В част­ ности, можно предположить, что как управляющее, так и возмущаю­ щее воздействие представляют собой заданные функции времени.

В другом частном случае можно предположить, что воздействия представляют собой случайные функции с известными статистическими свойствами.

А'1ожно также предположить, что относительно воздействий известно лишь то, что они принадлежат к определенному классу функций, например к классу однозначных, непрерывных функций, огра­

в виде случайных функций времени и представляет собой дальнейший шаг вперед, однако эти методы не снимают и не умаляют значения методов анализа и синтеза при наличии воздействий в виде заданных функций времени, а лишь расширяют наши возможности в отноше­ нии более полного, чем это делалось до сих пор, учета реальных условий работы автоматических систем.

Можно задать вопрос: в каких случаях следует ограничиться рас­ смотрением процесса воспроизведения того или иного сигнала как обычного переходного процесса, вызванного заданным воздействием, и когда этот процесс необходимо рассматривать как случайный про­ цесс, применительно к которому обычное понятие качества воспро­ изведения, связанное с такими представлениями, как, например, время

переходного процесса, величина перерегулирования и т. д., теряет смысл?

Этот вопрос необходимо решать, исходя из анализа конкретных условий работы системы и предъявляемых к ней технических требо­ ваний.

Например, ясно, что применение статистических методов лило

межутками, достаточными для того, чтобы система успевала до

появления каждого следующего импульса приходить в установившееся состояние.

о том, каким образом отправитель получает необходимую информа­ цию. Получатель же информации играет пассивную роль, ие влияя на процесс передачи сообщения, даже если он происходит неудовле­ творительно. Наоборот, в системах автоматического управления как отправитель, так и получатель сообщения являются неотъемлемыми элементами системы, играющими активную роль в процессе передачи сообщений.

Практически это сводится к установлению обратных связей между каналом и отправителем, с одной стороны, и получателем сообщения (в качестве которого можно, скажем, рассматривать отдел техниче­ ского контроля), с другой стороны.

Можно себе представить, что эти обратные связи вводятся при помощи так называемых управляющих машин (УЛ4).

Функции управляющей машины в рассматриваемом случае заклю­ чаются в следующем. Если требуемые показатели качества ие удо­ влетворяются, то она должна:

1) вычислить новый начальный объем (А''} в пространстве настроек, определяющий способ кодирования (другими словами, технологию

ние технологии производства в соответствии с результатами анализа качества продукции или изменение способа кодирования, т. е., дру­ гими словами, выполнить некоторое корректирующее действие.

Проблему корректирующих действий, которую должна решать УА1, также удобно рассматривать как проблему теории статистических выводов, а именно, вывода о необходимости корректирующего дей­ ствия и выводов о том, какие изменения следует произвести в спо­ собе кодирования или уставках.

Рассмотренные выше аналогии представляют интерес не только потому, что они свидетельствуют о применимости понятий теории информации в теории управления. Они указывают также на то, что проблемы теории автоматического управления представляют собой широчайшую область применения статистических идей, теорий и пред­ ставлений.

В связи с этим направлением в теории управления, базирующемся на признании роли и введении в рассмотрение методов математиче­ ской статистики и представляющем собой основной предмет всего

нарных колебаний, из которой сформировалась так называемая кор­ реляционная теория случайных процессов.

А. Н. Колмогоров2) решил при весьма общих допущениях задачу определения оператора, обеспечивающего минимум среднеквадратиче­ ской ошибки интерполирования и экстраполирования стационарных случайных последовательностей. Эти результаты тесно соприкасаются с полученными значительно позже результатами Н. Винера3), кото­ рому принадлежит постановка задачи синтеза оптимальных динамиче­ ских систем при стационарных случайных воздействиях. Основной результат работы Н. Винера заключается в получении и решении интегрального уравнения, определяющего при указанных условиях импульсную переходную функцию, обеспечивающую минимум средне­ квадратической ошибки требуемого преобразования сигнала.

Указанные выше работы послужили стимулом для появления целого ряда более поздних работ, развивающих статистические методы ана­

Г Л А В А I

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА И ОСНОВНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. Введение

Прежде чем приступить к нашей основной задаче анализа и син­ теза систем автоматического управления при наличии случайных воз­ действий, рассмотрим вкратце некоторые основные понятия и сведения, связанные с применением преобразований Фурье и Лапласа к анализу переходных процессов, возникающих в линейных динамических сис­ темах при воздействиях в виде заданных функций времени. Из даль­ нейшего изложения будет ясно, что такого рода основные для теории обычных переходных процессов понятия, как частотные характери­ стики, передаточные и переходные функции, играют не менее важную роль и в теории случайных процессов.

За недостатком места мы не сможем дать сколько-нибудь полного изложения методов анализа переходных процессов, а приведем лишь те сведения из этой обширной области, которые понадобятся при дальнейшем изложении.

2. Дифференциальные уравнения линейной динамической системы

Из сказанного легко видеть, что 1114^ 11.

Решение или общий интеграл уравнения (1.4) состоит из двух частей. Первая часть решения есть общий интеграл уравнения (1.4) без правой части, т. е. решение однородного дифференциального уравнения

(апРп an-iP" ~ 1 ••• - M iP - M o )* = 0. (1.9)

Вторая часть решения есть частный интеграл уравнения (1.4), пред­ ставляющий собой выражение, которое, будучи подставлено в левую часть уравнения (1.4), превращает его в тождество.

Рассмотрим вначале решение однородного уравнения (1.9). Оно определяет свободные колебания системы, т. е. колебания, которые система, выведенная из состояния покоя некоторым воздействием, совершает после того, как это воздействие исчезло.

Будем искать решение уравнения (1.9) в виде

Подставляя (1.10) в (1.9), получим:

откуда следует, что выражение (1.10) действительно является реше­ нием уравнения (1.9) при условии, что величина X является корнем характеристического уравнения

где значения постоянных Kv К2, . . . . Кп зависят от начальных усло­ вий. Если среди корней имеются кратные корни, то корню )ч, имею­ щему кратность V , соответствует частное решение уравнения (1.19) вида

Из (1.13), а также из (1.14) очевидно, что функция x CB(t), пред­ ставляющая собой решение уравнения (1.9), будет удовлетворять условию

Гармоническое воздействие вида (1.17) может рассматриваться как сумма двух экспоненциальных воздействий, т. е. вместо (1.17) мы