так как
|
c o s 6 0 ° = - i - , |
sin 60° = ^ ? г - |
|
б) Возвести |
в 20-ю степень |
1 |
1/3 |
число г = -g-+ |
|
Р е ш е н и е. |
Записав его в тригонометрической форме |
г = 1 (cos 60° + i sin 60°),
найдем:
г20 = I20 (cos 1 2 0 0 ° + г sin 1 2 0 0 °) = = cos 1 2 0 ° + i sin 1 2 0 ° = — ~ + ^ Q - i.
в) Найти выражение косинуса и синуса угла 3® через косинус
исинус угла tp.
Ре ш е н и е .
|
cos 3? + i sin 3tp = |
(cos tp + |
1 sin tp) 3 |
= |
|
= cos3 tp + 3/ cos2 <p sin со -(- З12 cos tp sin2 tp -f- i 3 sin3 tp = |
= |
cos3 tp — 3 cos tp sin2 tp + |
1 (3 cos2 tp sin <p — sin3 tp). |
Приравнивая действительные и мнимые части, получаем: |
cos 3tp = |
cos3 tp — 3sin2tp cos tp; |
sin 3tp = |
3 cos 2ip sin tp — sin3 tp. |
П р и м е ч а н и е . |
Можно так |
же |
найти cos 4tp, |
sin 4tp и общие |
формулы для sin rttp, cos Я<р. |
|
п -й степени |
из |
комплексного числа |
5. |
Извлечение |
корня. Корень |
извлекается |
с помощью формулы |
|
|
|
|
|
п / — ,-------- т— г —.— |
|
п г - 1 |
? + 2 А т с |
. . |
tp -(- 2 £ я \ |
у т (cos <р + 1 sin tp) = |
у r I cos -1— ------- 1- 1 sin — ---- I . |
Здесь У г арифметический, a k = 0, 1, 2, . . . , п — 1. Корень степени п в множестве комплексный чисел имеет п различных зна чений. Исключение представляет г = 0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю.
Модуль корня я-й степени из комплексного числа равен корню тон же степени из модуля подкоренного числа, а аргумент для каж дого значения корня определяется по формуле
tp + 2 Ы
<РА+х= У- 7^— ,
где k = 0 , 1 , 2 , |
л — 1. |
—> |
|
|
1 у |
— |
ОМ * (рис. 74). Из конца |
М г вектора ОЛ4х |
проведем вектор M LM , |
равный вектору О М * , |
т. е. |
такой, |
который |
имеет с вектором О М * |
одинаковую длину и |
направление. |
Тогда вектор О М даст геометри |
ческое изображение суммы zx + z2. |
Если векторы О М х и О М * лежат |
на одной |
прямой, |
то и вектор О М |
лежит на той же прямой (рис. 75 |
и 76). |
|
|
|
Построенный вектор О М называется суммой векторов О М у и О М *. |
Итак, |
с у м м а |
д в у х к о м п л е к с н ы х |
ч и сел п р е д с т а в л я е т с я с у м м о й в е к т о р о в , и з о б р а ж а ю щ и х о т д е л ь н ы е с л а га е м ы е .
Сумма трех (и большего числа) комплексных чисел также пред ставляется суммой векторов, изображающих отдельные слагаемые.
Вычитание. Пусть требуется вычесть число z2 = а* + b*i из числа
z i — °i + byi. Числу Zj |
геометрически соответствует вектор O M lt |
а числу z2 |
— вектор |
О М г |
(рис. 77). Чтобы получить вектор, соответ |
ствующий |
разности |
Z j— г*, преобразуем эту разность: zt — z2 = |
= 4 + (—Зг). Точка |
М 3, |
соответствующая (—г2), получается из точки |
г-, посредством преобразования симметрии относительно начала 0.
Тогда вектор О М |
соответствует числу z2— г(. . |
|
Построенный |
вектор |
О М называется |
разностью векторов ОМ « |
и О М |
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, р а з н о с т ь |
д в у х |
к о м п л е к с н ы х ч и с е л |
п р е д с т а в л я е т с я |
р а з н о |
ст ью д в у х в е к т о р о в , |
и з о б р а ж а ю щ и х у м е н ь ш а е м о е и вы чи т а е м о е . |
Умножение. |
Чтобы построить |
вектор О М , |
соответствующий про |
изведению Z(Z2, |
где гх = г (cos <рх + |
i sin <рх) |
и г2 = r2(cos ш2+ |
‘ sin ср2), |
достаточно вектор О М х, соответствующий числу z lt повернуть на угол ю2 и подвергнуть его преобразованию растяжения (или сжатия,
если |
г2 < |
1) |
в г2 раз |
(рис. |
78). |
|
|
|
|
|
|
|
|
угол |
Если |
|
г2 = 1, |
то |
вектор |
O M t |
можно будет только повернуть на |
<р2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Деление. Так |
как деление — = |
г можно |
представить |
как умно- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z n |
|
|
|
|
|
|
|
жение z 1 |
• |
— , то |
способ построения |
вектора |
О М , |
соответствующего |
|
|
|
Z n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числу г, |
будет следующий: |
|
вектор |
О М ь соответствующий |
числу г ъ |
достаточно |
повернуть |
на |
|
угол |
<р2 |
и |
подвергнуть |
операции |
сжатия |
(или |
растяжения, |
если |
г2 < |
1) в г2 |
раз (рис. 79). |
л, = 1, |
то |
вектор |
|
Здесь |
г2 |
и <р2 — модуль |
и |
аргумент z2. |
Если |
0 М 1 только |
повернется |
на |
угол |
ср2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Извлечение корня. |
Если |
z = |
г (cos ср -)- i sin ср), то . |
|
|
|
|
|
|
п/— |
= |
nr |
|
I |
c o |
ф “1 2kiz |
, |
. . ср -j- |
j , |
|
|
|
|
|
|
/ z |
/ r ( |
|
s ^ |
---- |
+ |
i s i n L - — |
|
|
где |
k — 1, |
2, |
3...........n — 1. |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда следует, что все п различных значений величины y f г
имеют один и тот же модуль у' | г |, а аргументы двух значений у г,
соответствующие |
соседним значениям k |
{к и /г + 1), |
отличаются |
один |
от другого на |
2тс |
|
|
т о ч к и , |
со о т в е т с т в у ю щ и е |
з н а ч е н и я м |
— и поэтому |
у г , я в л я ю т с я в е р ш и н а м и п р а в и л ь н о г о п - у г о л ь н и к а , |
в п и с а н н о г о в о к |
р уж н о ст ь р а д и у с а y r J T J с ц е н т р о м в |
|
|
|
|
н а ч а л е к о о р д и н а т . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Способ построения точек, соот |
|
|
|
|
ветствующих |
значениям |
у г , |
таков |
|
|
|
|
(рис. 80). Из начала координат, |
как |
|
|
|
|
из центра, описываем окружность, |
|
|
|
|
радиус |
которой |
равен |
у / |
| г |. |
|
Про |
|
|
|
|
ведя из начала координат луч, на |
|
|
|
|
правленный к положительному направ |
|
|
|
|
лению |
действительной |
оси |
под углом |
|
|
|
|
в и раз меньшим, |
чем угол, образо |
|
|
|
|
ванный с тем же направлением |
луча, |
|
|
|
|
идущим из начала координат в точку |
|
|
|
|
г, мы |
найдем |
на |
окружности |
точку, |
|
|
|
|
соответствующую |
значению у/ г |
при |
|
|
так, |
чтобы |
k = 0 . |
Вписав |
в |
окружность |
правильный n-угольник |
одной из его вершин была найденная точка, мы построим точки, соот ветствующие остальным значениям корня.
§ 47. Исторические сведения о комплексных числах
Числа, впоследствии получившие наименование комплексных, впервые появились в одной из задач Д. Кардано. Назвал он их «со фистическими» числами, желая этим подчеркнуть их парадоксаль
ность: считалось, |
что корень квадратный из отрицательного |
числа |
не имеет смысла, |
и в то же время произведение двух таких |
корней |
оказалось вполне реальным числом. |
|
Начало применению комплексных чисел в математике положили |
Г. Лейбниц и И. Бернулли. Лейбниц утверждал, что логарифмы отри
|
|
|
|
|
|
|
цательных чисел |
существуют |
и являются |
комплексными числами. |
И. Бернулли и Даламбер пытались доказать, |
что они действительны. |
Этот спорный вопрос удалось решить Л. |
Эйлеру. Он |
показал, |
что |
логарифмы отрицательных и комплексных |
чисел — числа |
мнимые. |
в., |
В нескольких |
заметках, |
вышедших в первой четверти XVIII |
А. Муавр указал |
на связь, существующую между комплексными чис |
лами и тригонометрическими функциями, и вывел, правда, в неявной форме, свою знаменитую формулу. В явной форме:
(cos <j> ± i sin <р)п = cos mp ± sin пер; |
|
эта формула была выведена Л. |
Эйлером |
в 1748 г. Несколько раньше, |
в 1740—1743 гг., Л. Эйлер |
установил |
основное соотношение, |
связы |
вающее показательную и тригонометрические функции: |
|
e x i |
= |
co s х _|_ i s;n х . |
|
Со второй половины XVIII |
в. началась уже интенсивная |
разра |
ботка вопросов, связанных с |
понятием комплексного числа. Начало |
систематического использования комплексных чисел связано с |
рабо |
тами Эйлера и Даламбера, которые выяснили ряд свойств комплекс ных чисел и их связь с некоторыми задачами геодезии, картографии, гидродинамики.
Однако, несмотря на все достижения теории, математики отка зывались считать комплексные числа реально существующими. Основ ным противоречием была невыясненность самого понятия мнимой единицы: с одной стороны, было известно, что не существует числа, квадрат которого был бы равен — 1, н в то же время действия с та кого рода «мнимыми» числами приводили к правильным результатам. Таким образом, надо было или признать, что комплексные числа являются своего рода условностью, или же найти их истолкование, связанное с объективной реальностью. Подобное геометрическое ис толкование и было найдено в самом конце XVIII в.
Впервые геометрическое изображение комплексных чисел было предложено Г. Кюном, учителем гимназии в Данциге в 1750—1751 гг. Однако только в 1799 г. норвежский математик Гаспар Вессель (1745—1818) дал общее геометрическое истолкование комплексных чисел как точек на плоскости. Существенным было то, что Вессель показал, что все известные до того времени числа являются лишь частными случаями комплексных.
В начале XIX в. над вопросами дальнейшего обоснования теории комплексных чисел работали К. Ф- Гаусс и О. Коши. К- Ф. Гаусс ввел и сам термин «комплексные числа».
§48. Уравнения высших степеней
1.Некоторые общие теоремы. Уравнениями высших степеней н
зываются |
алгебраические уравнения степени |
выше второй. Общий |
вид таких |
уравнений: |
|
|
а 0х п + О!*"-3 Н------Ь а п _ у х -1- а„ |
= 0. |
а) Всякое алгебраическое уравнение п - й степени в множестве
комплексных чисел имеет п |
корней, |
среди которых могут быть и рав |
ные друг другу. |
|
|
|
|
|
имеет |
б ) Если многочлен f |
(а ) = |
а 0Ап + |
т. е. |
1 - |----------- 1- а п _ хх + |
а л |
корень х ъ |
то он делится |
на х — х и |
/ (х) = (х — хх) Q ( х ) . |
Это — |
следствие |
из теоремы Безу: |
о с т а т о к о т |
д е л е н и я м н о го ч л е н а |
f |
(х ) н а |
х — хх р а в е н / ( х х). |
|
|
|
|
|
|
в) Всякий многочлен л-й степени в множестве комплексных чисел может быть представлен и притом единственным способом в виде про изведения двучленов первой степени:
|
f ( x ) — А (а- — х х) т (а — а2)р . . . (а — апу , |
где х ъ |
х2...........х п — корни данного уравнения, а /и + pH---------h г= я . |
г) |
Если уравнение с действительными коэффициентами (а только |
такие и рассматриваются в элементарной алгебре) имеет комплексный
корень а + Ы , |
то оно имеет и сопряженный с ним корень а — Ы: |
Если |
же это уравнение нечетной степени, то оно должно иметь хотя бы |
один |
действительный корень. |
действительными |
коэффициентами имеет |
д) Всякое |
уравнение с |
четное число мнимых корней попарно сопряженных. |
е) Как |
уже отмечалось |
(стр. 257), для |
квадратного уравнения |
а х 2 + |
Ь х + |
с = |
0 справедлива теорема Виета: |
|
Ai + а2 = ---- — ,
где ах и а2— корни уравнения. Вообще для уравнения п-й степени
о0ап + О]а71 |
1 + |
апхп 2 -)— |
• + |
а п _ 1х + |
а п = О |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
*i + х 2 |
+ |
’ • • + |
х п |
— |
----- Г*"" > |
|
а |
|
|
|
|
|
“ о |
|
|
|
|
|
|
|
|
*i |
• х.2.......... а„ = |
(— |
« о |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) Для того чтобы несократимая дробь — была корнем уравне- |
ния с целыми коэффициентами |
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
|
а0хп + |
aiAn_1 |
-------[- ап_ хх + ап = |
О, |
необходимо, |
чтобы р было делителем |
свободного члена ап, a |
q — де |
лителем |
коэффициента а0. |
|
|
|
|
|
з) Если |
уравнение |
имеет целые коэффициенты и коэффициент при |
х п равен |
1, |
то рациональными |
корнями |
могут |
быть только |
целые |
числа. |
|
|
корни уравнения |
с целыми |
коэффициентами являются |
и) Целые |
делителями |
свободного |
члена. |
|
|
|
|
|
В некоторых случаях, используя изложенные выше свойства, |
можно легко |
решать |
уравнения |
высших степеней с целыми коэффи |
циентами. |
|
1. |
Решить уравнение х3 + |
6х2 + И х — 6 = 0. |
|
П р и м е р |
|
р е ш е н и е . |
Так |
как уравнение имеет целые коэффициенты |
и коэффициент |
при х 3 |
равен единице, то целыми корнями могут быть |
только делители свободного члена, т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
I; 2; 3; —1; —2; —3. |
|
|
Проверим, |
нс |
является ли 1 |
корнем данного |
уравнения: |
|
|
|
|
|
/(1) = I3 — 6 • 12+ |
11 ■1 — 6 = |
0. |
|
Тогда на основании теоремы Безу полином в левой части имеет дели
телем х — 1. |
непосредственно разделить левую часть на х — 1 или |
Л1ожно или |
элементарным приемом |
представить в виде произведения: |
х 3 — х - — 5х2 + 5 х + |
6х — 6 = х 2 (л- — 1) — 5х (х — 1) 6 (л- — 1) = |
|
|
= |
{ х — 1)(х2 — 5 х + 6 ). |
Квадратный |
трехчлен |
легко разлагается на множители, следова |
тельно, |
/(х ) = ( х - 1 ) • ( х — 2) • ( х - 3 ) = 0. |
|
Отсюда получаем, что корни данного уравнения будут 1; 2; 3. Некоторые алгебраические уравнения высших степенен можно
решить, сведя их к квадратному.
2. Уравнения, левая часть которых разлагается на множител а правая есть нуль. В этом случае левую часть уравнения разлагают
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на множители, из которых |
каждый — многочлен не выше второй сте |
пени. Тогда |
приравниваем |
пулю |
каждый множитель |
в отдельности |
и решаем полученные уравнения. Найденные корни |
будут корнями |
исходного уравнения. |
уравнение х3 + |
Зх2 — 10х = |
0. |
|
П р и м е р . |
Решить |
множители х |
Р е ш е и и |
е. |
Левая |
часть легко |
разлагается |
на |
и х2+ 3 х — 10 и, следовательно, |
распадается на два уравнениях |
|
|
х = 0 |
и х2 + Зх — 10 = 0, |
|
|
из которых находим три решения:
a'j = 0, л'о == 2, л*д — —5-
Эффективность решения уравнений этим способом зависит от уме ния разложить левую часть уравнения на множители. Проиллюстри руем это на примерах.
П р и м ер ы . Решить уравнения:
a) .v3 -Ь 6 = 7х; |
б ) х3 — 4х2 — 4х — 5 = 0 ; |
в) х3 -|- (й2 — а 2) х + a b 2 = 0; |
г) х4 + 2х3 — 1Зх2 — 14х + 24 = 0. |
Р е ш е н и е . |
|
а)х3 — 7х + 6 = 0; х3 —х — 6х + 6 = 0; (х3 — х) — (6х — 6) = 0;
ха (х — 1) — 6 (х — 1) = 0; (х — 1) (х2 — 6) = 0.
Тогда
х — 1 = 0 и х2 — 6 = 0.
Значит,
-И = 1, ха = ]/"б, х3 = — У б .
б)
х3 — 5х2 + х2 — 5х + х — 5 = 0 ; х2 (х — 5) + х (х — 5) + (х — 5) = 0 ; (х — 5) (х2 + х + 1) = 0 .
Тогда
х — 5 = 0 и х2 + х -|- 1 = 0 .
Значит, |
|
|
А'х = 5, х., 3 = |
2 " ^ |
®£- |
D)
X3 +- й2х — а2х -I- а Ь 2 = 0; (х3 — а2х) -|- (й2х -|- a b 2) = 0:
х (х2 — а2) + й2 (х + а ) = 0; х (х — а) (х + а ) + 62 (х -ф- а ) = . 0; (х + а ) [х (х — а ) + й2] = 0; (х + а) (х2 — ах -|- й2) = 0.
Тогда
х 4- а = 0 и х 2 — а х + й2 = 0.
Значит,
а |
ч Г |
а 2 |
хх = —а, Хо.3 = — ± |
у |
—------й2 . |
