Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

11.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

В Киевской Руси были широко распространены элементарные

сведения	из области арифметики, включая действия с обыкновенными
дробями,	что доказывается наличием косвенных источников. От
XVII вв.	сохранились рукописи математического содержания, из ана

лиза которых явствует, что познания в арифметике на Руси того вре

мени соответствовали уровню,	достигнутому в Западной		Европе.
В начале XVIII в. появляются и печатные		учебники по арифметике.
Так, в 1703 г. была издана «Арифметика»		Л. Ф. Магницкого,		самая
популярная книга на протяжении	первой	половины XVIII	в.,	кото

рую М. В. Ломоносов называл «вратами своей учености». Этот учеб ник энциклопедического содержания, кроме арифметики, включал элементы геометрии и технических наук. В 1740 г. было напечатано


«Руководство к арифметике»				Л. Эйлера. Во второй половине XVIII в.
вышли	из печати учебники			арифметики,	написанные	академиками
С. К. Котельниковым,		С. Я. Румовским и другими авторами.					Широко
распространены были		в	то	время «Универсальная		арифметика»
Н. Г. Курганова, а также			«Теоретическая		н практическая		арифме
тика» профессора Московского университета Д. С. Аничкова.
В	1866 г. были изданы		«Руководство		арифметики»	н «Собрание

арифметических задач» А. Ф. Малинина и К. П. Буренина, по кото рым учились в русских средних школах на протяжении полустолетня. Во второй половине XIX в. вышли в свет учебники по арифметике Ф. И. Симашко, В. А. Латышева, В. А. Евтушевского и других авто ров. В 1884 г. издана «Арифметика» А. П. Киселева, на которой воспиталось несколько поколений русских, а затем н советских спе циалистов и которую только недавно заменил учебник «Арифметика» И. И. Шевченко.

ЦЕЛЫЕ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

§1. Нумерация

1.Натуральный ряд чисел. Когда пересчитывают какие-нибудь

предметы, называют в строго	определенном порядке числа: о д и н , д в а ,
т р и , ч ет ы р е , п я т ь , ш ест ь и	т. д. Изображают их символами

1, 2, 3, 4, 5, 6, . ..

Эти числа называют н а т у р а л ь н ы м и . АЯюжество натуральных чи сел, упорядоченных в строго определенной указанной выше последо вательности, называют натуральным рядом чисел, или короче н а т у р а л ь н ы м р я д о м .

То из двух натуральных чисел, которое в натуральном ряде ближе стоит к 1, т. е. которое при счете появляется раньше, назы-

Число					Устная	нумерация
Число	Болгарская	Польская		Чешская	Сербо	Латышская
					хорватская
1	един	jeden		jeden	jedan	viens
3	два	dwa		dva	dva	divi
3	три	trzy		tfi	tri	tris
4	четирн	cztery		dtyfi	cetiri	Cetri
5	пет	рще		pet	pet	pieci
6	шест	szesc		Sest	sest	segi
7	седем	siedem		sedm	sedam	septini
8	осеы	osiem		osrn	osam	astoni
9	девет	dziewiqc		devet	devet	devini
10	десет	dziesiqc		deset	deset	desmit
20	двадесет	dwadziescia		dvacet	dvadeset	divdesmit
30	тридесет	trzydziesci		tricet	tri deset	trisdesmit
40	четнридесет	czterdziesci		Ctyricet	cetrdeset	Cetrdesmit
50	петдесет	piqcdziesiqt		padesat	pedeset	pieedesmit
60	шестдесет	szescdziesiqt		sedesat	sezdeset	sesdesmit
70	седемдесет	siedemdziesiqt		sedmdesat	sedamdeset	septindesmit
80	осемдесет	osiemdziesiqt		osmdesat	osam deset	astondesmit
90	деветдесет	dziewiqcdziesiqt devadesat			devedeset	devindesmit
100	С Т О	sto	j	sto	sto	simts
1000	хиляда	tysiqc	j	tisfc	tisuca	tukstotis

вается меньшим, второе число— большим*. Следовательно, в нату ральном ряде каждое число, кроме 1, больше предыдущего. 1 _наи меньшее натуральное число, но наибольшего натурального числа нет Какое бы ни было большое натуральное число, существует еще боль шее следующее за ним натуральное число. Натуральный ряд беско-


лТхимед П0Казал		еще в 111 “•		Д°	“ •	э- древнегреческий			математик
г _ , „ прнведеш'ые иыше			0П,,са1ШЯ	"сльзя		считать		строгими определениями
С т р о г и е	определения э т и х		понятии очень		сложны		(с м .	«Энциклопедия элеыеи-
т а р н о й	м а т е м а т и к и » , 1,	Г о с т е х и з д а т . М .,			1951,	с т р .	133, М 2 и д р )		U

								Таблица			1
некоторых народов
		Англии-		Немец-		Французская			Испанская
unus		one		ein		un			uno
duo		two		zwei		deux			dos
tres		three		drei		trois			tres
quatluor		[our		vier		quatre			cuatro
quinque		five		fflnf		cinq			cinco
sex		six		sechs		six			seis
septem		seven		sieben		sept			siete
octo		eight		acht		huit			ocho
novem		nine		neun		neuf			nueve
decern		ten		zehn		dix			diez
viginti		twenty		zwanzig		vingt			veinte
triginta		thirty		dreizig		trente			treinte
quadraginta		fourty		vierzig		quaranfe			cuarenfa
quinquaginta		fifty		funfzig		cinquante			cincuenta
sexaginta		sixty		sechzig		soixante			sesenta
septuaginta		seventy		siebzig		soixante-dix			setenta
octoginta		eighty		achtzig		quatre-vingt			ochenta
nonaginta		ninety		neunzig		quatre-vingt-dix			noventa
centum		hundred		hundert		cent			cien
mi lie		thousand		Tausend		mille			mil
2.	Устная	нумерация.		При	помощи слов «один»,				«два», «три»,
«четыре», «пять», «шесть»,				«семь»,		«восемь», «девять»,			«десять», «со
пок»	«сто», «тысяча», «миллион»,					«миллиард», определенным спосо
бом комбинируя их, можно назвать очень							большие числа,			встречаю
щиеся	в практике.		у	большинства			народов появилась				очень
Устная нумерация			у	большинства			народов появилась				очень
давно. О большом сходстве названий чисел у								разных европейских
народов см. табл. 1.											__
3	Письменная нумерация. Для записи натуральных чисел исполь
зуют	символы	0, 1, 2,	3, 4,		5, 6, 7, 8,		9. Их	называют		цифрами.

С помощью этих десяти цифр можно записать любое натуральное число.

П р и м е р .	327 — триста двадцать семь, 1002 — тысяча два.
Такая экономная запись чисел достигается благодаря применению
принципа поместного значения цифр.		В зависимости от занимаемого
цифрой места она может обозначать		то одно, то другое число. Так,
в приведенном	выше примере цифра 2 в первом случае обозначает
двадцать, а во	втором — два.

Первая, вторая, третья и т. д. цифры числа, если считать справа


палево, называются	соответственно	цифрами	единиц, десятков, сотен
и т. д. Их называют еще единицами		первого,	второго,	третьего ит. д.
разрядов. Например, в числе 7194 имеется 4			единицы	первого, 9 еди
ниц второго, 1 единица третьего		и 7 единиц четвертого			разрядов.
Цифрой «0» — нуль	обозначают отсутствие		единиц того		или иного

разряда. Десять единиц какого-нибудь разряда составляют одну еди ницу следующего высшего разряда. Поэтому говорят, что мы поль зуемся десятичной системой счисления. /

Десятичная система счисления возникла в глубокой древности. Люди стали пользоваться ею потому, что привыкли считать десят ками, имея на руках десять пальцев. Однако некоторые пароды в свое время создали и нсдесятичные системы счисления (см. стр. 79).

Принцип поместного значения цифр и начертания цифр (правда, несколько отличные от современных) возникли в Индии только в на

чале и. э.	В Европе они стали		известны благодаря		книге	«Арифме
тика Индорум»,		которую написал		хорезмский математик		Мухаммед
ибн Муса.	Она	была написана	на	арабском языке	и поэтому стали

называть эти цифры арабскими. Позже, узнав, что Мухаммед в основу имеющейся в книге нумерации положил практику вычислителей Индии, стали называть эти цифры индийскими.

В России с индийской нумерацией познакомились только в ХШ в. До этого числа обозначали старославянскими буквами, только сверху писали специальные значки »* Стнтло):

т4	в	т4 Y4 г1 г4 г4 г1								И
4	в	г		А	е	S	3		и	е
	2	3		4	5	6	7		в	9
Т4	и	г4		м	т4	I4	г4 V4			V4
1	и	л		м	Н	§	0		п	Ч
10	20	30		40	50	60	70		60	90
г*	г*	-щ-4 Г*"			?	г4	$		W	т4
р	с	т		У	?	X	$		W	Ц
100	200	300	400		500	600	700	800		900
Тысячи обозначали		теми		же	буквами, но				впереди ставили		зна
чок # . Например,	числа 7205, 1963					записывали			соответственно		так:

* з е е , * < i u l r

В некоторых случаях еще и сейчас пользуются римскими циф рами. Римская система нумерации состоит из семи знаков:

100

500

1000

При этом, если

меньший

знак

пишется после большего, то его

прибавляют к большему

числу; если

же перед большим — вычитают,

например:

8 — VIII,

24 — XXIV,

26 — XXVI,

46 — XLVI,

176 —

CL XXVI,

1963 — MCMLXIII.

но рассматривали его

Целые числа.

О нуле мы уже упоминали,

только

как

цифру (знак),

а не число.

Однако

в математике

принято

рассматривать нуль не только как цифру, но и как число.

0 — число не натуральное. Нуль меньше 1 и любого натурального числа. Если разместить нуль и все натуральные числа в порядке возрастания, получим:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .

Эту последовательность чисел называют расширенным натуральным рядом.

Все натуральные числа и нуль называются вместе целыми неотри цательными числами. Но так как в арифметике обычно отрицательных чисел не рассматривают, здесь их называют просто целыми числами*.

5. Названия больших чисел. Для удобства чтения и запоминания больших чисел их цифры разбивают на классы: справа отделяют три цифры— первый класс, следующие три — второй класс и т. д. Послед ний класс может иметь три, две или одну цифру. Между классами

обычно оставляют небольшие промежутки. Например, в числе 2 365 423

первый класс дает	число	единиц,		второй — число	тысяч и третий —
число миллионов.	Сообразно с этим записанное число читают так: два
миллиона триста шестьдесят пять тысяч четыреста двадцать три.
Единицы четвертого,		пятого,		шестого и т. д.	классов называют
соответственно:
миллиард или биллион — 1 000 000 000,
триллион		—	1000 000 000 000,
квадриллион		—	1000 000 000 000 000,
квинтиллион		—	1 000 000 000 000 000 000,
секстиллион		— 1000 000 000 000 000 000 000,
септиллион		—	1 000 000 000 000 000 000 000 000.

* В а л г е б р е ц е л ы м и ч и с л а м и н а з ы в а ю т в с е н а т у р а л ь н ы е ч и с л а , н у л ь и в се ц е л ы е о т р и ц а т е л ь н ы е ч и с л а : — 1, — 2, — 3 и т . д .

Эти названия возникли сравнительно недавно. Существующее

сейчас в большинстве европейских			языков	выражение «миллион» —
10°	возникло в Италии в XIII	в.*.	Термины «биллион», «миллиард»
и т.	и. возникли в XVI—XVII	вв.,	по до	сих пор имеют различное

(в разных языках) значение. Миллиард обычно означает. 10°, но то же значение имеет в США и во Франции биллион, тогда как в Германии биллион означает 1012. Триллион в США и во Франции означает 1012, а в Англии и Германии— 1018. В русских математических рукописях встречаются наименования больших чисел, возникших, по-видимому, не раньше XII в.: тьма— 10°, легион— 1012, леодр — 10м , ворон —

1048, колода — 1049.

§2. Арифметические действия

1.Понятие арифметического действия. Ёсли по двум данным чис лам определяют третье число, удовлетворяющее некоторым условиям,

то этот процесс в математике вообще

называют д е й с т в и е м .

В арифметике

рассматривают следующие действия:

сло ж е н и е , вы

ч и т а н и е ,

у м н о ж е н и е и д е л е н и е

называют а р и ф м е т и ч е с к и м и

д е й с т в и я м и .

2. Сложение. С ло ж е н и е м

н а п и /р а л ь н ы х

ч и с е л

н а зы в а ю т

а р и ф м е

т и ч еск о е

д е й с т в и е ,

п р и

п о м о щ и

к о т о р о го

у з н а ю т

ч и с л о ,

сод ер ж а щ ее

с т о л ь к о

е д и н и ц , с к о л ь к о

и х

ест ь

д а н н ы х

ч и с л а х

вм ест е .

а резуль

Числа, которые нужно сложить, называют с л а г а е м ы м и ,

тат сложения, т. е. число,

получающееся

от сложения,

называют

с у м м о й .

11 +

9 =

20.

Здесь

и 9 — слагаемые, 20 — сум

Н а п р и м е р :

ма. Знак сложения -j- (плюс) ставится между слагаемыми.

Однозначные ** числа складывают, пользуясь т а б л и ц е й

сло ж е н и я :

1 +

1 =

2 ,

2 + 1 = 3

и т. д.

Эту таблицу дети запоминают еще в первом классе.

«в столбик»,

Сложение многозначных

чисел

удобней

выполнять

записывая слагаемые числа

так, чтобы единицы были

против еди

ниц, десятки против десятков

и т.

д.,

например

. 29 327

'''4 398 186

4 427 513

*10“ = 1 000 000. Вообще ЮД обозначает число, записанное единицей с п последующими нулями.

** О д н о з н а ч н ы м и , д в у з н а ч н ы м и н т. д. называют числа, записанные одной, двумя н т. д. цифрами. Число, записанное несколькими цифрами, называют также м н о го зн а ч н ы м .

Сложение натуральных чисел всегда в о зм о ж н о и о д н о з н а ч н о , т. е.,
какие бы числа в качестве слагаемых пн брали,	всегда можно найти
их сумму и эта сумма должна быть для каждых	данных	чисел одна
и та же.		например
Прибавление к числу нуля не изменяет этого числа,
12+ 0 = 12; 0 + 1 2 = 12; 0 + 0 = 0.
П р и м е ч а н и е. Древнейшим приемом сложения целых чисел

было сложение слева направо; результат записывался сверху. Джон Голнвуд (Сакробоско) ввел сложение справа палево; впоследствии этот прием распространился по всей Европе. Знак сложения + (плюс) возник не ранее XV в. По-видимому, он образовался путем стили зации латинского союза «е!» (и). Тогда же появился и термин «сум ма» в смысле результата сложения.

В России вместо «сложение» в XVII—XVIII вв. иногда приме нялся латинский термин «аддиция».

3. Вычитание. В ы ч и т а н и е м н а зы в а е т с я д е й с т в и е , п о с р е д с т в о м к о т о р о го п о д а н н о й с у м м е и о д н о м у д а н н о м у с л а г а е м о м у о т ы ск и ва ет ся д р у го е сла га ем о е . Таким образом, число, которое при сложении является искомым, при вычитании оказывается данным, и наоборот.


Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению.			Число,
Число, из которого вычитают,		называется ум е н ь ш а е м ы м .
которое вычитают, — вы ч и т а е м ы м .		Число, которое получается в ре
зультате вычитания, называется р а зн о с т ь ю .
П р и м е р . 30 — 1 2 = 1 8 .	Здесь 30 — уменьшаемое, 12— вычи
таемое, а 18 — разность. Знак	вычитания минус (—) ставится		между

уменьшаемым и вычитаемым.

Вычитание в множестве натуральных чисел выполнимо лишь при условии, когда уменьшаемое больше вычитаемого. При этом разность Еыражается всегда определенным единственным натуральным числом.

П р и м е ч а н и я : а)

Вычитание

нуля из числа

не изменяет этого

числа,

например,

8 — 0 =

равно

вычитаемому,

то

разность равна

б)

Если

уменьшаемое

нулю. Например,

9 — 9 =

является прием,

при

котором

Подобно сложению более старым

вычитание ведется

слева

направо.

Прием этот применялся в Запад

ной Европе

почти до XV в. Знак минус (—) появился

учебниках

арифметики

в XV

в. одновременно со знаком

плюс (+ ).

Латинское

название действия

вычитания («субстракцио»)

применялось

и в Рос

сии в начале XVIII в.

Умножение.

У м н о ж е н и е м

н а т у р а л ь н ы х

ч и с е л

н а зы в а е т с я д е й

с т в и е ,

со ст о ящ ее

н а х о ж д е н и и

с у м м ы

о д и н а к о в ы х

с л а га е м ы х .

Напри

мер, если

число

5 нужно

повторить

слагаемым

раз,

то пишут:

5 X 7 = 35,

и говорят, что

нужно 5

умножить

на 7:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 X 7.

Можно сказать

иначе: умножить одно натуральное число на дру

гое— значит

взять

первое

число

слагаемым

столько

раз, сколько

единиц,

во

втором числе. При этом то число,

которое повторяется как

слагаемое,

называется

м н о ж и м ы м ,

число, показывающее, сколько бе

рется

таких

одинаковых слагаемых, — м н о ж и т е л е м ,

а число,

полу

ченное

в результате

умножения — п р о и з в е д е н и е м . Так-,

в нашем при

мере, 5 — множимое,

7 — множитель, 35 — произведение. Множимое

и множитель

называются также с о м н о ж и т е л я м и .

н множителем.

Знак умножения

( х ) ставится между

множимым

В качестве

знака умножения

часто употребляется точка (•),

напри

мер 3 - 5 =

15.*

а) Если одни из двух сомножителей равен еди

П р и м е ч а и и я:

нице, то произведение

равно

второму сомножителю,

например

1 - 5

10 • 1 =

10.

б)

Если хоть

один

сомножитель

равен ’нулю,

то и произведени

равно нулю:

0 ■342 = 0;

37 ■0 = 0;

0 - 0 = 0.

Исторические сведения об умножении натуральных чисел. В древ

ней Индии

умножение начинали с высших

разрядов,

т. е. слева на

право. Способ умножения справа налево был выработан, по-видимому,

не раньше

XV в.

Знак умножения ( х ) был предложен в первой половине XVII в. Точка, как знак умножения, появилась в XV в. Название действия, принятое в большинстве европейских языков и встречающееся также у старых русских авторов, «мультипликацно» применялось еще в древ нем Риме.

Среднеазиатскими учеными был разработан способ умножения решеткой, который применялся также и в Западной Европе. Напри мер, при умножении числа 25 на 36 эти числа записывали около сторон прямоугольника, который делился горизонтальными и верти кальными чертами на несколько частей (в зависимости от числа раз рядов;. Полученные меньшие прямоугольники делились пополам диа гоналями, идущими снизу вверх направо. Результат поразрядного умножения записывался внутри маленьких прямоугольников, начиная


с	нижнего ряда так, что высший					разряд	стоял		над		диагональю,
а	низший — под ней.		Умножаем		сначала		25	на 6		и произведение
записываем в нижнем ряду прямоугольника:							5 - 6 = 30,				нуль пишем
в	нижнем	правом прямоугольнике				под диагональю,				а	3 над ней;
2 • 6 = 12;		2 записываем		во втором		справа	нижнем		прямоугольнике
под диагональю (т. е.			в	разряде	десятков),		а	I — над			диагональю
(в	разряде сотен). Затем			умножаем		25 на 3	и аналогично				записываем

* Перед буквенными сомножителями знак умножения не стаг.ят. См. стр. 158.

произведение в верхнем ряду, после чего соответствующие разряды, складываем по диагоналям:

Интересный также д р е в н е р у с с к и й

способ у м н о ж е н и я .

При умноже

нии этим способом один из сомножителей последовательно делим по

полам (остаток отбрасывается),

а второй удваиваем. Потом склады

ваем числа второй последовательности, соответствующие нечетным

числам первой

последовательности.

П р и м е р .

44 х

35 = 140 +

2 8 0 +

1120 =

1540

140

280

560

1120

Древнерусский способ умножения применяется сейчас на счетных

машинах.

Оказывается, что умножение этим способом на некоторых

машинах

выполняется

в 2—2,5

раза

быстрее,

чем умножение на

тех

же машинах способом последовательного сложения*.

Деление. Д е л е н и е м

н а зы в а е т с я

д е й с т в и е , п о с р е д с т во м

ко т о р о го

п о д а н н о м у п р о и з в е д е н и ю д в у х с о м н о ж и т е л е й и о д н о м у и з э т и х со м н о

ж и т е л е й о т ы с к и в а е т с я д р у г о й со м н о ж и т е л ь .

число

на которое

Число, которое делят,

называется д е л и м ы м ;

делят,— д е л и т е л е м ; число,

которое

получается

результате деления,

называется ч а с т н ы м ,

или отношением **.

Здесь

40 — делимое,

8 —

Деление записывается

так:

40 : 8 = 5.

делитель,

а 5 — частное. Знак

деления: (двоеточие)

ставится между

делимым

и делителем.

является

искомым,

при делении

Число, которое при умножении

оказывается данным,

и наоборот.

Поэтому деление

называется дей

ствием, обратным умножению.

*■ П. Г.

Х о м е н к о .

Умножение на

счетных машинах,

Машгнз, М.,

1962.

** См.

стр.

125.

П р и м е ч а н и я : а) Если делимое рапио делителю,				то частное
равно единице, например		14 : 1 4 = 1.
б) Если делитель равен единице, то частное равно делимому,
например 14 : 1 = 14.			какое-либо число,	отличное от
в) Частное от деления нуля на
нуля, равно	нулю, например 0 : 12 =		0.
г) Деление па нуль невозможно.			всегда выполнимо.	Например,
Деление	натуральных	чисел не

нельзя разделить 30 па 7, ибо нет такого натурального числа, кото рое при умножении на 7 давало бы 30.

7. Деление с остатком. Как видим, разделить 30 па 7 (в указан ном выше смысле) невозможно. Но в жизни встречаются ситуации, которые требуют распространить деление натуральных чисел и на такие случаи, например, разделить 30 тетрадей между 7 учениками поровну.

Поэтому рассматривают также д е л е н и е с о с т а т к о м .

П р и м е ч а н и е . Чтобы не смешивать деление с остатком с рас смотренным выше арифметическим действием делением, последнее назы вают еще делением без остатка или делением нацело.

Деление с остатком — есть отыскание наибольшего целого числа, которое в произведении с делителем дает число, не превышающее делимое. Искомое число называется н е п о л н ы м ч а с т н ы м . Разность между делимым и произведением делителя па неполное частное

называется о ст а т ко м -,			он всегда меньше делителя.	3	при умно
П р и м е р .		19 не делится нацело на 5. Числа 1, 2,
жении	на 5 дают 5, 10, 15, не превосходящие делимого			19,	но уже 4
дает в	произведении		с 5 число 20, большее 19. Поэтому неполное
частное будет 3,		а остаток — 4 (разность между 19 и произведением
3 • 5 =	15) ; 19 =	5 • 3	+ 4 .
Для натуральных			чисел точному делению (делению без остатка)

и делению с остатком можно дать следующее общее определение: раз делить число а (делимое) на число b (делитель)— значит найти такие два числа q (частное) и г (остаток), которые удовлетворяли бы соот

ношениям:		п = bq + г, 0 •< г < 6.
Если делитель						возможно
	Ь	не равен	нулю,	то	деление всегда
и дает единственный результат.			число		может быть любое	из чисел
Остатком при	делении на			Ь
О, 1, 2..........6 — 1.		В древности деление считалось самым труд
П р и м е ч а н и е .

ным действием, которым мог овладеть не каждый. Причиной этого был очень громоздкий прием деления, который был занесен в Западную Европу вместе с арабскими учебниками и применялся до XVIII в. Способ, который является в настоящее время общепринятым, был разработан итальянскими учеными в XV в. Название действия, обще

принятое в западноевропейских

языках

применявшееся

в России

вплоть до

первой половины XVIII в., — «дивизио»,

заимствовано

из

латинского

языка. Знак деления (:) был принят в XVII в.

именно

Возведение в степень.

Частный

случай

умножения,

умножение

одинаковых чисел, называют во звед ен и ем

в с т е п е н ь .

Если,

например,

надо

перемножить 5

одинаковых

чисел,

каждое

из кото

рых равно

говорят:

надо число возвести в пятую степень.

И вместо

2 • 2 ■2 ■2 • 2 пишут 2В.

третью,

четвертую и т.

д.

степень

Возвести число во вторую,

значит взять

его

сомножителем

соответственно два,

три, четыре и т. д.

раза *. Число,

повторяющееся

сомножителем,

называется о с н о ва н и е м

ст еп ен и ', число, указывающее,

сколько

раз берется

одинаковый

мно

житель, называется

п о к а з а т е л е м

с т е п е н и ,

результат — ст еп е н ь ю .

Запись:

53 =

5 • 5 • 5 = 125;

здесь

5 — основание степени,

3 —

показатель

степени,

125— степень.

к в а д р а т о м , третья

степень —

Вторая

степень

называется

иначе

к у б о м . Первой

степенью

числа

называют само

это

число,

например

71 = 7.

§ 3. Свойства арифметических действий

Свойства

сложения,

а) П е р е м е с т и т е л ь н ы й

з а к о н

с л о ж е н и я .

С у м м а

н е

и з м е н я е т с я о т

п ер ем ен ы

м е с т

сла га е м ы х .

Переместительный закон

в обшем

виде записывается равенством:

а +

6 = 6 +

а,

где а — первое слагаемое, Ь — второе слагаемое.

П р и м е р ы :		3 —(—5 =	5 -{—3;
		4 + 0 =	0 +	4.
б) С о ч е т а т е л ь н ы й з а к о н с л о ж е н и я .					С у м м а н е и з
м е н и т с я ,	е с л и к а к у ю -н и б у д ь			г р у п п у р я д о м с т о я щ и х с л а га е м ы х з а м е
н и т ь и х	с у м м о й .	В общем		виде это свойство для	трех слагаемых

записывается так:

а + i> + с = а + (6 + с).

П р и мер . 3 5 + 15 + 20 = 35 +-(15 + 20).

Переместительный и сочетательный законы называют также соот

ветственно к о м м у т а т и в н ы м и а с с о ц и а т и в н ы м законами.
м е.	в) П р и б а в л е н и е с у м м ы к ч и с л у и ч и с л а к с у м -
м е.	Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких		чи
сел	(или наоборот), достаточно прибавить к этому числу одно слагае
мое,	к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т.	д.
	* О возведении в отрицательную, нулевую н дробную степени	см. стр.	210.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 414 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ