Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 6616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

150	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК	[ГЛ. IV
	В соответствии с разделением операций записи процесса	и вы

числения его статистических характеристик электрическая часть коррелографа разделяется на записывающее и счетно-решающее устройства.

Поскольку исследуемый сигнал не может быть записан на маг нитную пленку способом, принятым обычно в радиовещательных маг нитофонах, благодаря на личию в нем постоянной составляющей и имфрамизких частот, в магнит ном коррелографе при менено предварительное преобразование входного сигнала с помощью ампли тудной модуляции напря жения двух несущих

частот.

	Входной			сигнал			а
	(рис. 4.7) разделяется по
	полярности			на	положи
	тельную а + и отрица
	тельную а~ части, после
	чего каждая из них посту
	пает	на	вход балансного
	модулятора,			работающего
	с подавлением несущей.
	Модуляторы питаются от
	двух	генераторов				несу
	щих	(/[ =		3500		ги,	и
	/ 2 =	7000		гц),	частоты
	которых находятся в от
	ношении,		точно			равном
	двум	(что		достигается
	удвоением			частоты			f {).
	После модуляции					части
	сигнала имеют вид, пока
Рис. 4.7.	занный		на	графиках а^

и ат. То обстоятельство,

что модуляторы никогда не работают одновременно, позволяет снова направить обе части сигнала по одному каналу. На графике a показан сигнал в том виде, в котором он подается на записывающие магнитные головки.

Принципиальная схема (рис. 4.8) записывающей части магнит ного коррелографа строится в соответствии с порядком преобра зований входного сигнала. Последний подается на два входных

7] МАГНИТНЫЙ КОРРЕЛОГРАФ 151

катодных повторителя / и 2, позволяющих сделать входное сопро тивление прибора достаточно большим. Разделение сигнала по полярности производится с помощью разделительных устройств, ими тирующих характеристики «идеального диода» и условно показан ных на принципиальной схеме в виде диодов 3 и 4. Пройдя баланс ные модуляторы 5 и б (которые питаются от генераторов 7 и 8), части сигнала поступают на смесительный каскад 9, где усили ваются, объединяются в одном канале и подаются на магнитные головки 10 и 11.

В процессе записи движущаяся с постоянной скоростью магнит ная пленка 13 огибает направляющий ролик . 12 и, образуя петлю,

сигналь/

Рис. 4.8.

соприкасается своей эмульсионной стороной с рабочими зазорами магнитных головок, расположенных в разных плоскостях таким обра зом, что в результате на пленке появляются две одинаковые до рожки записи.

Необходимое ультразвуковое смещение в головках, позволяющее осуществить линейную магнитную запись сигнала, производится от генератора ультразвуковой частоты 14.

Если при воспроизведении сигналов сохранить относительное расположение направляющего ролика и магнитных головок таким, каким оно было при записи, то с обмоток головок будут получены


два	синфазных		сигнала, что		соответствует	запаздыванию		т = 0.
В случае		перемещения ролика			в направлении стрелки		k синфаз-
ность	сигналов		нарушается	и	появляется	запаздывание		сигнала
в головке		11 по	отношению	к	сигналу в головке 10 на		время

	h —h	(4.13)
	v	(4.13)
	v

где т — запаздывание в сек; v — линейная скорость пленки в м м / с е к ; /0— расстояние между зазорами головок по ходу пленки при

152	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ		ХАРАКТЕРИСТИК		[гл. IV
записи в	мм;	— расстояние между	зазорами	головок по	ходу
пленки при воспроизведении в мм.
Юстировка блоков вычислительной части коррелографа перед
расчетом	корреляционной функции производится			с помощью	конт

рольного сигнала определенной величины, записываемого до основ ного сигнала или после него и подаваемого на записывающее устройство через переключатель 15.

Вычислительное устройство магнитного коррелографа может быть разделено на часть схемы, предназначенную для воспроиз ведения и приведения двух сигналов к той форме, которую сигнал

имел

при

записи

на

входе прибора, и часть,

предназначенную для

математических

преобразований

между

восстановленными

сигна

лами.

При воспроизведении (рис. 4.9) сигналы

и bfj^ с магнитных

головок М Г г и МГ2 поступают на предварительные

усилители

1 и 2,

после

чего

каждый

из

них с помощью фильтров

нижних

частот 3

и 5 и фильтров верхних частот 4 и 6 разделяются

на два

канала,

соответствующих

каналам несущих / , и / 2, в

результате чего

могут

быть

раздельно получены части сигналов а,/,,

и bfi, b/а. Эти

части,

будучи

усилены

выходными

каскадами

7, 8, 9 и 10,

посту

пают

на демодуляторы

11, 12,

и 14,

работающие по

принципу

полного выпрямления. Сигналы,

полученные с демодуляторов,

филь

труются от

остатков

несущей и группируются таким образом,

чтобы

7]	МАГНИТНЫЙ КОРРЕЛОГРАФ		153
получить разность	а — b двух	полностью восстановленных	сигна
лов а и Ь.
Электрическое	напряжение,	пропорциональное величине	а — Ъ,

подается на вход квадратирующего устройства 15, состоящего из

согласующего	катодного повторителя и квадратора, работающего
по принципу	кусочно-линейной аппроксимации.

Последним звеном вычислительного устройства является интегри рующее устройство 16, которое представляет собой усилитель

постоянного тока с обратной		связью	через емкость. Выходной			сиг
нал интегратора подается на регистрирующее устройство					17.
Если	исследуемый процесс	х (1),	являющийся	случайной функ
цией времени t, представляет собой сигнал а, то				сигнал b	является
случайной функцией времени t - \|-т.
После	всех описанных выше преобразований			сигналов	в	при

боре величина выходного напряжения интегрирующего устройства

будет	равна
		г
15в ы х = k		J [х (t) - x { t - \ r		т)]8 dt =
	С	о		Т .		1
	С	Т	Т	Т .		1
=	k	г x*(t)dt — 2 J		x ( t - \ - x ) x { t) d t - \ - J x	2 (/ + - ) < « ,	(4.14)
	1 о			о		o
В полученном			выражении первый и третий		интегралы	являются

величинами, пропорциональными среднему значению квадрата про

цесса	х 2, а	второй	интеграл является величиной, пропорциональ
ной корреляционной			функции	R( т) для данных Г и т .
С	учетом	того,	что для	случайного стационарного процесса

величина среднего значения квадрата постоянна и не зависит от вы

бора начала отсчета времени, выражение					(4.14)		может		быть перепи
сано	следующим		образом:
		т	т
Uвых =		2А J. [х (012 dt — 2k f х (t) x (t -}- т) dt ^
		о		о
			^ 2 k R ( 0 ) — 2kR(x) =				C - \ - k tR(z),			(4.15)
где	k	и k {— постоянные коэффициенты;			С — постоянная					величина,
пропорциональная среднему значению квадрата							процесса; R ( т) — ис
комая корреляционная функция для данных						Г и т .
Определение			и регистрация	величины		U Bых		для	выбранного Г
при	систематическом увеличении			т производится				в магнитном кор-

релографе автоматически, без участия оператора. Таким образом находится весь график функции R ( т).

Величина математического ожидания т0 в случае необходимости может быть найдена непосредственным интегрированием сигнала х (t)

154 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК [ГЛ. IV

за время Т. Эта операция осуществляется в коррелографе путем


коммутационных переключений (на		схеме рис. 4.9 при этом выклю
чатель R находится	в положении	«выключено»,		выключатель	5 —
в положении «выключено», переключатель			Г — в положении II).
Автоматическая	регистрация величины		R(x)	производится с	по

мощью стандартного регистрирующего электронного потенциометра. Благодаря высокому выходному сопротивлению интегрирующего устройства связь его с входом усилителя регистрирующего потен циометра осуществляется посредством синхронно-вращающегося кон денсаторного модулятора, создающего энергию, необходимую для щеточной цепи первого каскада усилителя, за счет механической

энергии синхронного двигателя.

Общая координация операций при работе магнитного коррелографа и автоматического управления механической частью его осуществляется с помощью блока автоматического управления. Последний связан с датчиками, расположенными у магнитных го ловок. Датчики срабатывают от карандашных меток, наносимых на магнитную пленку в начале и конце исследуемого процесса, по

давая управляющие импульсы на схему автоматического			управления
для очередной остановки и реверса		лентопротяжного	устройства,
а также для других операций	управления схемой магнитного кор-
релографа.
8. Электронный коррелятор')
Предположим, что значения	x v	х г, . . . . y v у 2, ■■■ исследуе

мого напряжения, разделенные промежутками времени Т (рис. 4.10),

являются независимыми. Тогда

i=i

Принцип действия электронного коррелятора, осуществляющего эту операцию, может, например, заключаться в следующем.

Ламповый генератор дает две последовательности кратковремен ных импульсов Ь1 и Ьг, имеющих одинаковую амплитуду и период

tion	х) L e e I. W., С h e lh am	Т. Р.,	W i е s п е г J. В.,	Application	of correla
tion	analysis to the detection of periodic signals in noise, Proc. JRE, Oct. 1950,
pp.	1165—1171. S i n g l e t o n	H., A	digital electronic	correlator,	Proc. JRE,
Dec.	1950, p. 1422.

9]	МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ	КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ	155
повторения	Т (ри с.-4.11). Обе	последовательности импульсов	при

помощи схемы задержки смещаются друг относительно друга на

регулируемое

время

т.

Эти

импульсы

служат

для

получения прямоугольных импульсов

с и d, амплитуды которых пропор

циональны

соответственно

x v

х 2 . . .

и у у 2, . . .

Генератор,

дающий

на

пряжение пилообразной формы, превра

щает последовательность импульсов d,

модулированных по амплитуде, в после

довательность импульсов е, имеющих

одну и ту же амплитуду,

но модулиро

ванных по времени. Затем последова

тельности импульсов

с и е

перемно

жаются, в результате чего получаются

импульсы /,

имеющие амплитуды,

про

порциональные

значениям

jc,,

х 2, . . . .

и длительности,

пропорциональные зна

чениям

y v

у 2 . . .

•

Наконец, последовательность им

пульсов

подается

на

электронный

интегратор,

на

выходе

которого

при достаточно

большом числе N им

пульсов / получается значение кор

реляционной

функции

при

данном

т.

Затем смещение т между последователь

ностями

импульсов

изменяется,

Рис. 4.11.

процесс

повторяется

снова,

т,

д.

Корреляторы могут быть построены также на основе принципов, используемых в современных цифровых электронных вычислитель ных машинах.

9. Методика определения корреляционной функции по экспериментальным данным

1) Параметры, определяющие точность получения корреляцио ных функций.

Как уже было отмечено выше, любой стационарный случайный процесс можно рассматривать как предел последовательности про цессов с дискретным спектром*).

*) К о л м о г о р о в А, Н., Стационарные последовательности в гильбертов-

ском пространстве, Бюллетень-МГУ,-2, вып. 6,					1941 г., .1—40;		К о л м о г о
р о в	А. Н., Кривые в гильбертовом пространстве, инвариантные						по отноше
нию	к	однопараметрнческой группе		движений,	ДАН 26,	1940, 6—9; Я г-
лом	А.	М.,	Введение в теорию стационарных		случайных функций, УМН,
t. VII; вып.			5 (51), Москва, 1952,	-	■	■

156 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ГЛ. IV

Эти последние представимы в виде

	П
	* (0 =	sin (“ **+		?*)•
	f c = l
где а,,	а2...........ап — некоррелированные			случайные величины со
средним	значением нуль;
	Жа, = Ма2 —	. . . =	Мак — О,
	Ma-fij = О	при	i Ф у,

<ок— случайная фаза; cofc— вещественная постоянная (Ж — знак мате

матического		ожидания).	Можно	доказать, что для каждого			стацио
нарного	процесса x(t),		любого	сколь угодно малого е > 0 и любого
сколь угодно большого			0 существуют такие попарно некоррелиро
ванные случайные величины аг,				а2, . . . . ап (число п.		конечно, будет
зависеть	от	е и 0) и такие вещественные числа			Wj,	ш2, . . .,	u>n, что
при любом t		из интервала
			— 0 < / < 0
			П
		Ж х (О — 2 ак s i n ( < V + <aP)			< е.
			*=х

Это неравенство показывает, что каждый стационарный случайный

процесс x(t) можно сколь	угодно точно	аппроксимировать линей
ной комбинацией гармонических колебаний вида
** (0 =	в* • s!n (V +	«pft)

со случайной амплитудой, фазой и постоянной частотой. Получим сначала «корреляционную» функцию одной гармоники. Пусть

x(t) = а • sin (u>t -|- <р),

где для простоты величины а, ср, ш положим постоянными. По формуле

			СО
	/?»(х ) « / x { t) x ( t + x)dt				(4.16)
			о
находим	при достаточно		больших Т:
			Rx (т)	ai
			Rx (т)	cos сот.
Если же	ограничиться	конечным		промежутком времени, то	по фор
муле (4.16) имеем:
п / \	я2 (	1	Гsin (2и>Т	шт 4- 2ср) — sin (шт -(- 2®) 1)	.. .

R A ^ = 2 \ 0S^ - t [— ------

2ш---------'

J[- (4Л7>

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

157

Второй член в квадратных скобках выражения (4.17) характеризует величину ошибки, которая может быть допущена вследствие того, что вместо бесконечного рассматривается конечный промежуток.

Эта ошибка, как это ясно из выражения (4.17), имеет порядок-^;

и убывает с увеличением Т. Но

и)Г =

^ - . Т,

(4.18)

где

Т0— величина

периода,

соответствующего

частоте

ш.

Так как

в формуле (4.17) при данном р. используется интервал Т =

(А/ — р.) . Д,

а не N • Д,

то

а)Т = ^ ( Л / — и).Д.

' О

Таким образом, если ошибка не должна,

например,

превышать

2%,

то мы будем иметь:

??(/V — р .)Д > 50

или

*О

ЛА — р.Д^,8Г0.

(4.19)

Из неравенства (4.19) следует, что при больших значениях р.

формулами

(4.7)

(4.8)

пользоваться

нельзя.

Действительно,

если

в неравенстве

(4.19) положить

N Д

равным 9Т0,

то рА не должно

превышать

Т,

т.

е.

(4.20)

или

В выражениях

(4.19) — (4.20)

величина р-Д играет роль

т.

Таким

образом, чем больше р. (или

т),

тем

больше

ошибка

опреде

ления Rx (t).

Из изложенного выше следует: точность определения корреля

ционной функции

зависит

от

величины

интервала

интегрирования Т

и максимального

т.

Под максимальным т будем понимать такой интервал времени тшах,

начиная с которого

будет

выполняться

неравенство (рис.

4.12)

|Д ( т ) |< 0 ,0 5 |£ ( 0 )|.

где

/?(т) — корреляционная

функция

центрированного

случайного

процесса

х (t) =

(t) — m,

х ДО — случайный

процесс;

= M [ x l {t)\

— математическое

ожи

дание х х (/).

158	ОПРЕДЕЛЕНИЕ		СТАТИСТИЧЕСКИХ			ХАРАКТЕРИСТИК		[ГЛ. IV
Совершенно		ясно	также,		что чем больше ординат Rx (т)
(или Ryx(t)) будет вычислено				на	интервале 0 -^ т < ^ Ч шах, тем			точнее
по ним можно определить			промежуточные значения # г(т)[или Rvx (т)},
					а следовательно, и всю корреляцион
					ную функцию. Кроме того, чем мень
					ше шаг интегрирования Д, тем больше
					точность вычисления корреляционных
					функций.
					Таким образом, факторами, опре
					деляющими точность вычисления кор
					реляционной функции, являются мак
					симальное т, длительность интервала
					интегрирования Т, велкч .на				шага
					интегрирования Д, число ординат, вы
					числяемых на интервале 0 ^ т ^ т П1„х.
					Ниже излагается методика выбора
ординат	на интервале 0			ттах. Т,		шага Д и числа вычисляемых
ординат	на интервале 0		^ т ^ т тах,
2)	Выбор ттах и Т из частотных соображений.						Остановимся		снача
на выборе максимального т.
При	выборе	максимального т			будем	исходить	из полуэмпириче-
ского неравенства
								(4.21)
где io„ — низшая		частота	спектра		случайного процесса.
Смысл этого		неравенства		сводится		к следующему: период			низ

шей гармоники спектра случайного процесса не должен превышать ттах. Оценим теперь длину интервала интегрирования Т. При выборе Т интерес представляет только низшая частота ш„.

Действительно, как следует из выражения (4.17), при конечном Т на ошибки определения Rx (t) [или /?уд.(т)[ влияют главным образом

низшие частоты спектра.
Поэтому при выборе Т погрешность вычисления Rx (т)								[или /?уд.(т)[
в первом приближении можно оценить по ошибке определения									кор
реляционной функции для низшей гармоники спектра.								величиной
Задаваясь	низшей		частотой	шн	и	допустимой		величиной
ошибки — 2%,	из	выражения		(4.17)	получаем		неравенство		для
грубой оценки	Т:
			7’ >	— .				(4.22)
				“ п
Сравнивая	неравенства (4.21)			и (4.22),		полученные		одно незава-
симо от другого, имеем			следующую полуэмпирическую зависимость:
			7’^ 1 0 - w .					(4.23)
Таким образом, в первом приближении тшах.и Т							могут быть опре
делены следующим		образом.

9 ]

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

1 5 9

1. Располагая некоторыми сведениями о работе исследуемого или сходного объектов, задаемся рабочим диапазоном частот.

2.По низшей частоте спектра на основании неравенства (4.21) выбираем ттах. Окончательно ттах уточняется в процессе вычисления корреляционной функции.

3.По формуле (4.23) для выбранного ттах находим Т. Найденное Т может быть уточнено на основании различных

критериев.

Ниже дается уточнение интервала Т на основе критерия средне квадратической ошибки.

3) Уточнение Т, соответствующего выбранному ттах, на осно критерия среднеквадратической ошибки.

Для уточнения найденного Т решим задачу: какой должен быть интервал интегрирования Т, соответствующий выбранному тП1ах, чтобы среднеквадратическая ошибка, обусловленная конечностью Т, не превосходила наперед заданного значения.

Рассмотрим выражение *)

Яг СО = у f	Х(0Х(*
о
В силу конечности Т RT{т)	является случайной функцией, зави

сящей от Т, т и значений подынтегральных функций на концах интервала интегрирования.

Поэтому наиболее просто и естественно принять в качестве меры точности определения корреляционной функции дисперсию R t (0 :

о=(0 = М [Я г (0 -Я (0 1 2.

Так как

и			MlR(x)] =			R(x)

то			M [ R r (x)] =				R(x).

		=2 (О =		44 [ # ( 0 1 - я 2 (О.							(4.24)
Вводя	обозначение
			2(0 = * (0 ■* (* -\|- 0 .
')	D a v e n p o r t W.		В.,	J о h n s о п			R. A. and		M i d d l e t o n		D., Stati
stical Errors in		Measurements		on Random			Time	Function,		Journal	of Applied
Physics, t. 23, № 4, 1952;			B l a s s e l		P.,	Erreur		due a une		duree d'infegration
finie dans ia determination des				functions			d’autocorrelation,			Annales des Tele
communications,		V. 8, №	12, 1953; К у т и н				Б. H., О		вычислении		корреляци
онной	функции	стационарного случайного процесса							по экспериментальным
данным, Автоматика и телемеханика,					т. XVIII, № 3, 1957; Х а р ы б и н А. Е.,
Анализ ошибок в определении				среднего значения случайной величины и ее

квадрата, связанных с конечностью времени наблюдения, Автоматика и телемеханика, т. XVIII; № 4, 1957.

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 6616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ