книги из ГПНТБ / Эйнштейн и развитие физико-математической мысли Сб.ст

и (4') представляют собой частные случаи формулы (6). При этом в формуле (6), так же, как в формуле (4'), предполагается, что коэффициенты Ciij таковы, что правые части этих формул положи­ тельны, если только не все разности yi — х1 или dxi равны нулю

[в этом случае эти правые части называются положительно опре­ деленными квадратичными формами; в случае формулы (4) это требование выполняется автоматически]. Поэтому каждая пара точек с бесконечно близкими координатами обладает определен­ ным расстоянием ds. Интегрируя это расстояние вдоль различ­

ных линий, мы определим длины этих линий. Среди различных линий мы может найти линии, длины которых являются наимень­

шими для всех линий, соединяющих данные точки; такие линии

где Γj⅛ — функции точки, выражающиеся через коэффициенты

ац с помощью соотношений

Определенные таким образом пространства называются простран­

ствами Римана в широком смысле слова или р и м а н о в ы м и пространствами1. Частным случаем римановых про­

странств при п = 2 являются поверхности в обычном пространст­

ве, частным случаем геометрии, определенной Риманом, в этом случае является так называемая внутренняя геомет­

рия поверхности, разработанная Гауссом в начале

XIX в. Эвклидово пространство, очевидно, является частным

случаем риманова; роль геодезических линий здесь играют пря­

мые.

Более общим примером риманова пространства является ги­

перповерхность в (и + 1)-мерном эвклидовом пространстве и,

в частности, гиперсфера в этом пространстве. Геодезическими линиями гиперсферы являются ее большие окружности — сечения двухмерными плоскостями, проходящими через ее центр. Про­ странство Лобачевского также является частным случаем трехмер­

ного риманова пространства. Заменяя в интерпретации простран­

ства Лобачевского в четырехмерном комплексном пространстве четырехмерное пространство (п+1)-мерным пространством, по­

1 C геометрией многомерных и комплексных эвклидовых и неэвклидовых пространств читатель может более подробно познакомиться по книге: Б. А. Розенфельд. Неевклидовы геометрии. Μ., 1955.

18

лучаем n-м ерное пространство Лобачевского, являющееся частным случаем и-мерного риманова пространства.

Важнейшим понятием римановой геометрии является кри­

визна пространства. Кривизна риманова простран­

ства определяется в каждой точке в каждом двухмерном направ­

лении, проходящем через эту точку. Для определения кривизны риманова пространства в некоторой точке следует рассмотреть

геодезический треугольнику, е. криволинейный треугольник, ограниченный дугами трех геодезических, одна из вершин которого расположена в данной точке и стороны которого,

примыкающие к этой вершине, касаются данного двухмерного

направления. Для этого треугольника вычисляются угловой эксцесс, т. е. л—Σ, где Σ — сумма углов этого треугольника

(определенный таким образом угловой эксцесс может быть как по­ ложительным, так и отрицательным), и площадь этого треуголь­

ника и составляется отношение углового эксцесса к площади тре­

угольника. Далее рассматривается предельный переход, при котором весь треугольник стягивается в данную его вершину,

а стороны треугольника, примыкающие к этой вершине, остаются касательными к данному двухмерному направлению. При этом предельном переходе площадь треугольника, очевидно, стремит­ ся к нулю; угловой эксцесс также стремится к нулю, так как в

малых участках геометрия той двухмерной поверхности, в кото­ рой происходит этот предельный переход, мало отличается от геометрии эвклидовой плоскости, а на эвклидовой плоскости угло­

вой эксцесс треугольников равен нулю. Однако отношение угло­

вого эксцесса к площади треугольника при этом предельном

переходе стремится к определенному пределу, который и называется

кривизной риманова пространства в данной точке в данном двух­

мерном направлении.

Кривизна n-мерного эвклидова пространства, рассматривае­

мого как частный случай риманова пространства, равна нулю во всех точках; поэтому эвклидово пространство называют римано-

вым пространством нулевой кривизны, а римановы пространства,

отличные от эвклидова пространства, называют искривлен­

ными пространствами. Кривизна n-мерной сферы

[гиперсферы (п + 1)-мерного эвклидова пространства] во всех

точках равна одному и тому же положительному числу 1 , так как

площадь любого сферического треугольника равна произведению его углового эксцесса на г2. Кривизна и-мерного пространства

JIo6â4eBCKoro во всех точках равна одному и тому же отрицатель­

ному числу — -ɪ, так как площадь любого треугольника в про­

странстве Лобачевского равна произведению его углового дефек­ та на q2, а изменяя знак углового дефекта на противоположный,

мы получаем угловой эксцесс треугольника, являющийся в слу­

чае пространства Лобачевского всегда отрицательным. Поэтому

2* 19

n-мерная сфера и n-мерное пространство Лобачевского являются частными случаями n-мерного риманова пространства постоянной

кривизны, в первом случае положительной, а во второй — отри­

цательной ɪ.

4. Группы преобразований

Пространства постоянной кривизны — эвклидово простран­

ство, многомерная сфера и пространство Лобачевского — отли­ чаются от остальных римановых пространств тем, что эти простран­

ства обладают максимальной подвижностью, т. е.

допускают гораздо более широкое, чем в других случаях, множество

отображений этих пространств на себя, сохраняющих расстояния

между точками; такие отображения называют движениями

пространства. Среди поверхностей обычного пространства макси­

мальной подвижностью обладают плоскость и сфера, движения которых зависят от трех параметров, в то время как, например,

поверхности вращения в общем случае допускают движения, за­

жений (гг-і-І)-мерного эвклидова пространства, в которое п-мерная сфера погружена в виде гиперсферы,— как вращения (п-|-1)-мер-

ного пространства около начала координат, являющегося центром

1 Классическая работа Б. Римана «О гипотезах, лежащих в основа­ ниях геометрии» помещена в сборнике «Об основаниях геометрии», указан­ ном выше. C римановой геометрией читатель может более подробно позна­ комиться по книге: П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензор­ ный анализ. Μ., 1953.

20

гиперсферы. И движения (9), и движения (9') записаны в тех ко­ ординатах «-мерного и («+1)-мерного эвклидова пространства,

в которых расстояние между точками определяется по более про­ стой формуле (4). Нетрудно проверить, что при движениях (9)

расстояние s, определенное по формуле (4), не изменяется; анало­ гично доказывается, что при движениях (9z) не изменяются рас­ стояния в («+1)-мерном пространстве и на сфере в этом простран­

стве.

Рассмотрев («-(-І)-мерное комплексное эвклидово пространство,

расстояние в котором определяется по формуле (4), определив

верхностей, из которых состоит множество точек гиперсферы ука­

занного вида. Если мы условимся записывать (п-(-І)-мерную ко­

ординату точек этих гиперповерхностей в виде гх°, мы может за­

п(— 1 ПРИ І — к = О,

Движения являются частными случаями геометриче­ ских преобразований, т. е. отображений пространств

на себя, сохраняющих уже не расстояния между точками, а дру­

гие функции точек или других геометрических образов. Напри­

мер, преобразования «-мерного эвклидова пространства, имею­ щие вид (9), где, однако, коэффициенты (ii. связаны не соотношения­

ми (10), а единственным условием разрешимости соотношений (9)

относительно координат xi (это условие состоит в неравенстве

нулю определителя, составленного из коэффициентов αj), уже

не сохраняют расстояний между точками, но сохраняют отноше­ ния отрезков одной прямой или двух параллельных прямых;

21

эти преобразования переводят прямые в прямые и, в частности,

параллельные прямые в параллельные прямые. Такие преобразо­

из первых изучал эти преобразования. Аффинные преобразования

зависят от п (и + 1) параметров. Движения, очевидно, являются частными случаями аффинных преобразований. Помимо движе­

точку дополненного пространства можно определить координа­

ствующей данной точке дополненного «-мерного пространства.

Так как координаты всех точек каждой из этих прямых про­

порциональны друг другу, координаты точек дополненного про­ странства определены с точностью до общего ненулевого множи­

теля, т. е. каждая точка с координатами x0, x1, . . ., хп опреде­

ляется в то же время и координатами kx0, kx1, . . ., kxn при лю­

бом к = 0. Тогда проективные преобразования дополненного

пространства имеют вид (9"), где коэффициенты ai. уже не связаны

соотношением (10'), но связаны условием разрешимости соотно­ шений (9") относительно координат xi. Эти преобразования, так

же как аффинные, переводят прямые в прямые, но, в отличие от

аффинных, могут перевести параллельные прямые в пересекаю­

щиеся (при нашем дополнении пространства параллельные пря­ мые пересекаются в дополняемых нами точках и при переходе этой новой точки в старую точку параллельные прямые перейдут

в пересекающиеся). Проективные преобразования изучались французскими математиками Жираром Дезаргом (1593—1662)

и Жаном-Виктором Понселе (1788—1867). Проективные преобра­

зования зависят от (п + I)2 — 1 параметров (так как коэффициен­

22

Рассматривая (л+1)-мерное аффинное пространство с коорди­

натами точек х°, X1,...,хп и определяя расстояние s между точками

с координатами xi и yi по близкой к (4) формуле

n-мерную гиперплоскость, перпендикулярную одному из ее ради­ усов (такая гиперплоскость всегда является эвклидовым простран­

ствам), мы видим,что и-мерное пространство Лобачевского спроек-

тируется на эту гиперплоскость. Если дополнить эту гиперплоскость

до проективного пространства, нетрудно проверить, что те точки гиперплоскости, которые являются изображениями точек про­ странства Лобачевского,п являются внутренними точками гипер-

поверхности — (.T0)2 + 2 (χiY — θ (ЭТУ гиперповерхность можно

і=1

рассматривать как гиперсферу эвклидова пространства), и вся­

кая внутренняя точка этой гиперповерхности является изображе­

нием точки пространства Лобачевского. При этом прямые про­

странства Лобачевского изображаются прямыми проективного

пространства, а движения пространства Лобачевского изобража­

ются проективными преобразованиями, переводящими в себя ука­ занную гиперповерхность. В случае более общих координат рас­

стояние между точками псевдоэвклидова пространства опреде­ ляется по формуле (4').

24

перплоскость, если дополнпмгиперплоскость одной точкой, соответ­ ствующей самому полюсу. Это отображение называется с т е р е о-

графической проекцией. Эта проекция обладает двумя замечательными свойствами: окружности на сфере, т. е. сечения сферы двумерными плоскостями, проектируются на гиперпло­ скость в виде окружностей или прямых, причем углы между

окружностями на сфере равны углам между соответственными окружностями или прямыми на гиперплоскости. Гиперплоскость,

дополненная точкой, соответствующей полюсу сферы, называется «-мерным конформным пространством. При

проективных преобразованиях в (« -ɪ- 1)-мерном пространстве,

переводящих в себя «-мерную сферу, в конформном пространстве происходят конформные преобразования, перево­

дящие окружности и прямые в окружности и прямые и сохраняю­ щие углы между ними. При п = 2 эти преобразования называют­

ся круговыми преобразованиями, так как на

плоскости имеются более общие конформные преобразования, со­

храняющие углы между линиями, ио переводящие окружности и

прямые в другие линии; при п > 2 всякое взаимно однозначное преобразование конформного пространства, сохраняющее углы между линиями, переводит окружности и прямые в окружности и прямые. Конформные преобразования n-мерного пространства

зависят от -ʌ—!—у—1—- параметров [от стольких же параметров

зависят движения («-|-1)-мерного пространства]. Примером двух­ мерного конформного пространства является расширенная плос­

кость комплексного переменного; круговые преобразования этой

плоскости выражаются дробно-линейными функциями комплекс­

ного переменного, а произвольные конформные преобразования—

произвольными аналитическими функциями и функциями, сопря­

женными с ними. Конформные преобразования изучались Ав­

густом Мебиусом (1790—1868).

Проектируя одну из плоскостей гиперсферы радиуса д в псев-

доэвклидовом пространстве из какой-либо одной точки другой

полости этой гиперсферы («полюса») на «-мерную гиперплоскость,

перпендикулярную прямой, соединяющей центр гиперсферы C

полюсом (такая гиперплоскость всегда является эвклидовым пространством), получаем взаимно однозначное отображение

«-мерного пространства Лобачевского внутренними точками гипер­

сферы « -мерного эвклидова пространства. Это отображение обла­ дает всеми свойствами стереографической поверхности, и поэтому прямые пространства Лобачевского при этом изображаются дуга­

ми окружностей в эвклидовом пространстве (пересекающих гипер­

сферу под прямым углом), а углы между прямыми пространства Лобачевского равны углам между соответственными окружностями

эвклидова пространства.

Таким образом, мы получили две интерпретации «-мерного про­ странства Лобачевского в «-мерном эвклидовом пространстве,

25

причем в обоих случаях все пространство Лобачевского может быть изображено внутри гиперсферы. В первом случае движения про­ странства Лобачевского изображаются проективными преобразо­

ваниями, переводящими эту гиперсферу в себя; во втором случае — конформными (при п = 2 круговыми) преобразованиями, переводя­ щими гиперсферу в себя. Первая из этих интерпретаций была предложена Эудженио Бельтрамп (1835—1900) и Феликсом Клей­

ном (1849—1925), а вторая — Анри Пуанкаре, предложившим и интерпретацию на сфере мнимого радиуса.

Обнаружив связь между геометрией Лобачевского и проектив­

ной геометрией и сопоставляя это с известной ранее связью межДу

проективной геометрией її геометрией Эвклида, Клейн пришел к

общему выводу о роли геометрических преобразований в геометрии.

Согласно выводу Клейна, выраженному им в его «Эрлангенской

программе», та пли иная геометрия определяются соответству­ ющими геометрическими преобразованиями; собственно говоря,

всякая геометрия изучает те факты, которые сохраняются при этих преобразованиях. При этом геометрические преобразования всякой геоиетрии обладают тем свойством, что последовательное

выполнение двух преобразований этой геометрии представляет

собой преобразование той же геометрии (это преобразование назы­

вают произведением первых двух преобразований), в

число преобразований каждой геометрии включается тождест­

венное преобразование, при котором всякая точка пере­

ходит в себя, и для всякого преобразования имеется обратное преобразование, произведение которого на данное преобра­

зование есть тождественное преобразование. Множество преобра­

зований, обладающих этими свойствами, называется группой

преобразований; это понятие является частным случаем об­

щего алгебраического понятия группы, введенного в математику Эваристом Галуа (1811—1⅛32). Таким образом, согласно¿Клейну,

Лобачевского, аффинные преобразования, проективные преобразо­ вания, эллиптические движения и конформные преобразования образуют группы и определяют соответственно эвклидову гео­ метрию, геометрию Лобачевского, аффинную геометрию, проек­

тивную геометрию, глиптическую геометрию и конформную гео­ метрию. При этом группа эвклидовых движений входит в группы аффинных и конформных преобразований (или, как говорят, яв­ ляется подгруппой этих групп), группа аффинных преоб­

разований, в свою очередь, является подгруппой группы проек­

тивных преобразований, а группы движений пространства Ло­

бачевского и эллиптических движений являются подгруппами групп проективных и конформных преобразований; этими связями между группами преобразований и объясняется возможность ин­

терпретации геометрии одного пространства в другом простран­ стве.

26