книги из ГПНТБ / Эйнштейн и развитие физико-математической мысли Сб.ст

причем произведению движении соответствует произведение мат­

риц. Поэтому комплексные линейные преобразования

образуют линейное представление группы движений пространства Лобачевского. Это представление и называется спинорным пред­

ставлением группы Лоренца, а комплексные векторы с координа­

тами z0, Z1 называются спинорами. Если в формулах (22)

и (22') положить d= аис = — Ь, то получим спинорное представ­

ление группы вращений трехмерного эвклидова пространства. Спинорные представления были открыты еще в 1913 г. Эли

Картаном, но свое название они получили только в 1930 г. благо­

даря их связи со спином электрона ɪ. Как оказалось, состояние электрона должно описываться четырьмя комплексными функ­

циями пространственных координат и времени, две из которых

при преобразованиях Лоренца преобразуются как координаты z0, Z1 спинора, а две другие комплексно сопряжены с первыми дву­

мя, причем интеграл квадрата модуля каждой из этих функций πσ

всему пространству-времени представляет собой вероятность того, что электрон обладает соответствующим значением спина. Иа

связи спиноров с геометрией Лобачевского видно, что каждый

псевдоэвклидовом пространстве, которая проектирует указаннуюточку сферы из центра гиперсферы мнимого радиуса, изображаю­

щей пространство Лобачевского. Таким образом, в каждой точке волнового поля электрона в пространстве-времени определены две

прямые пулевой длины. Отметим, что по этим двум прямым нуле­ вой длины направлены два вектора, сумма которых является век­

тором четырехмерной плотности тока, определяемого этим полем

(одна координата этого вектора, как мы упоминали, является плот­

ностью электрического заряда, а три другие — тремя компонен­

тами вектора пространственной плотности тока).

Другим элементарным частицам, (фотонам, мезонам и др.)

соответствуют другие линейные представления группы Лоренца и, следовательно, другие геометрические объекты в четырехмер­ ном пространстве-времени и связанном с ним трехмерном про­

странстве Лобачевского.

Разработка общей теории линейных представлений группы

Лоренца, необходимая для теории различных элементарных частиц,

привела к разработке общей теории линейных представлений ши­

рокого класса непрерывных групп — так называемых простых групп Ли, к которым относятся группы вращений эвклидовых и

1 См. Э. К а р т а н. Теория спиноров. Μ., 1948.

57

псевдоэвклидовых пространств и, в частности, группа Лоренца.

Важный вклад в разработку этой теории внесли советские мате­

матики Μ. И. Гельфанд, Μ. А. Наймарк 1 и др.

Tеория линейных представлений простых групп Ли снова при­

вела к пространствам над алгебрами. Оказалось, что из четырех

■бесконечных (счетных) серий простых групп Ли две серии —В и D —

являются группами движений вещественных неэвклидовых про­ странств, серия А — группами движений комплексных или двой­

ных неэвклидовых пространств, а серия C — группами движений неэвклидовых пространств над кватернионами и вещественными

матрицами второго порядка. Заметим, что группы движений двой­

ных эллиптических пространств изоморфны группам проективных преобразований вещественных проективных пространств той же размерности, причем точки двойных эллиптических пространств изображаются в проективных пространствах парами точка + гиперплоскость, и аналогичная вещественная модель в так называемом с и м п л с к т и ч е с к о м пространстве до­ пускает эллиптическое пространство над матрицами второго по­

рядка. Пять особых простых групп Ли, находящиеся вне указан­ ных серий, также допускают аналогичные геометрические интер­ претации, в частности, группы Fi являются группами движений неэвклидовых плоскостей над октавами, группы E6 — группами движений неэвклидовых плоскостей над комплексными и двой­

ными октавами и группой проективных преобразований проектив­ ной плоскости над октавами, изоморфной группе движений эллип­ тической плоскости над двойными октавами, точки которой изоб­ ражаются на октавной проективной плоскости парами точка -)-

прямая.

Различные геометрические образы в этих неэвклидовых про­

странствах — плоскости, системы вложенных друг в друга пло­

скостей различных размерностей («флаги») и другие — играют

важную роль в теории линейных представлений соответствующих

групп, так как эти представления часто реализуются в многообра­

зиях функций, определенных на этих геометрических образах

(при движениях неэвклидовых пространств в многообразиях этих

функций происходят линейные преобразования).

3. Квантовая физика и непрерывность

Вопросы непрерывности и дискретности находятся в центре

внимания квантовой физики — прежде всего, конечно, в плане соотношения дискретности частиц и непрерывности их волновых

полей. В настоящее время квантовая физика строится исходя из тех же представлений о структуре пространства, что и вся совре­ менная математика, т. е. из представлений Дедекинда и Кантора

1 См. И. Μ. Гельфанд, Μ. A. H а й м а р к. Унитарные пред­ ставления классических групп. Tp. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, т. 36. Μ.— Л., 1950.

58

4j пространстве как о множестве точек, в котором определены пре­

дельные точки подмножеств.

Однако трудности современной квантовой физики, состоящие

ів том, что из того математического аппарата, которым она поль­

зуется в настоящее время, вытекают бесконечные значения поле­

вых масс и констант связи («расходимости»), могут быть объяс­ нены несовершенством этого математического аппарата и, в пер­

вую очередь, несоответствием действительности современного представления о структуре пространства.

Еще в 1930 г. В. А. Амбарцумян и Д. Д. Иваненко поставили ʌ

вопрос о необходимости замены представления о непрерывном ' пространстве представлением о дискретном пространстве с тем, чтобы избежать трудностей, связанных с «расходимостями» 1. К

этой идее Д. Д. Иваненко возвращался и позже 12. Проблему

квантованного пространства рассматривали многие физики 3.

Снайдеру принадлежит попытка построения теории квантованного пространства, инвариантной относительно преобразований Ло­

ренца 45. Аналогичные попытки были предприняты В. Л. Аверба­

хом и Б. В. Медведевым6.

П. К. Рашевский, заканчивая свою книгу «Риманова геометрия ш тензорный анализ», в значительной части посвященную теории

!относительности, указывал, что «возможно, что и сам четырехмер-

ный пространственно-временной континуум с его геометрическими

«свойствами окажется в конечном счете образованием, имеющим

статистический характер и возникающим на основе большого числа

простейших физических взаимодействий элементарных частиц» 6. Говоря о статистическом характере пространственно-времен-

гното континуума, Рашевский имеет в виду, что во многих случаях,

ікогда к физике применяются дифференциальное и интегральное исчисления — теории, существенно предполагающие непрерыв­ ность рассматриваемых ими переменных и функций,— соответ­ ствующие физические явления на самом деле носят не непрерыв­ ный, а дискретный характер, и только в силу того, что мы имеем дело с достаточно большими массами частиц, эти явления с доста­ точной точностью можно рассматривать как непрерывные. Так,

например, в термодинамике мы считаем распространение тепла

непрерывным процессом, хотя на самом деле теплота имеет моле-

кулярно-кинетпческую природу; в гидродинамике и газовой дина­

мике мы считаем жидкости и газы непрерывными, хотя на самом

1 В. Амбарцумян, Д. Иваненко. Zs. f. Phys., 64, 563, 1930. 2A. Соколов и Д. Иваненко. Квантовая теория поля. Μ.—

Л., 1952, стр. 486 и 601.

3См. A. Marc h. Zs. f. Phys., 104, 93, 1936; 104, 161, 1936; 105, 620, 1937; 106, 49, 1937; 106, 191, 1937; L. Silberstein. Discrete Space-Time.

59

деле они состоят из отдельных молекул; в электродинамике мьг

считаем электромагнитное поле непрерывным, хотя на самом деле

оно состоит из отдельных квантов; в теории вероятностей непре­ рывные законы распределения часто применяются к дискретным

массовым статистическим явлениям. По-видимому, квантовая фиz3∏κa ждет от математики нового представления о пространстве,

которое относилось бы к нашему современному представлению о пространстве так же, как квантова'я физика — к классической

физике, а наше современное представление о пространстве будет

таким же приближением, как представление о теплоте, жидко­ стях, газах, электромагнитном поле и массовых статистических

явлениях как о непрерывных явлениях.

Необходимость пересмотра канторовского представления о-

пространстве вытекает и из потребностей развития самой матема­

тики. Так, руководитель ленинградской геометрической школы

А. Д. Александров по этому поводу писал: «Намечаются... пути

переделки канторовского представления об отрезке как о множе­

стве точек. Возникают новые точки зрения на понятие числа, пере­ менной, функции: вводится, например, новое понятие «вычисли­ мого» числа и т. п. Развитие теории продолжается, и нужно ждать ее новых шагов» 1. За последние годы приобрели особенно боль­

шой размах в связи с потребностями электронной вычислитель­

ной техники работы по теории вычислимых чисел и функций, не опирающейся на канторовские представления. Из этих работ сле­ дует отметить прежде всего работы советского математика А. А. Мар­ кова и его сотрудников.

Ясно, что та степень единства непрерывности и дискретности,, которую мы имеем в современной теоретико-множественной мате­ матике, не является последним словом. Геометрическое понятие пространства будет совершенствоваться, и дальнейшее развитие этого понятия может пойти только по линии еще более высокой,

степени единства непрерывности и дискретности.

4. Моделирование и двойственность в современной физике

Вопросы моделирования и двойственности, которые мы про­

следили особенно подробно на примере классической физики,

играют существенную роль и в квантовой физике.

Так как квантовая механика имеет дело по существу с устой­

чивыми образованиями, как элементарные частицы и атомы, двой­ ственность, которую мы наблюдали в тех системах классической

физики, движение которых обладает периодическим характером,

является чрезвычайно характерной и для систем квантовой меха­

ники, квантовой физики.

В случае элементарных частиц двойственность выражается в.

1 А. Д. Александров. Природа, 1, 14, 1951.

60

-виде «волново-корпускулярного дуализма», т. е. в том, что эле­

ментарные частицы обладают как свойствами дискретных частиц,

так и свойствами непрерывных волновых полей. Часто считают

!реальной только одну из этих сущностей, т. е. считают элемен­

тарную частицу только частицей, рассматривая ее волновое поле

только как поле вероятностных функций, определяющих положе­

ние и свойства этой частицы, или же считают элементарную

ластицу только волновым полем, рассматривая корпускулярные

свойства частицы как свойства «волнового пакета». На самом деле,

по-видимому, объективной реальностью обладают и частица и поле, причем весьма вероятно, что поле частицы, подобно сило­

вому полю в механике и электростатическому полю в электроди­

намике, способно запасать в себе какую-то форму потенциальной

энергии, а сама частица, обладая инерцией, способна не давать

той форме кинетической энергии, в которую энергия поля пре­ вращается при движении частицы, рассеиваться в окружающем

-пространстве и возвращать ее обратно в поле. Сочетания этих двух «способностей» частицы-волны и обеспечивает устойчивость

частицы, без которой она не могла бы быть объектом исследования

-квантовой механики.

В случае атома двойственность выражается в характере урав­

нений, связывающих вещественную и мнимую части волновой ■функции, определяющей его состояние. Энергии атома соответ­

энергии имеют место в том случае, когда волновая функция ф

Уравнение (23) — известное уравнение Шредингера. Если мы обозначим вещественную и мнимую части комплексной

функции ф через ψ1 її φ2 (τ∙ e∙ Ф = Фі ÷ гФг)> это уравнение (23) можно переписать в виде пары уравнений:

(24)

которые можно рассматривать как частный случай уравнений

(15") при N = 1. Поэтому решение уравнений (24) имеет вид, ана­

логичный (18), т. е. изменение функций фі и ф2, а следовательно,

и ф во времени имеет колебательный характер с частотой, опреде­

ляемой стационарным значением энергии Е.

Указанные свойства атомов и элементарных частиц открывают

новые возможности применения к изучению их геометрических ме­

тодов и, в частности, тех методов, которые связаны с геометриче­

ской двойственностью.

61

В. Г E 113 E H Б E P Г

(Мюнхен)

ЗАМЕЧАНИЯ К ЭЙНШТЕЙНОВСКОМУ НАБРОСКУ ЕДИНОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

1 смелым планам, которые Эйнштейн набросал после создания: PI общей теории относительности, принадлежит программа создания единой теории поля, которая должна свести к общей сущности все имеющиеся в природе силовые поля. Опираясь на

основную мысль общей теории относительности, Эйнштейн пола­

гал, что эта общая сущность может быть найдена в четырехмерной

геометрии пространства-времени.

Эта великолепная в своей основе попытка сначала как будто,

потерпела крах. В то самое время, когда Эйнштейн занимался

проблемой единой теории поля, непрерывно открывались новые элементарные частицы, а с ними — сопоставленные им новые поля. Вследствие этого для проведения эйнштейновской программы еще не существовало твердой эмпирической основы, и попытка Эйн­ штейна не привела к каким-либо убедительным результатам. Од­

нако неудача, постигшая эйнштейновскую программу, имела и

более глубокие основания, чем только неуверенность в эмпириче­ ских фактах; эти основания лежат в отношении теоретико-полевых

представлений Эйнштейна к квантовой теории.

ЕДИНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ И КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

Эйнштейн исходил из классической нелинейной полевой теории

материи для метрического тензора поля, определяющего его геомет­

рию. Эйнштейн надеялся, что атомы и элементарные частицы в та­ кой теории можно будет в конце концов понимать как сигнулярные

решения нелинейных уравнений поля. В действительности, однако,

элемент дискретности, который выражает существование элемен­ тарных частиц, имеет значительно более общий характер. Он ста­ новится доминирующим, как только мы переходим , в область

атомов и элементарных частиц; поэтому больше не может быть и речи об их описании посредством полевой теории классического типа.

Наоборот, мы теперь знаем, что здесь действуют общие квантово­ механические законы, структура которых была понята в 20-х

годах.

6'3

Так как Эйнштейн не мог примириться с такой структурой,

■он не предпринял попытки подойти к единой теории поля с исполь­

зованием квантовых законов.

Несмотря на это, именно опыты с элементарными частицами, выполненные в связи с квантовой теорией, содержат очень много

аргументов в пользу программы Эйнштейна.

В течение минувшего десятилетия было открыто много новых

элементарных частиц и, следовательно, много новых полей, а

также выяснилось, что элементарные частицы могут превращаться друг в друга. Если две элементарные частицы с очень высокой ки­ нетической энергией сталкиваются каким-либо образом, то при этом могут возникнуть другие частицы, причем законы возникно­

вения и исчезновения элементарных частиц, по-видимому, могут

быть сформулированы с помощью относительно простых правил

отбора и соответствующих квантовых чисел. Следовательно, все элементарные частицы «состоят», так сказать, из одной и той же субстанции, которую можно назвать просто «энергией» или «мате­ рией»; их структура и их способность превращаться друг в друга должны вытекать из простого закона для материи.

Таким образом, удовлетворительная теория элементарных час­ тиц в то же время должна быть по сути дела единой полевой

теорией материи.

ОБЩИЕ ЭМПИРИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ

Когда спрашивают об основных эмпирических предпосылках, 113 которых нужно исходить в настоящее время при формулировке

такой теории, то принимают в рассмотрение, с одной стороны,

очень общие экспериментальные исследования строения наблюдае­

мого мира и, с другой,— отдельные опыты над известными эле­ ментарными частицами.

Общими основами можно назвать прежде всего структуру про­

странства и времени, установленную теорией относительности, и

связанную с пей форму причинности. Мы не можем сомневаться

в том, что преобразования Лоренца правильно описывают поведе­ ние пространства и времени, по крайней мере в не очень больших

пространственно-временных областях, и что взаимодействия не могут распространяться быстрее, чем со скоростью света. Остается еще открытым вопрос, можно ли при математической формули­

ровке законов этих взаимодействий удовлетвориться понятием

«макропричинностп», как в последнее время иногда пытались де­ лать в квантовой теории поля, или следует выбрать специальную

форму «микропричпнности». Последняя может выражаться сле­

дующим образом: имеются локальные операторы поля, которые

коммутируют или антикоммутируют друг с другом, если соответ­ ствующие точки пространства-времени разделены пространствен­

но-подобными интервалами, и относятся к лоренц-пнварпантно-

му дифференциальному уравнению (дифференциальное уравнение

64

может быть записано в явной форме в случае бесконечных коэффи­ циентов, и оно эквивалентно в этом случае интегро-дифференци­

альному уравнению с конечными коэффициентами, в котором ин­

тегрирование выполняется по произвольно малой, но конечной

пространственно-временной области). Если предположить, что имеет место микропричинность,— а эксперименты до сих пор как

будто говорили в пользу такой гипотезы,— то мы придем таким

образом к операторам некоторой теории поля, которая находится в тесном родстве с единой теорией поля, созданной Эйнштейном.

Уравнения поля должны быть нелинейными и в квантовой теории, чтобы они могли описывать взаимодействие. Это связано с тем наиболее общим экспериментальным результатом, что состояния

материи не могут просто накладываться друг на друга. Линейное

же уравнение допускало бы такое наложение.

К более специальным эмпирическим предпосылкам искомой

квантовой теории поля относятся правила отбора при соударении

элементарных частиц и необходимые для их формулировки кван­ товые числа, которые получаются из опытов с элементарными ча­

стицами. Как и обычно в квантовой теории, нужно будет вскрыть смысл этих правил отбора с помощью теоретико-групповых свойств

уравнения поля, лежащего в основе теории. Теоретико-групповая

структура основного уравнения материи должна в конечном счете выводиться из наблюдений над элементарными частицами.

РАЗЛИЧНЫЕ ИСХОДНЫЕ ПУНКТЫ

Даже если исходить из высказанных до сих пор предположе­

ний, то все же математическое представление единой теории поля может относиться к весьма разнородным физическим полевым ве­

личинам. В действительности можно искать наиболее про­

стое представление законов природы, однако в этом случае являет­

ся проблематичным уже само понятие «простое». Эйпштейн пола­

гал, что в основном уравнении предметом физических суждений

должны быть выбраны величины, определяющие геометрию, т. е.

прежде всего фундаментальный метрический тензор, зависящий от пространства и времени. Сформулированный закон должен был,

следовательно, описывать косвенным образом поведение масшта­ бов и часов, которыми можно измерять метрическое поле. C точки зрения квантовой теории, однако, едва ли можно отнести масшта­ бы и часы к простейшим образованиям. Они построены, вообще говоря, из многих элементарных частиц, на них сложным образом

воздействуют различные силовые поля, и поэтому непонятно, почему именно их поведение должно описываться особенно про­

стым законом.

В качестве другого исходного пункта в настоящее время часто

предлагается обычная форма квантовой теории поля. При этом» ссылаются на то, что асимптотическое поведение волн на очень больших расстояниях от соответствующих элементарных частиц

(т. е. при отсутствии взаимодействия) должно удовлетворять про­

стым законам, в частности, к этому асимптотическому поведению

свободных частиц должны быть применимы просто-напросто из­ вестные до сих пор квантовые законы. Так называемая 5-матрица,

или матрица рассеяния, описывает это асимптотическое пове­

дение; поэтому напрашивается мысль представить структуру эле­ ментарных частиц и их взаимодействий с помощью математической теоремы об 5-матрице. Однако уже отдельная элементарная части­

ца едва ли является более простым образованием, чем, скажем,

атом водорода; она должна была бы получаться из основных урав­ нений как решение. Между тем для 5-матрицы элементарные ча­

стицы нужно принимать всегда обладающими заранее заданными

массами и свойствами симметрии. Ввиду этого кажется весь­ ма сомнительным, что 5-матрица представляет достаточно прос­

той математический объект для формулировки законов при­

роды.

Наконец, в нелинейной спинорной теории во главу угла ста­ вится локальный оператор поля для материи, для которого постулируется нелинейное лоренц-пнвариантное дифференциаль­ ное уравнение. В этой теории, следовательно, принято, что в очень

малых пространственно-временных областях связь допускает

простейшую формулировку, которую можно дать законам при­

роды. Этот взгляд кажется последовательным, если вообще зако­

ны природы, говоря абстрактно, выражают соотношение между

причиной и следствием и если интерпретировать причинность в

узком смысле, как микроскопичность теории относительности.

Но и такая формулировка законов природы только тогда может оказаться особенно простой, когда событие в ограниченной про­ странственно-временной области можно отделить от событий в остальном мире. Если это возможно, то событие в ограниченной области можно понять, не обращая внимания на остальной

мир.

Однако развитие нелинейной спинорной теории показало, что

это возможно, по-видимому, лишь отчасти. В этом пункте нели­

нейная спинорная теория опять-таки имеет различные точки со­

прикосновения с более ранней эйнштейновской теорией поля, что

ниже будет кратко рассмотрено.

СВЯЗЬ C ПРОБЛЕМАМИ КОСМОЛОГИИ

В основе теории относительности Эйнштейна лежит уравнение поля, которое инвариантно по отношению к весьма общим преобра­

зованиям четырехмерной системы координат. В соответствии с

этим нужно было бы прежде всего предположить, что и наблюдае­ мые явления природы инвариантны по отношению к этим преобра­

зованиям; например, во вращающейся системе отсчета все движе­

ния протекают точно так же, как и в покоящейся, Это, как изве-

66