книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

1 8 0

ОПРЕДЕЛЕНИЙ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

Рис. 4.22.

ее участок

можно

заменить

ломаной

кривой (рис. 4.23),

состоящей

из сопрягающихся

прямолинейных

отрезков, из которых первый

имеет

наклон в 6k

децибел,

второй

в 6 ( k — 1) децибел, третий —

опять

в 6&

децибел и т. д.,

причем

точки сопряжения

необходимо

процесса

x(t),

а сама

запись,

например, в виде осциллограммы.

Для пояснения идеи метода необходимо привести некоторые све­

дения о полиномах Лягерра.

Функцией Лягерра

v-ro порядка

называется2*)

1

V+ —

1

2 /

Г - ’ +

. . . +

U 0 = e - ‘ {

> - 1 ) !

+

2'|~Х+Т

у| (— 1)х

. . . + 2

а (— l)v| .

(4.85)

у.! [ ( v — к . ) ! ] 5

Преобразование Фурье Z.v(y'u>) для функции Лягерра имеет весьма

простой вид

L M

= V 2

(v = 0 , 1 , 2 , . . . ) .

(4.86)

Это легко показать следующим образом.

Рассмотрим

функцию от /,

равную нулю при

t < 0

и

равную

Ре~1 при

^ > 0. Ее преобразование

Фурье

00

J p

e-‘e - l « d t =

(4.87)

О

Поэтому,

принимая

во

внимание (4.87), из (4.85)

получим:

СО

2Ч

2v-iv

J Д(Ое~/ш' dt

• +

( 1 + » ,+1

( l + » v

о

________ v!________

i z i i n

+

2“ х(— 1)х к.1

( v —

к . ) ! ( 1 - ) - jut)'*-*

+

• •• +

0 + У « ) Г

как

[ 2 - ( ! + » ] »

. ...

( 1 - > Д

(1 _|_ушр+1

~

(1 + » ^ + 1

1) См. W i e n e r

N.,

Extrapolation,

interpolation and

smoothing

of statio­

nary time series,

J. Wiley, N. Y., 1949.

stationary

2) W i e n e r

N..

Extrapolation, interpolation and smoothing of

time series,

John

Wiley,

N. Y., 1949; Д ж е й м с X. и др„

Теория

следящих

Систем, ИЛ,

Москва,

195J.

184

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

СО

оо

= 4

/ ^

=

1

(4.88)

И

при V

ф

СО

1

Г

•

*

1

Г (

— t

rfu) = 0.

(4.89)

2^

J

A* C/w) L, (У’ш) (1ш — —

— СО

£ ( l + > f +1“ 4

Имея

в виду данное выше определение функций Лягерра,

заметим,

что если

некоторая

функция л'(-с) удовлетворяет

условиям

х (оо) =

0,

J

[х (т)]2 d-z <

оо,

о

то

ее можно

разложить

в

ряд

ОО

* ( х) =

2

(4.90)

где

(1=0

c* — f

(х) V (х) rfx-

(4.91)

о

Следовательно, учитывая (4.90) и (4.86),

можем

написать:

°°

со

“

[

х (т) е ~ ^

dT =

^

f

l„ (т)

dT = / 2

У] с,

~r J®)

• (4-92)

о

(i=o

о

ii =o

Предположим теперь, что нам задан

график

некоторой

стацио­

нарной

случайной функции х(()

на интервале [0, 2Т]. Введем в рас­

смотрение

функцию хг(/),

определив

ее следующим

образом:

* г (0 =

х (t)

при

0 <

t < 2Г,

0

при

остальных

t.

Тогда

ее

преобразование Фурье будет

иметь

вид

ат

Хт (Уш) = j

x T{t) e~jwt dt,

(4.93)

ное устройство, представляющее

собой,

по существу, спектральный

анализатор, основанный на формулах (4.98), (4.91),

должно состоять

из генератора

функций Лягерра, умножителя и интегратора.

Генератор

функций Лягерра

можно

выполнить в виде програм­

много механизма или в виде специального фильтра').

Если к фильтру приложено единичное напряжение, то токи, про­

текающие по

последовательным

ветвям

фильтра,

будут

изменяться

по функции Лягерра.

Преимущество

этого

спектрального

анализатора

по

сравнению

с рассмотренными-

выше

заключается в

том, что,

определив при

ческое

выражение

для спектральной плотности, в

то

время

как

другие

анализаторы

позволяют получить лишь кривую спектральной

плотности,

которую

обычно нужно потом аппроксимировать каким-

либо известным аналитическим выражением.

J) См.,

например,

в а н д е р П о л ь Б. и Б р е м м е р

X.,

Операцион­

ное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа, ИЛ,

1952.

В чем смысл критерия средиеквадратической ошибки

(или сокра­

щенно критерия СКО)?

Согласно этому критерию нежелательность ошибки

пропорцио­

нальна квадрату

ее величины вне

зависимости от

момента времени,

в который имеет

место ошибка.

Вообще говоря,

такого рода кри­

возрастает вместе с ее величиной.

Однако возможны случаи, когда

все достаточно большие ошибки

в одинаковой мере нежелательны.

учитывающий это

обстоятельство.

• Кроме того, критерий СКО обеспечивает

малость лишь среднего,

а не мгновенного

значения ошибки, что также не всегда является

достаточным.

Наконец, применение критерия СКО может оказаться нерацио­

нальным в тех случаях, когда в некоторые

моменты времени вели­

2]

СВЯЗЬ

СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ВХОДА И ВЫХОДА

189

если

известна

корреляционная функция

или

спектральная плотность

сигнала на ее входе;

2)

изложить способ вычисления интеграла (5.4) в том случа

когда

функция 5 6(ш) представляет собой

дробно-рациональную функ­

случайный

сигнал m(t),

имеющий

корреляционную функцию

/?т (т)

и спектральную плотность S m(ш).

m l t l

xiv

Рис.

5.1.

Найдем

корреляционную

функцию

R r(~) и спектральную

плот-

ость 5^.(ш) величины x ( t ) на выходе.

Имеем2):

г

RjA т) =

lim

o f

f x ( t - \ - - ) x ( t ) d t .

(5.5)

Г > С О

“

Но

—T

оо

x ( l ) =

J m

—

(л) d\.

(5.6)

—со

ЯжС О = lim

J

ей.

J dr\ k(-r\)k(k){

j '

— т])m(t—X) dt

^ > 00 — СО

— о о

[

~ Т

J

(5.7)

])

Д ж е й м.с

X.,

Ни к о л ь е

Н.,

Ф и л л и п с Р.,

Теория

следящих

систем, ИЛ, 1951.

а)

Здесь и

везде

далее знак

предела при 7"-»-оо

означает

лишь, что