книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

р ы х

д ве п о с ле д н и е

ц и ф р ы вы р а ж а ю т

ч и сло ,

д е л я щ е е с я

с о о т вет ст вен н о

н а

4 и л и н а 25.

Число

4600 делится и на 4,

и на 25,

так

как оно

П р и м е р .

оканчивается двумя нулями (следовательно, делится

па

100 = 4- 25).

Число

1264 делится на

4, так как 64 делится

на 4,

но это

число

нс

делится на 25, так как

64 не делится на 25.

Число

1275 делится

на

25, так

как 75 делится

на

25, но не делится на

4, так

как

75 не де­

лится

на 4.

на 8 и на

125.

8

125

5.

Признак делимости

Н а

и л и

н а

д е л я т с я

у

к о т о р ы х

т р и

п о с л е д н и е

ц и ф р ы в ы р а ж а ю т

ч и сло , д е ля щ ееся

с о о т в е т ­

с т в е н н о

н а

8 и л и н а

125.

делится

и на 8 и на

125,

так как оно

П р и м е р .

Число

3279000

делится

на

1000 = 8 •

125.

Число

5248

делится

на

8, но

не делится

на

125,

так

248 делится на 8, но не делится на

125.

13 де­

6. Признак делимости

на

7,

11- и

13.

Н а

7,

11,

и л и

р а ж ен н ы м т р е м я п о с л е д н и м и ц и ф р а м и ,

и ч и с л о м , вы р а ж ен н ы м о с т а л ь ­

н ы м и

ц и ф р а м и

( и л и

н а о б о р о т ),

д е л и т с я

с о о т вет ст вен н о

н а

7,

н а

11,

и л и н а

13.

7, и па 11, и на 13,

так

как

П р и м е р .

Число 253253 делится и на

разность 253 — 253 = 0, а

нуль делится на любое число (не

рав­

ное нулю). Число 253264 делится на 11, но

не делится

ни на

7,

ни

на

13, так как разность 264 — 253 = 11

делится на 11, но не делится

ни на 7, ни на

13.

Число

1208 965

не делится

ни

на

7,

ни

на

11,

ни на 13, так как

разность 1208 — 965 = 243

не делится

ни

на

одно

из этих чисел.

делимости

на 6, 12, 18,

24

и т. д. Н а

6

7.

Признаки

д е л я т с я

т е

и т о л ь к о т е ч и с л а , к о т о р ы е д е л я т с я н а 2 и н а 3.

на 2

П р и м е р .

Число

31242 делится на

6, так как оно делится

и на 3 (а числа

2 и 3 не имеют общих

множителей, больших 1).

Н а 12 д е л я т с я т е и т о л ь к о т е ч и с л а ,

к о т о р ы е д е л я т с я н а 3 и

н а

4 (но не на 2 и на 6,

так

как

2 и 6 имеют

общий

множитель,

поэтому, например, 18 делится

и на 2 и на

6, но не делится на 12).

П р и м е р .

216

делится на

12,

так

как

оно делится па 3 и на 4.

Н а 18 д е л я т с я т е и т о л ь к о т е ч и с л а ,

к о т о р ы е д е л я т с я н а 2 и н а 9.

П р и м е р .

9396

делится

на

18,

так

как

оно

делится

на 2

и на 9.

Существуют признаки делимости и на другие числа, но они слож­

ные, поэтому в таких случаях иногда пользуются

общим

признаком

делимости чисел.

делимости чисел.

8.

Общий

признак

Д л я т о го

чт о бы

ч и сло ' N

д е ­

л и л о с ь н а d ,

н е о б х о д и м о и д о ст а т о ч н о ,

ч т о б ы с у м м а п р о и з в е д е н и й

ц и ф р

э т о го ч и с л а н а о с т а т к и ,

п о л у ч а е м ы е о т

д е л е н и я

н а

d

сост вст -

с т в у ю щ и х с т е п е н е й д е с я т и , д е л и л а с ь н а d .

и

Если N

=

an

■ 1 0 * + q„_ !

•

10»-1 ~\---------1- a , ■ 102 -|- a v

10+'10+o0

10» = d

■ qn +

/■„;

10»

1 =

d

•

в том

. . . ; 102 =

d

■ <?2 +

r2;

1 0 = d q i ~ \ - r b

to

N

делится

на

d

и только в том случае, когда

на d делится сумма:

М =

а п /■„ —{—art_ i rn _ i -)-

• • ■-f- a , r2 + °i П +

o0-

Из общего

признака

легко

вывести

рассмотренные

выше

част­

ные признаки делимости и некоторые другие.

Пусть,

например,

d =

=

11. Тогда

10 =

11 •

1—

1

— 1

102=

11 •

9 + 1

1

г 2 —

+1

103 =

11 •

91 —

г3 = — 1

10* =

11 ■ 909+

1

г4 =

+ 1

и т. д.

Следовательно, при d

=

11 М

=

а 0 — а ,+ а 2 — а3+ п 4 — . . . Имеем

такой признак:

н а 11 д е л я т с я

все

т е

и т о л ь к о

т е

ч и с л а ,

у

к о т о р ы х

р а з н о с т ь м еж д у с у м м о й ц и ф р ,

с т о я щ и х н а ч е т н ы х м е с т а х ,

и с у м м о й

о с т а л ь н ы х

ц и ф р

д е л и т с я

н а

11.

11

число 47

214 051 819?

П р и м е р .

Делится

ли

на

9 +

8 +

5 +

4 +

2 +

4 =

32,

1 +

1 +

0 + 1

+

7 =

10,

32 — 10 =

22.

22

делится на 11, следовательно,

и данное

число делится на

11.

§ 11. Простые и составные числа

1. Простые и составные числа.

Всякое число * делится на единицу

и само на себя. Существуют

числа,

которые

делятся

не

только

иа

единицу и сами на себя,

но имеют еще и другие делители.

Например,

число

12, кроме 1 и 12, имеет еще делители: 2, 3, 4, 6.

Всякое число, кроме единицы,

которое

делится

только на еди­

ницу и само на себя, называется

п р о с т ы м .

Число,

которое

делится

не только

на единицу

и само

на себя,

но еще и

на

другие числа,

называется

с о с т а в н ы м .

Число

1

не причисляется

ни

к

простым,

ни

натуральные

числа от

1 до 30 в порядке возрастания.

Первое из них,

] — не простое, вычеркиваем его. Следующее

за ним число 2 простое,

оставляем, а

каждое

второе после 2, т. е. 4,

6, 8, . . .

вычеркиваем.

дое пятое,

начиная

после

5,

вычеркиваем (при

этом

считаем

и уже

вычеркнутые числа). В результате получаем:

X, 2,

3, \ 5, §,

7,

$,

\ 0 ,

11, \2, 13, \4,

\5, Хб,

17, \ 8 ,

19,

50,

$1, $2, 23, $4, ^5,

56,

57,

58,

29, %0.

Оставшиеся невычеркнутые числа

меньшие 30.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,

19,

23,

29 ^просты е,

«р е ­

Такой

способ составления

таблиц простых

чисел

называют

В настоящее время

имеются напечатанные таблицы

простых чи­

сел до двенадцати миллионов, а в

библиотеке Венской Академии

наук хранится

рукописная таблица

простых

чисел до ста миллио­

нов.

Однако уже известно много отдельных простых чисел, далеко

выходящих за пределы даже самых больших таблиц.

простых чи­

На стр. 38

этого

справочника

приведена

таблица

торых равна 2, например, 3 и 5,

5 и 7,

11 и 13, 17

и 19, . . ., 179

и 181, . . . , 10016957 и 10016959.

Такие

пары чисел

называют про­

ликого русского

ученого П. Л. Чебышева (1821—1894). В наше время

ряд вопросов теории простых чисел

разрешен

известным

советским

математиком И. М. Виноградовым (род. 1891).

Учпедгиз,

Л и т е р а т у р а .

И.

Я- Депман,

История арифметики,

1959.

Серпинский,

Что мы знаем

и

чего не знаем о простых числах,

В.

Физматгиз, М., 1963.

1959.

3. Трост, Простые числа, Физматгиз, М.,

число

на

4. Разложение

чисел

на простые

множители. Разложить

простые

множители— значит представить

его

в

виде

произведения

простых

чисел.

Составное число разлагается на простые множители е д и н с т в е н н ы м

о б р а з о м

(с точностью до порядка сомножителей). Это значит, что если,

например, число 20 разложилось

на

две

двойки

и пятерку,

то оно

и всегда

будет так разлагаться

независимо

от

того, начнем

ли

мы

разложение с множителей 2 или

с 5:

20 = 2 - 2 - 5 = 2 - 5 - 2 = 5 - 2 - 2 .

Способы

разложения

чисел

на простые

множители

изложим

на

примерах.

1.

Пусть требуется

разложить

на простые множители

П р и м е р

число 315. На основании признаков делимости 2 не будет делителем

числа 315, а 3 будет делителем 315. Тогда пишем число 315,

прово­

дим справа

от него

вертикальную

черту

и справа

от

черты

пишем

найденный делитель 3, а

под числом

315 — частное

от

деления

315

на 3, т. е. 105.

105

поступаем так же и устанавливаем,

что

105

Далее с числом

тоже имеет 3 своим делителем.

Пишем

число

3

справа

от

105

315

3

за чертой, а под числом 105 записываем

число 35,

являю-

105

3

щееся

частным от деления

105 на 3.

Число 35 на 3 не де-

35

5

лнтся,

поэтому

испытываем следующее по величине простое

7

7

число

5.

Выполнив с 35

те же операции,

справа от 35

пп-

1

шем 5,

а

под

ним

число 7.

Так

как

7 простое

число,

то

пока не получим

в частном

1.

Числа, записанные справа

от

верти­

кальной черты,

и составят

все

простые

множители числа

315, т. е.

315 = 3 • 3 • 5

• 7.

Этот общий способ в некоторых случаях можно упрощать.

П р и м е р

2. Разложить на

простые множители 5600.

Р е ш е н и е .

Замечаем, что 5600 = 56100. Число 56 равно про­

изведению 7 •

8,

следовательно, равно

произведению трех

двоек

5500 = 2s • 52 • 7.

Такая

запись числа в виде произведения степеней

разных

простых

чисел

называется к а н о н и ч е с к и м р а з л о ж е н и е м данного

числа.

данное числ

5.

Разложение на множители больших чисел.

Если

небольшое, или если оно делится на

небольшое простое число, то его

без особого труда можно разложить

на множители.

Но в общем слу­

так легко разложить

на множители

сравнительно небольшое

число

12091.

Испытывая числа 2,

3,

5,

7, 11, 13, 17, 19,

23

и т.

д.,

мы

долгое

время не можем обнаружить его делители.

А

ведь

данное

число не простое!

математики

не могли разложить на множители

Несколько

лет

число 549 755 813 881. И только

недавно электронная вычислительная

машина

обнаружила,

что это

число

(оно равно 238 — 7)

простое.

§ 12. Общие делители и кратные

1.

Делители

числа.

Д е л и т е л е м д а н н о го ч и с л а

н а з ы в а е т с я

ч и с л о , н

к о т о р о е

д а н н о е

ч и с л о

д е л и т с я

б е з о с т а т к а .

Всякое

простое

число,

например 13, имеет только

два

делителя:

единицу

и

самого себя.

ного числа,

предварительно раскладывают его на простые множители;

каждый из этих

множителей будет простым делителем данного числа.

Перемножением

же простых множителей по два,

по три, по четыре

и т. д. получают составные делители данного числа.

П р и м е р .

Найти все делители числа 50.

2, 5,

Р е ш е н и е .

50 =

2 • 52, следовательно,

50 делится на 1,

2 - 5 , 52, 2 •

52.

Других делителей число 50 не имеет.

О т в е т .

1,

2, 5, 10, 25, 50.

можно

легко

определять

коли­

Известно правило,

по которому

чество всех

делителей

данного числа-

Для этого

надо увеличить на

П р и м е р .

Сколько делителей

имеет число 5600?

Р е ш е н не.

5600 =

25 • 52 • 7;

( 5 + 1) • ( 2 + 1) • (1 + 1) = 36.

О т в е т . Число 5600

имеет 36

делителей.

2.

Общий делитель

нескольких

чисел.

О б щ и м

д е л и т е л е м

н е с к о л ь ­

к и х

ч и с е л

н а з ы в а е т с я ч и с л о , н а

к о т о р о е

все д а н н ы е

ч и с л а

д е л я т с я

б ез

о с т а т к а .

Например, числа 25 н 35 имеют

общие

делители:

1

и

5;

числа

42

и 105

имеют общие делители: 1, 3,

7

и 21. Среди

всех

об­

щих делителей

всегда имеется

наибольший.

Это

число

называется

н а и б о л ь ш и м о б щ и м д е л и т е л е м

( Н О Д ) .

В наших

примерах в

первом

случае НОД равен 5, во втором — 21.

105) =

21.

Пишут: НОД (25, 35) = 5; НОД (42,

Для

нахождения наибольшего общего делителя нескольких чисел

пользуются чаще всего двумя способами.

П е р в ы й

с п о с о б —.посредством р а з л о ж е н и я н а

п р о с т ы е

м н о ­

ж и т е л и .

Чтобы найти НОД нескольких чисел, раскладывают каждое

из этих чисел на простые множители и выписывают все

о б щ и е

м н о ­

ж и т е л и ,

причем

каждый

из них

берут с

н а и м е н ь ш и м

п о к а з а т е л е м ,

встречающимся в этих разложениях.

1260

и 245.

П р и м е р .

Найти НОД чисел: 210,

Разложим эти числа на простые множители:

Тогда НОД будет

210 =

2 • 3 • 5 ■7; 1260 =

22 • З2 • 5 ■7;

245 =

5 • Т -.

5 • 7 =

35.

с п о с о б — посредством

В т о р о й

п о с л е д о в а т е л ь н о го

д е л е н и я .

Он называется еще а л г о р и т м о м

Е в к л и д а .

Чтобы

найти

НОД

двух

чисел,

д е л я т б о л ь и к е ч и с л о

н а

м е н ы и е е ,

и если

получается

остаток,

то делят

м е н ь ш е е

ч и с ло н а

о с т а т о к ; если

снова

получается

остаток,

то

делят п е р в ы й

о с т а т о к

н а

в т о р о й .

Так

продолжают

делить до

тех

пор,

пока в остатке не получится нуль. П о с л е д н и й

д е л и т е л ь

и

б у ­

д ет

Н О Д - д а н н ы х

ч и сел .

и 299.

П р и м е р .

Найти НОД чисел 391

на

Разделив число 391 на 299, получим в остатке 92. Разделив 299

92,

получим

в остатке 23. Разделив 92 на 23,

получим в остатке 0.

Следовательно, 23 есть НОД чисел 391 и 299.

Запись удобно расположить

так:

391

|

299

299

1

-----

299 I 92

~276 —

92 |

23

общий делитель которых

равен

единице,

называются

в з а и м н о

п р о ­

с т ы м и .

Числа

15

и 22 взаимно

просты;

числа 7,

19,

32

П р и м е р ы .

и 84 взаимно просты;

числа

18 и 15 ие взаимно просты, так как НОД

(18, 15) =

3.

чисел больше двух и каждые

два

из них

взаимно

Если

данных

просты, то

такие

числа называют п о п а р н о

в з а и м н о п р о с т ы м и .

П р и м е р ы .

6, 9

и 4 — числа

взаимно просты,

но

не

попарно

взаимно

просты;

числа 8,

9,

7

и 55 — попарно взаимно

просты.

4.

Общее кратное

чисел. О б щ и м

к р а т н ы м

д а н н ы х

ч и сел н а зы в а е т с я

лю б о е

н а т у р а л ь н о е ч и с л о ,

к о т о р о е д е л и т с я

н а

каж д ое и з

д а н н ы х

ч и сел

(без остатка).

числа

12, 24 и 36

являются

общими

кратными

чи­

Например,

сел 3 и 4.

.

»

5. Наименьшее общее кратное (НОК). Из всех общих кратных

особый интерес представляет наименьшее общее кратное.

Н а и м е н ь ш и м о б щ и м к р а т н ы м н е с к о л ь к и х ч и с е л н а зы в а е т с я са м о е

м е н ы и е е

н а т у р а л ь н о е

ч и с л о ,

к о т о р о е

д е л и т с я

н а каж дое и з

д а н н ы х

ч и с е л . Например,

для трех чисел: 6, 15 и 20

наименьшее общее крат­

ное есть

60, так

как

никакое

число,

меньшее 60,

не

делится

на 6,

на 15 и на 20, а 60 делится на эти числа.

Пишут:

НОК (6,

15,

20) =

60.

Укажем два способа нахождения наименьшего общего кратного

нескольких

чисел.

П е р в ы й

с п о с о б — посредством р а з л о ж е н и я

н а

п р о с т ы е

м н о ­

ж и т е л и .

Ч т о бы н а й т и Н О К н е с к о л ь к и х ч и с е л ,

н а д о р а з л о ж и т ь э т и

ч и с л а н а п р о с т ы е м н о ж и т е л и , з а т е м ,

в з я в р а з л о ж е н и е о д н о го и з н и х ,

у м н о ж и т ь

его

н а

не д о с т а ю щ и е

п р о с т ы е

м н о ж и т е л и

и з р а з л о ж е н и й

д р у г и х

ч и сел .

Найти НОК чисел 72

и 108.

П р и м е р .

Разложим данные числа

на

множители:

В т о р о й

с п о с о б . Известно, что НОК (а , Ь) =

— — гг , т. е .:

1

' '

НОД (а , Ь)

Используя эту зависимость, можно определить НОК-

П р и м е р .

Найти НОК чисел 360

и 70. Так как НОД (360, 70)=

= 10, то НОК (360, 70) = 360 • 70 : 10

= 2520.

общее

кратное

трех

Чтобы

найти этим

способом

наименьшее

и более чисел,

сначала

находят

наименьшее

общее кратное

каких-

нибудь двух из

них, потом — наименьшее общее кратное этого

наи­

меньшего

кратного и какого-нибудь третьего

данного

числа

и т. д.

ния называется

д е с я т и ч н о й ,

потому

что по этой

системе

10 единиц

одного разряда

составляют

единицу

следующего-,

высшего

разряда.

цифр: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Если мы пишем, например, число

3827, то понимаем, что оно

состоит из 3

тысяч,

8

сотен,

2

десятков

и 7 единиц:

3827 =

3000 + 800 +

20 + 7,

или

3827 =

3 •

103 -1-8 - 102 +

2 ■10 +

7.

Говорят: о с н о ва н и е м

десятичной системы счисления есть число 10.

Однако возможны и недесятичные системы счисления. Можно

считать не десятками, а, например, пятерками.

Тогда 5

единиц пер­

вого разряда

будут

составлять

одну

единицу

второго,

а

5 единиц

второго — одну единицу третьего

разряда и т. д. В этом случае будем

иметь систему

счисления

с

основанием

5.

Ее называют

п я т е р и ч н о й

с и с т е м о й с ч и с л е н и я .

Для

записи

чисел в пятеричной системе доста­

точно иметь пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4.

д в е н а д ц а т е р и ч н а я и дру­

Возможны

также д в о и ч н а я ,

т р о и ч н а я ,

гие системы

счисления.

числа,

записанные в различных

системах,

Чтобы

не

смешивать

основание системы**. Например, числа 214(5),

1011(2), 299(12) записаны

*

В. М. Б р а д и с. Теоретическая арифметика,

Учпедгиз, 1954, стр. 66.

**

Но иногда пишут и без скобок.

214(в)

=

2 •

5'2

+ 1 - 5

+ 4 ,

1011(,)

=

1 •

23

+ 0 ■22 +

1 • 2 + 1.

299(j2) =

2 •

122

9 •

12 +

9.

Очевидно, в качестве основания системы счисления можно взять

любое натуральное число, большее 1.

Если за основание

взять

чис­

ло g ,

тогда

для

записи

любого

числа

достаточно

иметь

g

цифр:

О,

1,

2, 3,

. . .,

g

— 1.

Числа,

записанные в системе

счисления

при

основании g

в виде gna„ +

Н---------hffai +

ao.

где а 0, a t ........

ап — цифры, называются вообще с и с т е м а т и ч е с к и м и .

П р и м е ч а н и е .

Для

изображения

чисел

по системе счисления,

у которой

основание

превосходит

1 0 ,

недостаточно

наших

цифр: 1 ,

2,

3,

4, 5, 6 , 7, 8 , 9,

0.

Например,

для .двепадцатеричной

системы

пришлось

бы ввести

особые

знаки

для

1 0 и

II,

потому

что

паши

обозначения этих

чисел

выражали

бы тогда другие числа,

а

именно:

1 0

означало бы

1

единицу

2 -го

разряда, т. е. дюжину, а 1 1

означало

бы

1

единицу 2-го разряда и 1

единицу 1-го разряда, т. е.

13.

перех

2.

Переход от одной

системы

счисления к другой.

Для

от одной системы к другой достаточно уметь:

а) переходить от любой системы счисления к десятичной;

б) переходить от десятичной системы к другой системе.

Переход от любой системы к десятичной выполняется

путем пря­

мого

вычисления.

П р и м е р .

Дано число 3021(.i), записать его в десятичной системе.

Р е ш е н и е .

3021 <4) =

3 • 43

+

2 • 4 +

1 =

192 + 8

+

1 =

201.

Переход от десятичной системы к другой

покажем

на примере.

Число 856 записать при основании 4.

содержится

в

числе

856:

Устанавливаем,

сколько

четверок

8 5 6 :4 = 214.

Значит,

число состоит

из 214

единиц

2-го

разряда

(214

четверок). Сосчитаем единицы

2 -го

разряда

четверками;

делим

214 на 4; получаем 53 единицы

3-го

разряда

и 2 единицы

2-го раз­

ряда.

Ведем теперь счет единиц 3-го

разряда

четверками;

делим 53

на

4

и получаем

13 единиц

4-го

разряда и одну

единицу

3-го раз­

ряда.

Делим

теперь

13

на

4.

Результат счета

единиц

4-го

разряда:

3 единицы 5-го разряда и одна единица 4-го разряда.

На письме этот процесс

оформляют так:

_

856

|

4

856 _214

|

4

I р. О

2 1 2

5 3

|

4

И

р.2

52

1з |

4

Ш

р.

1

___1 2 _ “ зу -р .

IV р. 1

же

разряда, начиная с единиц

1-го разряда, и

к

преобразованию

суммы единиц

низшего разряда

в высший, если

эта

сумма — число

двузначное. Поэтому сложение можно

производить непосредственно,

как и в десятичной системе,

используя таблицу сложения однознач­

ных

чисел.

таблица сложе­

Например, в системе счисления с основанием 4

ния имеет такой вид:

1+ 1 = 2

2 + 2 = 1 0

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 2 = 3

2 + 3 = 1 1

0 + 2 = 2

1 + 3 = 1 0

3 + 3 = 1 2

0 + 3 = 3

П р и м е р .

Сложить числа

2 103(4)

и 1312(4).

Р е ш е н и е .

П р и м е р .

Вычислить разность 2301(.,)— 1223(4).

отнять 3,

Р е ш е н и е .

От одной единицы 1-го разряда

нельзя

_2301(4)

а единиц 2-го разряда в уменьшаемом

нет, тогда

1223(4)

берем одну единицу 3-го разряда, она содержит

!012(4)

четыре единицы 2-го разряда,

из них

три остав­