книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

1 3 0 СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ t г л . нг

Имеем:

СО

Нормированной корреляционной функции р(т) соответствует нор мированная спектральная плотность

дожить, что она является стационарной случайной функцией. Функ­

ция y{t) в первом приближении сохраняет постоянное значение в тече­ ние каждого из последующих интервалов. Более точное определение

функции y (t) может быть дано следующим образом:

где через ап обозначены независимые случайные переменные, имею­ щие одно и то же распределение. Интервалы

ХЛ~ ^Я +1 ^II

также представляют собой независимые случайные переменные, имею­ щие одну и ту же функцию распределения вероятности.

Определим, прежде всего, вероятность w(x) того, что значения функций y{t) и _у(^ + т) лежат в одном и том же интервале. Из определения функции y(t) ясно, что эта вероятность будет равна вероятности отсутствия перемены знака в случае телеграфного сигнала, рассмотренного в § 7 гл. III. Ит£к,

где через р, обозначена величина, обратная среднему значению х интервалов хп, т. е.

1

г

y ( t ) y ( t + х) = а2,

если моменты t и t -\ -x относятся к одному и тому же интервалу, и

> (0 3 '(^ Н -т) = (а)2,

если эти моменты относятся к разным интервалам.

интервале, равна да(т). Поэтому, усредняя по всем возможным рас­

9. Спектральная плотность последовательности равноотстоящих импульсов, имеющих одну и ту же форму,

но различную амплитуду

Предположим, что случайная функция y(t) с плотностью распре­ деления вероятности w(y) представляет собой последовательность

состоит из двух частей (рис. 3.6): 1) из непрерывного спектра

у 1 ^ ( » | 2.

имеющего такую же форму, как и спектр F (j со) отдельного импульса,

и 2) из линейного спектра, состоящего из линий, имеющих «мощность»

ТТ

расположенных друг от друга на расстоянии - у .

Огибающая линейного спектра имеет такую же форму, как и оги­ бающая непрерывного спектра, и определяется спектром отдельного импульса.

Интересно отметить, что отношение «мощности» непрерывной с2

V

СО

(3.77)

— о У

О ) у -

—СО

10.Спектральная плотность последовательности

Рассмотрим последовательность импульсов (рис. 3.7), имеющих одну и ту же форму и амплитуду а, но различную частоту повто­ рения. Мы предположим, что промежуток времени между последую­ щими импульсами колеблется относительно среднего значения в соот­ ветствии с некоторой функцией распределения вероятности.

Пусть Тср — средний период повторения импульсов, а — откло­ нение k-vo промежутка между двумя последующими импульсами

Тогда при помощи рассуждений, сходных с приведенными в преды­ дущем параграфе, можно показать, что спектральная плотность в рас­ сматриваемом случае определяется выражением х)

(3.78)

Как мы видим, теперь форма огибающих непрерывного и линей­ ного спектров в отличие от случая, разобранного в предыдущем параграфе, уже зависит не только от спектра отдельного импульса, но и от функции W (у'ш).

1) См. Mac F а г 1a n е G. G., Ргос. IRE, т. 37, № 10, 1949.

ГЛ А В А IV

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.Введение

Впредыдущих параграфах было рассмотрено несколько примеров, когда корреляционная функция, а следовательно, и соответствующая ей спектральная плотность могут быть определены из чисто теоре­ тических соображений.

Однако на практике обе эти функции значительно чаще приходится определять при помощи весьма кропотливой обработки эксперимента­ льных данных, представляющих собой запись изучаемого случайного процесса.

Внастоящей главе описываются специальные вычислительные

устройства — корреляторы и спектральные анализаторы! существенно упрощающие процесс обработки случайных процессов, и рас­ сматриваются основные факторы, от которых зависит точность по­ лучения корреляционной функции из экспериментальных данных.

В последующих главах будет показано, что основными данными для расчета систем автоматического управления, находящихся под влиянием стационарных случайных воздействий, являются корреля­ ционные функции или спектральные плотности воздействий. При этом аналитические методы расчета основываются на предположении, что спектральные плотности заданы в виде дробно-рациональных функций от со. Однако на практике в качестве исходных данных мы обычно будем иметь экспериментальные кривые, соответствующие корреля­ ционным функциям или спектральным плотностям, полученные в ре­ зультате обработки записей случайного процесса, причем аналитиче­ ские выражения для этих кривых будут неизвестны. Поэтому для применения излагаемых далее аналитических методов расчета необхо­ димо, прежде всего, уметь аппроксимировать кривые спектральной плотности дробно-рациональными функциями.

Ниже излагаются некоторые возможные методы решения этой задачи,

2. Расчетные формулы для вычисления корреляционной функции по экспериментальным данным

Для того чтобы пояснить способ определения корреляционной функции /?(т), соответствующей заданной экспериментальной кри­ вой x(t), рассмотрим формулу:

т

(4Ч1)

-V

Разделим промежуток времени Т на N весьма малых интервалов Д