книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

Решив их, найдем, что

уравнение

л'3 — 1 = 0

имеет следующие

три корня:

Л'! = 1,

х.

- 1

±

/ / з

2

б) Разделив обе части данного уравнения на 16, получим

Пусть

тогда

г« +

1 = 0.

Это уравнение можно решать несколькими способами.

П е р в ы й с п о с о б *.

24 =

—1,

23 = ± ( ,

г,.,-/ ;-± [К т + ‘У 1 ]-*т И + о .

г ,. , - V - l = ± [ j /

у

-

‘V г ] - ± ^т<1-

В т о р о й с п о с о б .

2 -4 - 1 = о, г4 + 2г3 +

1 — 2г3 =

0,

(г3 +

I)3 — 2г3 = 0,

г3 -|- 1 — У 2 г =

0

и г3 +

1 + ]/2

г =

0,

откуда

=

^2 ±:L

=

_ V 2

± ] / у ~

1= _ ¥

(|

*'*•

2

рое входят только четные

степени

неизвестного,

называется

б и к в а д ­

р а т н ы м . Его записывают так:

а х 4 + Ь х2 + с = 0.

Это уравнение

приводится

к

квадратному

при

помощи замены х 2 =

— г; имеем a z 2 -j- b z -j- с

—

0.

Формула

решений

биквадратного урав­

нения такова:

х

= ±

— Ь ± У

Ь2 ■— 4 а с

2а

~

Она дает четыре корня биквадратного уравнения, а именно:

— b 4 - У Ь2 — 4ас

х 2 — — j

Ь + У ь 2 — 4 а с

*i — +

2а

2 а

V

— Ь — У Ь2 — 4ас

/ -— Ъ — У ь 2 — 4с

х з — +

2а

** = - ] /

2а

П р и м е р .

Решить уравнение х4 — 13.V2 +

36 =

0.

Р е ш е н и е. х 2 = z .

Получаем

уравнение

г2 — 1 Зг -J- 36 = 0-

Тогда

Zx = 9, z2 = 4 .

Из

равенства

х 2 =

г,

подставляя вместо г най­

денные числа 9

и 4,

получаем следующие

четыре

решения

данного

уравнения: х 1 -

3, х 2 =

—3, х 3 = 2,

х 1 — —2.

называются уравнения

5.

Трехчленное

уравнение.

Т р е х ч л е н н ы м и

вида:

а х 2п + Ьхп -)- с — 0

(частный случай такого уравнения

при п

=

2 есть биквадратное урав­

нение).

Трехчленное уравнение с помощью замены х п = z приводится

к квадратному уравнению

откуда

a z 2 -j- b z -|- с = 0,

*1

— b — У Ь2 — 4ос

г2

— Ь ± У Ь 2 — 4ас

2а

2а

Подставив в равенство х п

— z вместо г

его

значения г ±

и г 2, по­

лучим два двучленных уравнения п -й степени:

— b — У Ь2 — 4 а с

— Ь + У Ь2 — 4пс

2а

’

2 а

Решив, если возможно,

эти двучленные уравнения, мы

получим

все решения данного трехчленного

уравнения.

П р и м е р .

Решить

уравнение л° — 9а3

+ 8 =

0.

Р е ш е н и е .

А'3 =

г ,

" г2 — 9г +

8 =

0.

Тогда

гх =

8 и г2 = 1;

следовательно,

а 3 = 8

и

а 3 = 1.

получим шесть

Решив эти двучленные уравнения третьей степени,

значений для а :

= 2, А . = — l + t / з ,

А3 = — 1 — < 1 / 3 ,

А*4 — 1,

..

- l + i / З

..

- I - / / 3

Лб----------- 2

’

А о _

2

Рассмотренные

выше уравнения называют симметричными уравне­

ниями п е р в о го

р о д а .

Уравнения вида

а х 2к + Ьх2к—1 + с х 2к 2 + . . . - ) - d x k+ 1 + 1хк — d x k~ l -|-

+

. . . +

(— I)* -1 Ьх +

(— \ ) к а

= О

называются с и м м е т р и ч н ы м и

у р а в н е н и я м и

в т о р о го

р о д а . Решаются эти

уравнения тем же методом,

но новое неизвестное у связывается с л

соотношением

П р и м е р .

Решить уравнение

2хв + 5.Г1— 1Зх3 — 1 Зх2 + 5х + 2 = 0.

2.Г1 + За3 —

16.V2 _|_ За +

2 =

0,

или

2 г

+

i

+ зи +

Полагая

у = х + ~

, получим

2 ( у а — 2) +

З у — 16 = 0,

откуда

y i — —4, у о

= 2,5.

х2

4.V

1

= 0

и 2л-2 — 5.V + 2 =

0.

Следовательно,

О т в е т .

Л"! =

—1,

-v2, з =

—2 ± У З,

л-4 =

2,

л-6 = ~ .

СОЕДИНЕНИЯ

И БИНОМ

НЬЮТОНА

§

49.

Соединения

1.

Множества.

Теория

соединений, или, как ее еще называ

к о м б и н а т о р и к а , — это

раздел

элементарной алгебры, где изучаются

некоторые операции над

конечными

множествами и решаются задачи,

связанные с этими операциями.

понятий

Понятия м н о ж е с т в а — одно из неопределяемых основных

в математике. С этим понятием

встречаемся во всех ее разделах. Так,

в арифметике рассматривают множество натуральных

чисел, множество

простых чисел; в алгебре — множество

многочленов,

корней

данного

уравнения и т. п. Объекты, составляющие множество,

называются э л е ­

м е н т а м и

этого множества.

Множество,

состоящее из

конечного числа

элементов,

называется

к о н е ч н ы м . Такими множествами являются мно­

жество всех двузначных

чисел,

множество вершин данного многоуголь­

ского fa c to r , что значит множитель.

1 - 2 - 3 ,

остается

одно

П р и м е ч а н и е .

При п = 1 в выражении

число 1.

Поэтому принимается (в

качестве

определения), что

1! =

1. При п =

0 выражение 1 - 2 , . . . , « возсе

лишается

смысла.

Однако принимается (в качестве определения),

что 0! = 1.

Итак, Р п =

п \

Верна также

следующая формула:

Р-п = я • Р „ - \ -

П р и м е р .

Каким

числом способов

можно

рассадить 8

зрителей

в ряду из 8 мест?

=

40 320-

Р е ш е н и е .

Р8 = 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8

состоя­

3. Сочетания

(комбинации). Пусть

имеем множество М ,

= 0, 1,

2,

л),

называется с о ч е т а н и е м или к о м б и н а ц и е й

из дан­

ных п элементов по k элементов.

Из

определения следует,

что два различных сочетания из дан­

ных п элементов по k элементов отличаются

по крайней

мере

одним

элементом.

Из

множества

цифр 1, 2, 3, 4 можно образовать такие

П р и м е р .

сочетания

по два

элемента:

1,

2; 1, 3; 1, 4; 2, 3; 2, 4; 3, 4.

Число

различных

сочетаний

из

п элементов

по к

обозначается

символом С д (c o m b in a tio

о т

с о т Ы п а г е

(лат.) — соединять). Но

иногда

вместо С*

пишут

.

Число

всех

сочетаний

из

п элементов по к элементов,

где 1 <

равно

произведению к

последовательных натуральных чисел,

из которых наибольшее есть п ,

деленному на

произведение

последо­

вательных

натуральных

чисел

от

1

до

к

п к

п ( п — 1) (л — 2) . . . (п — k + 1)

п

~

1 - 2 . . . к

Формулу для С п можно записать

в ином

виде.

Умножив

числи­

тель и знаменатель дроби в правой

части ее

на произведение

1 • 2 х

X 3 . . .

(л — к ),

получим

п к

п !

или

п

k \

(я — k ) \ ’

рк

Рд

Л* = п (л — 1) (п — 2) . . . (п —

к + 1),

ИЛИ

л!

Ап

Р п

(л — k)\

Р п —k

П р и м е р .

В

классе 10 учебных

предметов и 5 разных уроков

в день. Сколькими

способами могут быть распределены уроки в день?

Р е ш е н и е .

Всевозможные распределения

уроков в день пред­

по 5; поэтому

всех способов

распределения

должно быть:

А \ а =

10 • 0 • 8 ■7 ■6 =

30 240.

В перестановках,

сочетаниях

и размещениях,

которые

мы выше

рассмотрели,

элементы,

входящие

в них,

не

повторяются,

и поэтому

их называют соответственно перестановками,

комбинациями,

размеще­

ниями без п о в т о р е н и й .

В математике рассматривают также перестановки, сочетания и раз­

мещения

с

п о в т о р е н и я м и .

Этот

материал

с

достаточной

полнотой

изложен

в книге:

С.

И.

Новоселов,

Специальный

курс элементарной

алгебры, нзд. «Советская наука»,

1951, стр. 495—502.

§

50.

Решение примеров и задач на соединения

П р и м е р

1.

Упростить

выражение

„ Р ?■4 - 1— .

Р е ш е н и е .

t

A t r h P z x - n

Р г х + i

_ (2-е -}- 1)1 (2х — л)1 _ п

,

п

(2*

1)! (2*

П)1

(

+

’■

П р и м е р

2.

Решить уравнение

C S

• Р , ~ п

=

по.

_

( х

+

2)! ( х — п ) I

,

_

Р е ш е и и е.

— ;-------- -.— г -±- =

110.

Следовательно,

(.V — л)!.е!

( х

1) ( е

+

2) = 110

или

ха +

3л:— 9 8 = 0 ,

=

—12, jc2 = 9.

СИрииательное

значение х

отбрасываем.

О т в е т ,

х

=

9.