Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

11.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

П р и м е р

Решить систему уравнении:

•

,П— 2 .

Г>п—3

Сад.

Р е ш с и и

(2.у)1

(2л~)I

(2л-— я +

2)! ‘ (2л — я +

3)!

(2л)!

(2л — я -{- 2)! (я — 2)! ' (2л — и +

3)! (л

’

откуда

( 2.T — л +

3 =

2л — я +

гг-- 2

“

я — 2 = 3, л = 5, х — 5.

О т в е т , п — 5, л = 5.

из л букв

З а д а ч а

Число

перестановок

относится

к числу

перестановок из я +

2 букв,

как

0,1

Найти

я.

Р е ш е н п е.

По

условию

Р п

0.1

1 - 2 - 3

. . . я

Рп+% ~

’ ИЛИ 1

• 2 ■3 . ..

п (п

+ 1) (л + 2) ~ 30 ’

откуда

(п “Ь 1) (п

2) = 30-

Корни этого

уравнения

п г =

4, я2 =

—7.

Второй корень не годится.

О т в е т ,

п =

З а д а ч а

Число сочетаний из я элементов по 3 в 5 раз меньше

числа сочетаний

из я - \ - 2 элементов

по 4. Найти

я.

Р е ш е н и е .

По условию

ИЛИ

5С’ = С ^ +а,

5 п ( п

— I ) ( п —2) __ (п +

2) (n

1) n (n

— I)

откуда

1 * 2 - 3

■2 • 3■4

5(я -

2)= >

+ 2>.4(я + 1».

О т в е т ,

tii

—

М, «2 =

401

З а д а ч а	3.	Сколькими		возможными способами					можно избрать
из 15 человек делегацию в составе					3 человек?		и Ь,	а ,	с одинаковы, то
Р е ш е н и е .		Так как	делегации а , Ь, с				и Ь,	а ,	с одинаковы, то
искомое число		является	числом		сочетаний		из	15	по 3,	т. е. оно
равно С?
15			15 • 14		■13
			15 • 14		■13	= 1365.
				1 - 2 - 3
З а д а ч а	4.	Сколькими		разными		способами		собрание,		состоящее

из 40 человек, может избрать из своего числа председателя собрания, его заместителя и секретаря?

	Р е ш е н и е .		Избрать		определенные	три	человека из 40			человек
можно так:
	а — председатель,				а — секретарь,
	Ь — секретарь,				Ь — председатель,
	с — зам. председателя;				с — зам. председателя
И Т.	д .
	Следовательно, количество разных способов будет /V10:
				=	40 ■39 • 38 =	59280.
них	З а д а ч а	5.	На	плоскости расположено			10	точек	так,	что из
них	никакие	три,	за	исключением одной		тройки		точек,	не лежат на

одной прямой. Сколько разных прямых можно провести через эти точки?

Р е ш е н и е .			Если бы три точки не лежали на одной прямой, то
всего можно было				бы провести			С 10 прямых. Если при этом одна точка
перемещается так,				что будет на				одной	прямой с двумя другими точ
ками, то из трех			разных			прямых		получим одну. Итак, всего прямых
можно провести			С"10 — 2 = 43.
З а д а ч а		6. Сколько возможных способов для образования дозора
из трех солдат и одного офицера, если									есть 80 солдат и 3	офицера?
Р е ш е н и е .			При		одном офицере и 80 солдатах можно образовать
дозор Cjo способами. При трех							офицерах число способов будет в три
раза больше, т.			е.	ЗСво =		246480.
З а д а ч а		7.		Сколько возможных способов распределения 6 раз
ных	предметов между тремя лицами, так чтобы каждое из									них	полу
чило	2 предмета?				лицо может получить два предмета					из	шести
Р е ш е н и е.			Одно
Со способами.
Пусть лица А ,				В ,	С	получили при			одном способе распределения
по два предмета так:
				А — a b ,			В — c d ,		С — e f.

402

Поменяв местами собственников этих предметов, получим Р 3 спо собов распределения, что соответствует одной комбинации из 6 эле

ментов по 2.	Итак, всего способов распределения будет Р 3 ■ С0 = 9 0 .
З а д а ч а	8.	Сколько	может быть случаев	выбора двух каранда
шей и трех	ручек	из 5 разных карандашей и 5		разных ручек?
Р е ш е н и е .		Из пяти	разных карандашей	два карандаша можно
выбрать С \ способами; из			пяти разных ручек	три ручки можно вы

брать С 36 способами. Одному выбору двух карандашей из пяти соот

ветствует c l способов выбора ручек. Итак, всего способов выбора двух карандашей и трех ручек будет:

C l

■ С \

c t - C ' l

(C lr - = 100.

З а д а ч а

Среди сочетаний из 10 букв а ,

Ь,

с,

. . . по 4 сколько

таких,

что не содержат букву о?, буквы а и b?

из

10 букв

Р е ш е н и е .

Чтобы

вычислить

количество сочетаний

а, Ь, с,

. . .

по 4,

которые не содержат буквы а,

надо

подсчитать

число сочетаний из 9 букв Ь, с, . . .

по 4; их будет

Со =

126.

Тогда

число

сочетаний

из

по

не

содержащих

букв а

Ь,

будет

С'1 = 70.

З а д а ч а

10.

Сколько

различных

натуральных

чисел

можно со

ставить

из цифр 0, 1, 2,

3, 4,

если

каждое

число входит каждая

из данных цифр не более одного раза?

числами,

исключая

нуль,

Р е ш е н и е .

Различными однозначными

будут А

= 4. Если бы среди данных

цифр

не

было

нуля,

то

число

различных

двузначных чисел

было бы

равно

А?.

Но

так

как

среди

них есть нуль, то в числе размещений из этих пяти цифр по две есть


однозначные числа, это те, которые начинаются с						нуля.	Число их
равно	А\| = 4. Значит, различных двузначных чисел получится А - — А \ =
= 16.	Аналогично найдем, что число различных трех-,					четырех- и пяти
значных чисел		будет	соответственно		а 1 — /1,1 = 48,	Аз — Л3, = 96,
Aj — А!} = 96.		Всего	получится	4 + 1 6	+ 48 + 96 +	96 =	260 чисел.
З а д а ч а		11. В шахматном		турнире двое из участников выбыли,

сыграв по три партии каждый, и потому на турнире было сыграно всего 84 партии. Сколько было участников первоначально?

Р е ш е н и е . Пусть искомое число участников турнира было х . Полностью сыграли друг с другом по партии лишь х — 2 участников

(двое выбыли) и число этих партий, очевидно, равно числу С^._2 =

403

( х — 2) (л: — 3)			„	число партии вместе с шестью сыгранными
= ------	j— g-------	. это
двумя выбывшими участниками составило 84						партии. Отсюда получаем
	(х _2) ( х __ 3)				6 = 84. Решаем	его: х 2 — 5л- — 150 = О,
уравнение ----------		^	--------	' +
л: = 15 (отрицательный корень отбрасываем).
О т в е т .		15.		В	решении предполагается, что выбывшие
П р и м е ч а н и е .
игроки	друг с другом			не	играли. Это действительно так, потому что
уравнение С*		+	5 =	85	не имеет решений.

§51. Бином Ньютона

1.Произведение биномов, отличающихся только вторыми членами.

Выражение х + а , как		и вообще всякий двучлен, называется б и н о м о м .
Обыкновенным умножением находим:
	(х + а) ( х + Ь) = .т= + (а + Ь) х + аЬ ,
( х -f а)	( х + Ь) ( х + с)	= х 3 + (а +	Ь + с ) х 2 +	(a b + а с + be) х	+ abc,
(х + и ) ( х + b) (х -f- с) ( х -f- d ) = х 4 -)- (а -\|- Ь -)- с -}- d ) х 2
(иЬ	ос -\|- ocl -J- be -f~ b d -{-cd ) х 2		(a b c -f~ a b d -j- cicd -\|- b ed ) x		-\|- оb ed .
Эти произведения представляют собой многочлены, расположен
ные по	убывающим	степеням х .	Все они	составлены по	одному

и тому же закону: показатель первого члена равен числу перемножае

мых биномов, показатели	при х в	следующих членах	убывают на 1;
последний член не содержит х (т.		е. содержит его в нулевой степени).
Коэффициент первого	члена	есть 1; коэффициент	второго члена

есть сумма всех вторых членов перемножаемых биномов; коэффициент

третьего члена есть сумма всех	произведений вторых членов, взятых
по два; коэффициент четвертого	члена есть сумма всех произведений

вторых членов, взятых по три, и -г. д. Последний член есть произве дение всех вторых членов.

Эта закономерность применима к произведению какого угодно числа биномов, т. е. верна формула

(х + а) (х + b) (х -f- с) • • ■( х -f- k ) — х т + S 1x m 1 + S ^ x " 1 2 -f~ • ■• + 5 Ш,

где		а +	b + с + ■■■-j- i -\|- к ,
51 =
52	—	oh -j- qc -\|- •• •-p ik,
53	= a b c		a b d -f- • • •
S/fj	—a b c ...ik .

• :404

П р и м е р . Найти произведения биномов:

(л- - 1)(лЧ- 2) (л -- 3 )( х + 4).

Р е ш е н и е .

Si = ( - l ) + 2 + ( - 3 ) + 4 = 2 ;

S t = ( - 1 ) • 2 + ( - 1 ) ■( - 3 ) + ( - 1 ) -4 + 2 ( - 3 ) + 2 • 4 + + (—3) ■4 = - 7 ;

53 = ( - 1 ) - 2 • ( - 3 ) + ( - 1 ) . 2 - 4 + ( - 1 ) ■( - 3 ) • 4 + + 2 • (—3) • 4 = —14;

54 = (— 1) • 2 • (—3) - 4 = 2 4 .

Итак,

( х — 1) ( х + 2) ( х — 3) ( х + 4) = х * + 2 х 3 — 13*2 — 1 4 х + 24.

2.Формула бинома Ньютона. Если в приведенной выше формуле

все вторые члены биномов одинаковы,					т. е. а — Ъ = с = - • • =					к ,	тогда
левая	часть будет степень бинома			(х +	а ) т , a		St, S2, . . . .			S,„	будут
соответственно равны т а ,		т ( т — 1) „ т ( т — 1) (т — 2)									, а " 1.
соответственно равны т а ,		— — х—		- а2,	—5	1	^	' о	: а 3,		, а " 1.
		I •	Z			1	• Z	' о
Таким образом, мы получаем
	(-V+ а )т = х т + т а х т - 1 - + т ( " 1 ~						1>а гх т ~ г -\|_
	т (т — 1) (т — 2)	3		т (от — !)■ • -[т — (я -						1)]
'г	1 - 2 - 3	- Г "		- Г		1 - 2 - 3 --- я
	X	а п х т	~ п	_ \|--------------1 - а т .
Эта формула называется формулой бинома Ньютона. Ее можно
записать и так:
	(.V + а )т = х т + с ) п а х т ~ 1			+ С~т а ~ х т - 2			+	с 3т а 3х т ~ з
	Н------- 1- О		л*т - п Н------ (- а т .

Пр и м е ч а в и е. Формулы квадрата суммы и куба суммы (стр. 168,

169)есть частные случаи этой общей формулы.

П р и м е р. ( х - f а)5 = л® + + С & х 3 + d a 3x 2 - f C5'a',.v+a6= = л6 + 5яг> + 1 Оа=л-з _[_ 1оо2л-2 + . 5а1т + а6.

3.Биномиальные коэффициенты и их свойства. Коэффициентом

первого члена	разложения бинома есть 1 (или С°т ), второго — С хт
2	’
третьего — С т	и т. д. Коэффициент последнего, (от-\|- 1)-го члена

405

равен C tn	= I . Эти коэффициенты				называются б и н о м и а л ь н ы м и . Общин
член разложения имеет вид:
,	-	г п а,ч-п,-„	_ т ('« -		■	И -	(я - >)] а п х т ~ п .
L-I-1 --		'-'/71й А	--		. п	л
					1 ■2 • 3...л
Из этой формулы можно получить все члены (кроме первого),
подставляя вместо п числа: 1, 2,					3, . . . ,	т .
Биномиальные коэффициенты имеют следующие свойства:
1)	Коэффициенты членов, одинаково						удаленных от концов раз
жения, равны между собой, т.				е.
			рП	__ рГП— П
			г- т	— ^ г п

2)Для получения коэффициента следующего члена достаточ

умножить

коэффициент предыдущего члена

на показатель

буквы х

в этом члене и разделить на число членов,

предшествующих опреде

ляемому, т. е.

С т 1 (т — П + 1)

Стп

Сумма

всех

биномиальных

коэффициентов равна

2™,

т. е.

1 +

С т +

С т -j-------Ь С тп

Н------ 1-Сш

1 =

2т -

Сумма биномиальных

коэффициентов,

стоящих

на

нечетн

местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих

на чет

ных местах, т.

е.

1 +

С т + С т -)----- =

С т +

С т3

С тъ

-)------

Примеры и задачи на бином

Ньютона.

З а д а ч а

В раз

жении ( У х - \ ---- — ^

коэффициент пятого члена относится

коэффп-

¥ # )

7 : 2.

Найти

тот

член

этого

разложения,

циенту третьего члена, как

который

содержит х

в первой степени.

Р е ш е н и е .

Биномиальный

коэффициент пятого

члена

равен С п>

' коэффициент третьего члена

равен С„.

Тогда, по условию,

С п

п (л — 1) (п — 2) (л — 3) • 1 • 2

1 • 2 • 3 • 4 • п (я — 1)

~ Т ’

отсюда

= 9.

406

Пусть теперь номер члена, содержащего х в первой степени, ра вен к + I. Тогда

с\ [

. k

ЛУхУ-,! = с1х

3* Я—*

27— i k

г,.+1 =

)

З х 2

C*v

По условию, показатель степени х должен быть

равен

Значит,

27 — 7/г'

—

?---- = 1, отсюда к =

степени,

есть четвертым чле

Итак, член, содержащий х в первой

ном разложения

и равен

Г 4 = С ^ х .

З а д а ч а

В разложении

^.v ] У х -----У - j

биномиальный коэф

фициент третьего члена на 44 больше

коэффициента

второго.

Найти

свободный член.

Р с ш е н и е. Коэффициент третьего

члена будет С п“ ,

коэффи

циент

второго — С пг . По условию

С,] — С „ = 44.

Решая

уравнение

—^55 — п

44,

получаем

п =

(отрицательное

значение отбра

сываем).

Находим свободный член:

Г/г+1 =

\ b

3 3 —

И й

С^ (лУ *)П_/г ( - - ! - )

= (—1 )*Сцл:

2 .

Чтобы х

был в нулевой степени, нужно

чтобы

о, т. е.

к =

Итак,

свободный

член

равен — Сц = —165.

З а д а ч а

Найти

все

рациональные

члены

разложения

t n r n

1 V-0

члены иррациональные.

2 —

* не вьшисывая

Р е ш е н и е .

Напишем общий

член

разложения данного бинома:

Т п+ 1 =

( - 1 ) < о

{ \ / г 2 У а~

(-1 )п с?02 ^ ~ .

Рациональными члены будут тогда,

когда 40~ 5а будет

целым

числом. Выясним, при каких п это выражение будет целым.

5 п

Ш,

40 — 5п =

6/и,

5п -- 40 — 6т ,

п = 8 — т

:— g---- =

-/п.

407

Чтобы для п получались целые значения, нужно придавать зна чения т , кратные пяти, но при этом такие, чтобы число п не выхо дило из интервала 0 и 20. Такие значения для т будут: —10; —5; It; 5, а соответствующие числа для п : 20, 14, 8, 2. Искомые члены будут:

r 21 = 2-W; Т и = С” • 2-6 = С2°0 • 2-5; Т 9 = С50; Т 3 = C|!0 • 2».

За д а ч а 4. Дано многочлен

а(2 — За)5 + л3 (1 + 2а2)7 — д4 (3 + 2д3)».

Найти коэффициент члена, содержащего а5, если выполнить

ука

занные действия.

разложении дг (2 — За)5

член, содержащий д5,

Р е ш е н и е .

равен лТ4 |_1,

где Т

— пятый

член разложения бинома (2 — За)6:

T i+ 1 =

( - 1 ) !С ' (За-)4

■2 =

810.V4.

В разложении

а:3 (1

2 х - )7

член,

содержащий

д5, равен х 3Т j-j-j,

где T j+i — второй

член

разложения бинома (1 + 2x2t7:

Т 1+1 = С' (2л2) = 14.v2.

Разложение а 4 (1

- |-

2а-3)0

не содержит а 5.

содержащего а5,

Итак, коэффициент члена (данного

многочлена),

равен 824.

Многочлен а4 — За3 +

а2 +

] разложить по убываю

З а д а ч а

щим степеням д +

на (а + 1)

—1,

получим

Р е ш е н и е .

Заменив а

а4

За3 -|- А2 -}- 1 = [(а -(- 1 ) _ 1 ] 4 _ 3 [ ( А + 1 ) - 1 ] 3 +

+ К * + 1 ) - 1 ] 2+ 1 -

Если теперь

раскрыть

по

формуле бинома Ньютона выражение

[(a -f- 1) — 1]*, где

ft = 2,

рассматривая

а + 1

как один

член,

то после приведения подобных членов получим (д-{- I)4 — 7 (а +

1)3+

+ 16 (д -f- 1 )2 — 15 (а + 1) + 6.

З а д а ч а

Сколько

рациональных членов содержится в разло

жении

( / 2 + ^ ) 100?

Р е ш е н и е . Имеем:

ю п —п п

Тп+1 —С”оо (V2)100 п№ ) п = СГ„„2 а за _

408

Так как для рациональности				члена	показатели	100 — п		п
						2	И	3
должны быть целыми числами, то число п
					должно быть кратно 3 и 2,
т. е. кратно 6.		Но 0 < п < 1 0 0 и числа п ,			кратные шести,		будут 0,
6, 12, . . . ,	96.	Подсчитаем	число т	их, получим: 96 = 0 + 6 ( / п —				1),
6 ( т — 1) =	96,	т — 1 = 16,	т = 17.

5.Историческая справка о биноме Ньютона. Разложение выраже

ния ( а + Ь)п в ряд для			целых значений		п	было известно грекам лишь
для случая п = 2. Обобщение				для любого целого			л было сделано
среднеазиатскими		математиками Омаром Хайямом и ал-Кашн. Ал-Каши
пользуется биномом для приближенного						вычисления	корня	любой
степени из целого числа; с этой				целью	он составил таблицу			биноми
альных	коэффициентов.
			1	1		1
		1	I	2		1
		1	3	3		4
	1	1	4	6		4
	1	5	0	10		15
	1	6	15	20		15
Эта	таблица	носит	название т р е у г о л ь н и к а П а с к а л я . В Западной

Европе она впервые была опубликована в руководствах по арифме тике Апиануса в 1527 г. и Штифеля в 1544 г. В 1556 г. Тарталья также опубликовал таблицу биномиальных коэффициентов, причем объявил ее своим изобретением. В 1631 г. исследованием таблицы за

нимался Аутред, изобретатель		логарифмической линейки;	несколько
позже,	в 1654 г., была опубликована работа Паскаля.
В 1676 г. формулу бинома распространил на отрицательные и дроб
ные показатели И. Ньютон, хотя не дал ее доказательства.			Последнее
было	дано Маклореном для	рациональных значений п ,	Эйлером

в 1774 г. для дробных показателей. Наконец, в 1825 г. великий нор вежский математик Нильс Гендрик Абель (1802—1829) доказал теоре му бинома для любого комплексного числа п .

АЛФАВИТНЫЙ

УКАЗАТЕЛЬ

Абсолютная

величина

154

Взаимно

однозначное

соответ

— погрешность

110

ствие

185

степень

Абсцисса 302

Возведение

Аксиома

индукции 369

Вынесение

за

скобки

171

Алгебра 148

сумма

155

Выражения

арифметические

Алгебраическая

158

— форма

комплексного

— алгебраические

числа 377

дроби

173

— дробные

173

189

Алгебраические

— иррациональные

— уравнения 216

— тождественные

161

Алгоритм Евклида 77

— целые 159

Антилогарифмы 329

Вычисления

инструментальные

Аргумент 300

376

арифмометре

— комплексные числа

— на

Арифметика 40

действия

— на логарифмической ли

Арифметические

нейке 345

Арифметическое

значение

— на счетах 65

108

квадратного корня

181

— приближенные

Арифмометр 66

393

Вычитаемое 47

Биквадратное

уравнение

, Вычитание 47

дробей 177

Биллион 45

— алгебраических

Бином 159

— многочленов

163

— Ньютона 405

— одночленов

163

123

Величины

115

— чисел

именованных

—

обратно

пропорциональные

------- комплексных

373

—

132

-------

рациональных

155

переменные 299

-------

систематических

------- зависимые

300

Гипербола

307

------- независимые 300

Граничная

абсолютная

— постоянные 299

погрешность

ПО

— прямо

пропорциональные

— относительная погреш

131

ность

111

410

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3940 / 4140 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ