книги из ГПНТБ / Эйнштейн и развитие физико-математической мысли Сб.ст

тропности пространства и времени вытекают фундаментальные за­

коны сохранения.

Нетер обобщила в своей работе идею инварианта, определяю­ щего характер заданного пространства, и соответственно идею

однородности последнего и исходные идеи вариационных методов

механики и физики. Далее она связала созданную таким образом

единую концепцию с законами сохранения, выражающимися в

нулевой дивергенции той или иной физической величины.

Объединение вариационных идей с идеями эрлангенской про­

граммы придало последней вполне определенный физический

смысл, позволило говорить об э р л а H г е H C к о й физике.

Пространство, однородность которого выражается в инвариантно­

сти комбинаций функций поля и их производных, приводящей

к закону сохранения, становится уже не только геометрическим,

но и физическим многообразием. Это значит, что интегральные

условия, определяющие поведение тела в пространстве, опреде­ ляют тем самым это пространство непосредственно. Пространство

перестает быть вместилищем физических процессов, оно стано­

вится субъектом физических изменений.

Преобразования, оставляющие ковариантной данную комбина­ цию функций поля и их производных, превращают вариацию действия в нуль. Это и значит, что сохранение физической ве­

личины гарантированное от точки к точке (заданное в виде диф­

ференциального закона нулевой дивергенции), соответствует интег­ ральным условиям, выраженным в вариационных принципах ме­

ханики и физики. Мировая линия частицы, характеризующаяся

наименьшим значением действия, определяется заданным полем, заданным распределением его источников. Совместимо ли такое

представление с клейновским представлением об однородности

пространства? Клейн легко мог объявить однородность (инвариант­

ность некоторого интеграла при сдвигах) определяющим свой­

ством пространства. Пространства, о которых Клейн говорил

в 1872 г., не отвечают сами по себе за ускорения тел и не меняют своих геометрических свойств под влиянием полей. Но можно ли

совместить понятие однородности пространства с представлением о пространстве как физическом многообразии? Можно ли рассмат­ ривать искривление пути частицы как искривление пространства и

вместе с тем приписывать пространству однородность, считать вслед

за Клейном, что свойства пространства определяются инвариант­

ностью некоторого интеграла относительно смещений в данном

пространстве? Такая возможность означала бы синтез идей Клейна

и идей Римана. C точки зрения Клейна, движение тела определя­

ется свойствами пространства только в отсутствие полей —

ускорения не имеют геометрической природы. Отсюда можно вы­ вести относительность движения в отсутствие полей. C точки зрения Римана (она, очевидно, соответствует позитивному опреде­ лению пространства как актуально бесконечного множества), про­ странство является физическим многообразием, его геометрические

178

страпствепных положений, многообразие моментов), задание свойств которого само по себе, без задания свойств другого многооб­

разия, определяет поведепие тела. Ньютоново пространство, за­

данное в данный момент, т. е. «мгновенное» пространство, опре­

деляет своей однородностью поведениепредоставленного самому

себе тела — сохранение импульса. Ньютоново время, заданное

само по себе, без указания на ту или иную структуру простран­

ства, определяет сохранение энергии.

Теория относительности Эйнштейна устранила из картины мира

не только лоренцов эфир, по тем самым и заданное в данный мо­

мент пространство, т. е. отказала трехмерной геометрии в сущест­

вовании непосредственного физического эквивалента. Движение

относительно эфира — бессодержательное понятие, поскольку не

только 'механические, но и все физические процессы протекают

единообразно во всех системах, движущихся одна относительно другой без ускорения. Если устраняется понятие скорости тела по отношению к эфиру, то тем самым исчезает возможность синхро­ низации событий, не зависимой от движения систем, в которых

определено время, когда произошли эти события. Исчезает пред­ ставление о едином, не зависимом от движения пространственных систем отсчета потоке времени, состоящем из последовательных мгновений, тождественных себе во всем бесконечном простран­ стве. Свойства бесконечного пространства, заданные для данного мгновения, не могут определить ход физических процессов.

Мы имеем в виду негативное определение хода физических процессов заданными общими свойствами пространства, т. е. еди­ нообразие процессов, в котором выражается однородность про­ странства. В теории относительности Эйнштейна ход физических

процессов определяется, так же как в классической концепции

относительности движения по инерции, негативным образом:

определяющие этот ход свойства многообразия состоят в его одно­ родности и изотропности, а определенность физических процессов состоит в их единообразии. Но в отличие от классического прин­ ципа относительности в теории Эйнштейна единообразными ока­

зываются не только механические процессы в различных смещаю­

щихся одна относительно другой инерциальных системах, но и

распространение света. Постоянство скорости света в таких си­ стемах означает изменение пространственных и временных мас­ штабов при переходе от одной системы к другой, и инвариантом

такого преобразования оказывается четырехмерный интервал.

Указанное преобразование выражается в повороте четырехмерных

координатных осей в пространственно-временных плоскостях. Ин­

вариантом таких поворотов является квадратичная форма че­ тырех координатных разностей с постоянными эвклидовыми зна­

чениями компонент метрического тензора.

Однородность и изотропность четырехмерного пространст-

веппо-времеиного континуума специальной теории относитель­ ности выражается в эвклидовом (если учесть особый характер

180

единиц, измеряющих время,— псевдоэвклидовом) характере гео­

метрических закономерностей этого континуума. Дальше мы уви­ дим, что соответствие между однородностью и эвклидовостыо

пространства не является взаимно однозначным — понятие одно­ родности может быть обобщено на неэвклидовы многообразия.

Во всяком случае закономерности, постулированные и выведен­ ные Эйнштейном в 1905—1906 гг. и получившие форму геометри­

ческих соотношений у Минковского в 1908 г., связаны с од­

нородностью четырехмерного псевдоэвклидова бесконечного про­ странственно-временного мира. Скорость света в пустоте посто­ янна, т. е. мировые линии света не только остаются прямыми,

но и обладают одним и тем же постоянным углом по отношению

к оси времени и образуют таким образом световой конус. Мировые

линии тел с ненулевой массой покоя могут иметь различный угол по отношению к оси времени (тела могут двигаться с различной скоростью), но они остаются прямыми (скорость каждого тела не

меняется). Эти закономерности определяют поведение тел от од­

ной мировой точки к другой,— определяют чисто негативно,

гарантируют отсутствие различий между мировыми точками по поведению тел и отсутствие различий в геометрических свойствах

четырехмерного многообразия. Именно негативность определе­ ния, отсутствие различий в поведении тел в мировых точках, по­ стоянство скоростей предоставленных самим себе тел, прямые мировые линии, неизменная эвклидова метрика во всем бесконеч­

ном пространстве и приводят к релятивистской трактовке дви­

жения.

Но в действительности тела никогда не бывают предоставлены

самим себе. Именно поэтому специальный принцип относитель­

ности, как и всякая физическая интерпретация негативно опре­ деленной актуальной бесконечности, должен рассматриваться как

идеализированный, предельный случай очень малых силовых по­

лей и, соответственно, ускорений. Негативно определенная ак­

туальная бесконечность — частный, нулевой случай позитивно

определенной актуальной бесконечности. Закон инерции никогда не приобрел бы универсального значения, если бы он не был част­

ным случаем закона ускорения, если бы движение по инерции не было компонентой реальных, ускоренных движений, если бы

инерция не вызывала реальных эффектов в ускорении движущихся тел (ведь силы инерции фиктивны только в смысле фиктивного воздействия других тел на данное, по они вполне реальны по воздействию данного тела на связи системы). Однако в мире уско­

ренных движений закон инерции уже не определяет исчерпываю­

щим образом поведение тел в различных точках пространства.

Остается ли относительным движение, определяемое более об­ щими законами, учитывающими существование неравных нулю

силовых полей? На этот вопрос ответила общая теория относи­ тельности. Она поставила по-иному и проблему физических эквивалентов бесконечности.

181

11. БЕСКОНЕЧНОСТЬ, ОТНОСИТЕЛЬНОСТЬ И ТЯГОТЕНИЕ

Мы рассмотрим проблему бесконечности в общей теории отно­

сительности, имея в виду бесконечность как результат деления конечных величин. В конце параграфа будет затронута проблема

бесконечности как результата сложения конечных величин.

В однородном пространстве в отсутствие силового поля тело движется таким образом, что скорость его в одной точке не от­

личается от скорости в другой точке. Бесконечное множество

таких точек задано негативным образом. C этим связана относи­ тельность движения. О скорости тела можно судить только по изменению координат в некоторой системе отсчета. В силовом

поле скорости тела в различных точках, вообще говоря, различны

и переход от одной скорости к другой определяется абсолютным

образом, так как он вызывает динамические эффекты — появле­

ние сил инерции — в самом теле. Таким образом, позитивно

заданная актуальная бесконечность — актуально бесконечное

множество различных точек пространства, в котором действует силовое поле,— выходит за рамки специального принципа относи­

тельности, так же, как она выходила за рамки классического

принципа относительности Галилея — Ньютона.

Общая теория относительности указала возможность «оттранс-

формировать» динамические эффекты ускорения, представить ус­

коренное движение как неизменное состояние тела подобно дви­ жению без ускорения, приравнять бесконечное множество ми­

ровых точек, различных по состоянию находящихся в них тел,

бесконечному множеству мировых точек с единообразным состояни­

ем тел и рассматривать в качестве определяющей все эти состояния интегральной закономерности однородность пространства-времени.

Первым звеном цепи, приведшей Эйнштейна к подобному ре­ зультату, был принцип эквивалентности — констатация совпа­ дения динамических эффектов ускорения с эффектами гравита­

ционного поля. Вводя некоторое поле тяготения, мы можем объяс­ нить ускорения, которые мы до этого приписывали ускорению

самой системы. Таким образом, можно устранить эффекты, отли­ чающие ускоренную систему от инерциальной, и считать их рав­

ноправными: и в той и в другой физические процессы протекают единообразно и, соответственно, выражаются уравнениями, ко­

вариантными при переходе от инерциальной системы к системе, движущейся с ускорением.

Тяготение изменяет ход всех процессов, искривляет все ми­ ровые линии, включая мировые линии света. Если свет обладает

гравитационной массой, значит в поле тяготения все прообразы

прямой — и траектории движущихся тел, и световые лучи, и все

вообще сигналы, распространяющиеся при отсутствии тяготения по прямой,— становятся физическими прообразами кривой ли­ нии. Если так,— естественной становится мысль о гравитацион­ ном поле как искривлении пространства-времени в целом.

182

Здесь решающий пункт перехода от позитивно заданной ак­

туальной бесконечности пространства-времени к негативно за­

данному бесконечному множеству мировых точек. В неискрив-

ленном пространстве-времени, т. е. в рамках специальной теории

относительности, однородность четырехмерного континуума вы­ ражалась в том, что мировые линии были прямыми. В искривлен­

ном пространстве его однородность выражается в том, что миро­

вые линии совпадают с геодезическими линиями — это понятие является естественным обобщением понятия прямой. При движе­

нии тела вдоль геодезической линии пространства мы относим кривизну его траектории за счет кривизны пространства. Это и

значит, что в данном пространстве, с заданной кривизной, состоя­ ние тела, движущегося по геодезической линии, не меняется.

Мировые точки, расположенные на геодезической линии четырех­

мерного мира, не имеют различий в смысле поведения находя­

щихся в них тел. Каждый отрезок мировой линии, совпадающей с геодезической линией данного пространства, представляет собой

актуальное бесконечное множество мировых точек, в которых по­ ведение тел определяется негативным образом интегральной

закономерностью — однородностью пространства вдоль указан­

ной мировой линии.

Эйнштейн отождествил потенциалы гравитационного поля со значениями составляющих фундаментального метрического тен­ зора, а напряженности поля — с коэффициентами Кристофеля,

составленными из производных метрического тензора. Под гра­

витационным полем следует понимать не то, что происходит в про­ странстве, а то, что происходит с пространством. Такая геометри­

зация поля особенно отчетливо видна в понятии ковариантной

производной. Обычная производная вектора, описывающая его поведение при переносе, указывает на изменение, зависящее от

того, что происходит в пространстве, и на изменение, которое мо­ жет зависеть от того, что происходит с пространством,— от ис­

кривления и соответствующего изменения метрики. Если вычесть

вторую, зависящую от метрики часть общей производной, то раз­ ность — ковариантная производная — будет соответствовать про­ цессу, происходящему в пространстве и не зависящему от про­

странства. Действие гравитационного поля на тела исключается из числа таких процессов. Под влиянием гравитационного поля

тело движется по геодезической линии, на которой ковариантная

производная равна нулю. При этом изменяется положение тела

на геодезической мировой линии относительно события, приня­

того за начало четырехмерной системы координат, но не изме­

няется состояние тела — ковариантная производная, характери­ зующая это состояние векторов, остается равной нулю.

Мы можем сопоставить подобное положение с движением по окружающим Землю концентрическим сферам и с радиальным движением к Земле как центру мира в космологии Аристотеля.

Вернее было бы говорить о сопоставлении с проблемами, вытекаю­

183

щими из космологии Аристотеля. На «совершенной» круговой орбите движение тела объясняется не какой-либо неоднородностью

пространства, как при радиальном движении, а, наоборот,— его

однородностью. Кривизна орбиты — результат не неоднородности пространства, а его кривизны. Это первоначальное, чисто каче­

ственное и связанное с фантастической схемой Вселенной пред­ ставление содержит уже в зародыше прообразы последующего

развития понятий однородности и кривизны. Сейчас мы распола­ гаем достоверной количественной теорией, в которой однородность

пространства-времени куплена ценой его кривизны, обобщения понятия прямой. На геодезических линиях пространство-время однородно; иными словами, искривленное в общем случае про­

странство однородно.

Понятие однородности любого бесконечного (в том числе лю­

бого абстрактного) пространства может быть сопоставлено с по­

нятием негативно определенной актуальной бесконечности. Ра­

зумеется, только конкретные, установленные экспериментом свой­

ства множества значений физической величины позволяют пред­

ставить эти значения в качестве характеристик неизменного состояния при движении в каком-то пространстве, перейти к негативному определению такого пространства как актуальной бес­ конечности, найти инвариант фундаментальной для данного про­

странства группы преобразований и т. д.— геометризировать поле, под влиянием которого происходит указанное движение. Таким множеством, как это выяснилось в XVII в., является упо­

рядоченное множество положений тела, т. е. значений его коор­ динат, если эти значения линейно зависят от времени. В подобном случае изменение координат не является изменением состояния

тела; движение последнего не позволяет найти какие-либо раз­ личия между состояниями тела; о движении можно судить только по изменению координат, трактовать его только в отно­

сительном смысле и определять актуально бесконечное мно­

жество точек пространства негативным образом, как множество,

предопределяющее своей однородностью сохранение состояния предоставленного себе тела. В специальной теории относитель­

ности на основе эксперимента в понятие неизменного состояния

тела вошла неизменная скорость распространения света в теле,

не зависящая от его движения без ускорений. Негативно опре­

деленным актуально бесконечным множеством оказалось мно­

жество четырехмерпых мировых точек на прямых мировых ли­

ниях псевдоэвклидова пространственно-временного континуума.

В общей теории относительности также па основе эксперимента

(старого, показавшего пропорциональность массы и веса, и нового, предсказанного теорией и показавшего отклонение луча в поле тяготения) подобпым же множеством оказалось множество ми­

ровых точек на геодезических линиях пеэвклпдова континуума. Переход от однородных прямых к однородным, вообще говоря

кривым, геодезическим линиям позволил заменить формулу:

184

«предоставленное себе тело движется по геодезической линии эвкли­

дова пространства (т. е. по прямой липни)» формулой: «тело,

как свободно движущееся, так и находящееся под действием поля тяготения, движется по геодезической линии, вообще говоря,

риманова пространства (частным случаем которого является эв­

клидово пространство)». Такое обобщение позволяет перейти к обобщенному понятию однородности: однородным мы называем

пространство, точки которого при переходе тела из одной в дру­ гую оставляют равной нулю ковариантную производную векто­

ров, описывающих поведение движущегося тела. Заданное та­ ким образом множество точек является негативно определенным бесконечным множеством.

Возможно ли такое определение в случае других полей, мо­ жно ли сделать равной пулю ковариантную производную (обоб­ щив это понятие, вводя зависимость вектора от других, помимо кривизны, геометрических свойств пространства-времени) в слу­

торой группы преобразований и т. д. Такая релятивистская схема может быть выведена из понятия негативно определенной акту­

альной бесконечности. Но подходит ли множество значений не­

которой конкретной физической величины (в данном случае — поле) под указанную схему, зависит от того, можно ли «оттрансформировать» поле. Гравитационное поле можно «оттрансформи-

ровать» в силу свойственного ему равенства тяжелой массы (гра­

витационного заряда) и инертной массы. В отношении других полей этого не удалось сделать. Подчеркнем только, что в попыт­ ках Вейля, Эйнштейна и других речь шла о конструировании та­

кого абстрактного пространства, в котором эффекты поля объяс­

няются структурой самого пространства и при определенных ус­

ловиях поведение тел в различных точках можно представить

единообразным (негативное определение актуально бесконечного множества точек) и не нарушающим однородности пространства и относительности движения.

Вернемся к гравитационным полям и «официальной» общей тео­ рии относительности. Все сказанное относится к пространствам

Римапа, т. е. к пространствам постоянной положительной кри­

визны и, в частном случае эвклидова пространства,— нулевой

кривизны. Переходя к проблеме физических эквивалентов бес­

конечности как результата сложения конечных величин, нужна

включить в поле зрения и гиперболическое пространство Лоба­ чевского. Если «Вселенная как целое» обладает постоянной кри­

визной, то она может иметь положительную кривизну и быть

конечной, либо нулевую или отрицательную кривизну и быть бес­ конечной. Возьмем модель Вселенной с положительной кривиз­

ной, т. е. конечное сферическое пространство. Нас не должна

здесь смущать неоднозначность релятивистской космологии —

1S5

возможность иных моделей. Для развития представления о беско­

нечности существенны, как уже говорилось, не только реализо­

ванные и закрепленные концепции, но и «виртуальные», которые,

подобно виртуальным процессам в теории поля, не входят в ито­ говый макроскопический результат. Самая возможность конеч­

ного пространства дала толчок математическим обобщениям. Они

пошли по линии полного отрицания правомерности понятия ак­

туальной бесконечности, которое, впрочем, уже давно было не в чести у математиков. Некоторому возврату к античным прообра­

зам конечной сферической Вселенной соответствовал возврат

к аристотелеву неприятию бесконечности. Возврат этот очень условен — Вселенная Аристотеля была не только конечной, но

и ограниченной. Вселенная Эйнштейна — неограничена. Ре­

лятивистская космология Эйнштейна отказывается от бесконеч­

ности пространства, приписывая последнему кривизну. Такое

предположение не колеблет постулата неограниченности про­

странства. Напомним риманово разграничение неограниченности и бесконечности.

«При распространении пространственных построений в на­

правлении неизмеримо большого следует различать свойства не­

ограниченности и бесконечности: первое из них есть свойство про­

тяженности, второе — метрическое свойство. То, что простран­

ство есть неограниченное трижды протяженное многообразие,

является допущением, принимаемым в любой концепции внеш­

него мира; в полном согласии с этим допущением область внешних

восприятий постоянно расширяется, производятся геометрические

построения в поисках тех или иных объектов, и допущение не­

ограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неогра­ ниченности пространства свойственна гораздо большая эмпи­

рическая достоверность, чем какому бы то ни было другому

продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не

следует бесконечность пространства, напротив, если допустим не­ зависимость тел от места их нахождения, т. е. припишем про­

странству постоянную меру кривизны, то придется допустить

конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны,

лишь бы она была положительной. Если бы мы продолжили крат­ чайшие линии, начальные направления которых лежат в некотором

плоскостном элементе, то получили бы неограниченную поверх­ ность с постоянной положительной мерой кривизны, т. е. такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многооб­

разии приняла бы вид сферы и, следовательно, является ко­ нечной» 1.

Подобное разграничение поможет нам найти античные про­ образы современных понятий. В отличие от других построений

Римана это разграничение не находит применений в наиболее

актуальных вопросах физики, быть может, пока не находит.

1 Сб. «Об основаниях геометрии», стр. 322—323.

186