книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

4

1

1

2— 3 —

23

/ з V 4

_ L _ i !

J ___64

8

З1

¥ _ 8.1

10—1 +

ю + 1

*10

431 •

10

2155

81

- 8 •

11 —

3564'

П р и м е р 2. Преобразовать следующие выражения так, чтобы

они не содержали отрицательных показателей степенен:

5

1Л'(/ 2

5а (а — 6)~~д

2

J ’

b ~ - (.v — у)-2 ’

5-1л-y~* _

x ■2 4 ' _ 8b*x

5a (a — b)~*

5a b 2 (х — y Y

2~ 3ab~i

a • 5y-

bay- ' b~'-(x— y)~ ‘

(a — 6)* '

П р и м е р

3.

Выполнить действия:

5а“+ Л

2

(*“ * +

й-®) • (лГ

3bn

1

;

j

Р е ш е н и е .

5a“+ l\ 2

1

1

962«

36“

)

5a n + A ~

25a2“+ 2

25a2“+ 2 ’

36“

J

962“

(.i~2 + a “

3 )

( Л - - 2

— a ~ 3)

=

(.v- 2 )2 — (a- 3 )2 =

.v“ >— c i~ ° =

I

1

a° — д4

at1

a6

rjOi-l

,4

V*.

V{a+ b)-\ У(х-у)~*.

у г х* — х 3 , У а 3 = a 4 , У (а + 6) 1 = (а + 6)

2 ,

2

У ( х - у ) - - = ( х - у ) ~ ^ .

П р и м е р 5.

Заменить

выражения с

дробными

показателями

радикалами:

1

3

т

« г - 1 .3,

(.v + у )" 3 ,

(.V2 + i f - y ,

(р -|- q ) ~ « .

Р е ш е н и е .

/и"**1*6 = т

Ц ; (-v + i/)3 =^ л - + (/;

■»

V

Пример

6.

Упростить выражения:

б

1

1

1

1

a b

а) [(об)4 — Ь 2 ]~1

a — b

a b j

a + V a b

при а > О,

Ь >

0,

а >

Ь;

б)

( а -

1 Г 1

1

- ’

^

- «

+ i

( « + о -

в)

A ' ( l - . V )

3 + '

: [(1 — х ) 3

. ( l _ 2 . v + . v T

(1 - - v ) 3

а — b

1

1

1

ат i p r

__ i j T

(a b ) 2 (я +

1/«&) — a b

а 4

-{-ай4

а т- ]/ яб

а — b

8

1

1

1

1

1

I

а 2 Ь - -)- a b — a b

а (я 4 + Ь~ )

1

1

1

1

а — Ь

b ‘1 (а 4 — L 1 )

а - (а 2 + 6 2)

3

1

i

ят 6т

(а —

Ь)

1

I

= b 1 =Y~b\

1

1

l

l

1

Ь Т ( а4 — 6 4 ) a 2 ( a 2 - { - i 2) a ( a 4 + 6 4 )

б) ^

= 4

Р - а

_

0)- i ] . o0+

Q(fl. -

2) . у

1

( a + 1 ) - 2

J

i

-

*

+ l

y

o — l

1 — a j

1 -f- a2 — 2a

■( a + 1 ) :

a 3

1

( а — l)2

a - — a + 1 v“ 1 ‘'

a — 1 a - — a -j- 1

в) .v ( l- .v ) '3 -j-------------

f

: [(l — л) з ( 1 - 2 * + **)-»] =

(1 — jr)-5-J

’ (1 — JC)=

x

. ( l - * ) 3

жения,

эти

выражения

равны. В первом

случае равенство называют

т о ж д е с т в а м и ,

а

во втором — у р а в н е н и я м и .

Например, когда утверж­

дают «при любом а действительном

я +

1 =

1— а»,

здесь равенство

есть

тождество;

когда

же

ставят

вопрос «при каком

значении х

х +

3 =

10?», здесь имеем уравнение.

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестные числа,

обозначенные буквами. Эти буквы,

обозначающие неизвестные числа

в уравнении,

называются н е и з в е с т н ы м и .

Неизвестных в уравнении

может быть несколько.

Например,

в уравнении

2 х + у =

7 х —

3

два

неизвестных:

х и у .

слева и справа

от знака равен­

Выражения,

стоящие в уравнении

ства, называют

соответственно л е в о й

и п р а в о й

ч а с т я м и

уравнения.

Так,

в приведенном выше уравнении 2 х -f- у

— левая часть, а 7 х —3—

правая.

Виды уравнений.

Различают уравнения с о д н и м , д в у м я , т р е м я

и т.

2.

д.

н е и зв е с т н ы м и в зависимости

от

того,

сколько

неизвестных

оно содержит. Например,

3.v — 5 = 1 0 — уравнение с одним

неизвестным х .

и г/;

х 2 +

// — 50х — уравнение с двумя неизвестными х

х - =

У у

— г — уравнение с тремя

неизвестными х ,

у и г.

В уравнении могут быть буквы,

не являющиеся неизвестными

( п а р а м е т р ы ) . Например, уравнение а х

+ 3 = с имеет одно неизвестное

лами. Такие уравнения называют

б у к в е н н ы м и .

Уравнения,

которые,

кроме неизвестных, не содержат никаких букв, называются

ч и с л о в ы м и .

Числовыми

есть, например, следующие уравнения:

2а -j—3 =

7,

хУ =

//*'■.

По характеру операций, выполняемых над неизвестными, уравне­

ния делятся

на

алгебраические,

дробные,

иррациональные н транс­

цендентные.

левую

и

правую

части

уравнения буквами А

и В .

Обозначим

Тогда уравнение А — В

называется:

1) а л г е б р а и ч е с к и м , если А

н В — многочлены;

выра­

2)

д р о б н ы м

(рациональным),

если

А

и В — рациональные

жения, причем хотя бы одно дробное;

— алгебраические

выражения,

3)

и р р а ц и о н а л ь н ы м ,

если

А

и

В

причем хотя бы одно из них иррациональное;

содер­

4)

т р а н с ц е н д е н т н ы м ,

если хотя бы одно из выражении А п

В

жит трансцендентные *

операции

над неизвестными.

Уравнения

2 х -

3 =

7а

и

а х - \ - b

y

- c

— алгебраические;

и

—— г +

х -

= -------

— дробные;

X — 1

с

1/3 — х =

5

и

У

а

х +

У х 2 — 1 = 0 — иррациональные;

х У =

l o g y

а

и

sin а-— tg х

=

0

— трансцендентные.

Алгебраические уравнения бывают п е р в о й ,

в т о р о й , т р е т ь е й

и т. д.

с т е п е н и в зависимости

от степенен

многочленов А и В .

Например,

За =

2 ( а — 5) +

1 — уравнение первой степени;

0,5а3 — 3,2а = 0

— уравнение второй степени;

7ау + а

— у = 5

— тоже

уравнение второй степени,

так как сумма показателей при

неизвестных

в первом

члене 7 х у

равна 2

первой степени называют также л и н е й ­

Алгебраическое уравнение

н ы м

уравнением, а уравнения

второй

и

выше степеней

называют

рамп или буквами, и в результате

получится,

что левая

часть тож­

дественно равна правой, то говорят,

что данное число (значение неиз­

вестного)

у д о в л е т в о р я е т уравнению.

В противном случае говорят,

что

оно н е у д о в л е т в о р я е т

уравнению.

Значение

неизвестного,

удовлетво­

ряющее уравнению,

называется

р е ш е н и е м ,

и л и

к о р н е м , уравнения.

Например, если в уравнение

З-v' —{—7 =

13

вместо

неизвестного х

подставить число

2, получим тождество 3 ■2 +

7 =

13.

Следовательно,

значение х =

2

удовлетворяет данному уравнению,

число 2

есть реше­

ние или корень этого уравнения. А значение х =

3 не удовлетворяет

этому уравнению, так как 3 - 3

+ 7 + 1 3 .

неизвестным х имеет реше­

Еще пример.

Уравнение 2 х

+

с =

3

с

ние х == 0,5 (3 — с), так как 0,5 (3 — с ) ■ 2 +

с

= 3 — тождество.

Решением

уравнения

с

несколькими

неизвестными

называют

систему значений всех неизвестных, удовлетворяющих данному урав­

нению. Пусть,

например, имеем уравнение

с двумя неизвестными

7.

Пара значений

. v = l ,

у — 3 удовлетворяет этому уравнению,

так

как

12+ 2 - 3

=

7.

Эта

пара

чисел

считается

о д н и м

р е ш е н и е м

данного

уравнения *.

Существуют и другие

решения этого уравнения,

напри­

мер х = —1, у

= 3; х = 3, у =

— 1 и т. д.

может иметь един­

Уравнение

может не иметь

совсем

решений,

ственное

решение,

несколько

решений

и бесконечное

множество

решений.

Уравнение х

+

8 =

.v + .5

не имеет решений, так как

П р и м е р ы .

при любых действительных значениях х левая часть больше

правой;

уравнение З х + 2

= 11

имеет единственный корень х =

3;

уравне-

нне х +

12

7 имеет два корня:

3

— —

уравнение 5 (х — 3) +

2 =

3 ( х

— 4 ) +

2.V — 1 удовлетворяется при

любом значении х , т. е. является тождеством. Приведенное выше

уравнение х2 +

2 у

=

7 также

имеет

бесконечное множество решений,

но не является тождеством.

Два

уравнения

называются

4.

Равносильные

уравнения.

р а в н о ­

с и л ь н ы м и

(пли эквивалентными), если все решения первого

уравнения

являются решениями второго и, наоборот, все решения второго урав­

нения являются решениями первого. К равносильным уравнениям

относятся также уравнения, не имеющие решений.

П р и м е р ы. Уравнения 2 х

— 5 = 1 1

и 7 х + 6 = 62 равносильны,

гак как они

имеют один и тот же

корень .v =

8.

* В таких случаях

слог о «корень»

не употребляют.

Уравнения

х " —[—f/ —f—1 = 8 — у

и

а 2 -|- 2 у — 7 равносильны, так

как каждое решение первого удовлетворяет второе и любое

решение

второго удовлетворяет первое уравнение;

2л

равносильны,

потому

уравнения

а -|-2 =

а - |- 5 и

2а -|-7 =

что оба не имеют решении;

и

За =

3 ( х — 1) — 3

равно­

уравнения

а -}- 2 =

2 (.v-j- 1) — х

сильны, поскольку любое значение х

удовлетворяет и первое и вто­

рое уравнения.

Согласно

приведенному

выше определению,

П р и м е ч а й и е.

уравнения

ней: считают, что уравнение второй степени а 2 — 14а -f- 49 =

0 имеет

два

одинаковых корня А] = 7;

а 3

= 7, а уравнение первой

степени

а — 7 = 0 имеет только один

корень: ду = 7.

два

Понятие об эквивалентности

уравнений является относительным:

уравнения, рассматриваемые

в одной области чисел, могут быть

( х - 2) ( а 2 + 1 )

=

0 ,

( а — 2) ( а 2 -|—4)

=

0.

собой.

Теоремы о равносильных уравнениях. Т е о р е м а 1. Есл

5.

член, то новое уравнение будет равносильно данному.

Так,

уравнение 2а — 1 = 7

имеет корень а

=

4; прибавив к обеим

частям по 5, получим уравнение 2а -}-4 = 12,

которое

имеет тот же

корень а

= 4.

С л е д с т в и я из п е р в о й т е о р е м ы :

одинаковые члены,

а) Если в обеих частях уравнения

имеются

то их можно опустить.

имеет

один

корень

а = 2;

Так,

уравнение 9а -f- 5а = 18 -J- 5а

опустив

в обеих частях 5а,

получим

уравнение 9а = 1 8 ,

которое

нения в другую, переменив

его знак на противоположный.

Так, уравнение 7а — 11

= 3 имеет один корень а = 2, перенеся

11 в правую часть с противоположным знаком,

получим -уравнение

7а = 3 + 11, которое имеет то же решение а =

2.

Т е о р е м а 2. Если

обе части

уравнения умножить на

одно

н то же число, не равное

нулю,

то

новое уравнение

будет

равно­

сильно данному *.

15 = 10 — З х имеет

корень

П р и м е р .

Уравнение

2 х —

х

— 5.

Умножив обе части на 3, получим

(2 х —

15) • 3 = (10 — За-) • 3,

или 6.V — 45 = 30 — 9.т,

ривать

как

умножение

на

число,

ему обратное.

Поэтому

обе части

уравнения можно также и разделить на одно и то же число, отлич­

ное от

нуля.

Уравнение

12.v2 — 3 =

6.т +

33

имеет

два

корня:

П р и м е р .

х \ — 2 и х 2 =

—1,5.

члены

на

3,

получим уравнение

4л2 — 1 =

Разделив

все

его

= 2л: —j—11,

равносильное данному, так

как

оно

имеет

те же два

корня: x'i — 2

и х 2 = — 1,5.

т е о р е м ы :

а)

Знаки

всех

членов

С л е д с т в и я

из

в т о р о й

уравнения можно изменить на противоположные (это равносильно

умножению обеих частей уравнения на —1).

умножения

обеих

П р и м е р .

Уравнение

—За' —|- 7 =

—8 после

частей

на — 1 примет вид: З х — 7 =

8.

Первое и второе уравнения

имеют единственный корень х = 5.

б)

Уравнение,

в котором

коэффициенты всех или некоторых чле­

нов дробные числа,

можно

заменить

равносильным ему

уравнением

с целыми коэффициентами (для этого обе части уравнения надо умно­

жить на наименьшее общее кратное знаменателей дробных коэффи­

циентов).

16.V+1

П р и м е р .

Уравнение

после умножения обеих

---- =J—

его частей

на 14 принимает вид:

5л: — 4

14 =

16.V+1

(5л- — 4) ■7 = (16л--|-1)

• 2;

--------- •

------ ----- •14;

2

7

35а*— 28 = 32л' -f- 2.

Легко убедиться в том, что первое и последнее уравнения удов­

летворяются только

при х =

10.

* Верны также более общие теоремы.

любое выра­

Т е о р е м а

1. К

обеим частям

уравнения можно прибавит ь

жение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное

уравнение будет

равносильно данному.

ч

выражение,

Т е о р е м а

2. Обе части уравнения мооюпо умнож ить

на любое

имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного,

полученное уравнение будет

равносильно данному.

ному.

уравнение

— 1 = 5,

имеющее

один

П р и м е р ы. Пусть дано

2 х

корень х

= 3.

Если умножить

обе части

этого

уравнения

на х

— 2,

получим

новое уравнение (2.v— l)(.v — 2) =

5 {х

— 2),

не

равносиль­

ное данному,

так как, кроме корня .v = 3,

оно имеет еще один х

= 2,

который данное уравнение не удовлетворяет. Если

бы обе части данного

'1

то получили

бы

2.V — 1

уравнения умножили на ----- - ,

уравнение -------— =

= —~ д > которое вообще не

имеет корней

и,

следовательно,

тоже

к очень простому уравнению, корни которого

определить нетрудно.

А так как полученное уравнение равносильно

данному, то и корни

члены первой степени относительно

одного

неизвестного, а

во вто­

рой — тоже многочлен первой степени относительно этого же

неизве­

стного или какое-нибудь число.

П р и м е р ы . 2 х -{-3 = 7 ---- , 0,7у = 0;

-g- + 1 — * ~

■

Каждое уравнение первой степени с одним неизвестным х

можно

привести к виду

а х =

Ь.

Если

а =

О,

то уравнение не имеет

решений (при

b Ф

0) или

имеет их бесконечно много (при

Ь =

0).

Пусть надо

2.

Общая схема решения

уравнений первой степени.

решить такое

уравнение:

х — 4 | 2 ( х - f - 1)

, _5 (а — 3) ,

1 1а -|- 43

3

+

4

2

6

'

Р е ш е н и е ,

а) Умножим все члены

на

наименьшее общее

крат­

ное знаменателей, которое равно

12. Произведя сокращения,

полу­

чаем:

4

( а

— 4) +

6 (* + 1) — 12 =

30 (* — 3) + 24* — 2 (1 1а +

43).

б)

Чтобы отделить члены, содержащие

неизвестное и свободные

члены, раскроем скобки:

4а — 16+6.А + 6 — 12 =

30а — 90 +

24а — 22а — 86.

в)

Сгруппируем в одной

части

члены,

содержащие

неизвестные,

а в другой — свободные члены:

4.V + 6* — 30.V — 24.V +

22* =

—90 — 8 6 + 16 — 6 + 1 2 .

г)

Приведем

подобные члены:

а

=

7.

Как

видим .корень полученного

уравнения, а значит и данного,

равен а

= 7.

такие

уравнения можно

решать по следующей

схеме:

Вообще

а) привести уравнение к целому виду;

б) раскрыть скобки;

в) сгруппировать члены, содержащие неизвестное, в одной

части

уравнения,

а свободные члены — в другой;

г) привести подобные члены;

=

b, которое

получили

после

д)

решить уравнение вида g a

приведения подобных членов.

урав­

Однако эта схема не может быть обязательной для всякого

нения. Во-первых,

при решении

многих,

более простых, уравнений

приходится

начинать

не с первого,

а

со

второго,

третьего и даже