книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

тогда должно быть верным также неравенство

2* +

2* > k 2 + к 2.

Но так

как 2* -|- 2 к

= 2*+1 н при й > 5 к 2 >

2 k +

1, то

из пред­

положения

следует

2*+1 > А а + 2 А + 1 ,

или

2 * + l > ( f t + l)2.

Как видим, если данное неравенство верно при п =

£ >

5, то оно

верно и при п — k + l .

При

п = 5 оно верно.

Следовательно, это

неравенство справедливо

при всех натуральных

5.

введения чисел новой

природы. Эти новые числа называют мнимыми.

Число, удовлетворяющее равенству х 2 =

—1, обозначают буквой i,

оно называется м н и м о й

е д и н и ц е й * . Таким

образом, i 2 = — 1.

Число г = а-[- Ы ,

где а и Ь — любые действительные числа; i —

Комплексные числа вида

а - \ - Ы

и

а — Ы называются с о п р я ж е н ­

н ы м и . Комплексные числа вида а + Ы и — а — Ы

называются п р о т и в о ­

п о л о ж н ы м и .

н а '

-j- b 'i

считаются равными в том

Два комплексных числа а - \ - Ы

и только

в том случае, если

а

=

а ',

Ь =

Ь '.

Из этого определения вытекает, что комплексное число a -f- Ы

равно нулю тогда и только тогда, когда а =

0 и 6 =

0.

не

принято

П р и м е ч а н и е .

Относительно

комплексных

чисел

никакого

соглашения,

какое

из

них считать

больше другого.

2.

Действия

над комплексными

числами.

Над комплексными чис

лами производятся такие же действия, как и над вещественными.

Чтобы

произвести

какое-нибудь

действие над комплексными

числами

вида а -|-

6/,

надо

произвести

действия

над двучленами

такого

вида

по тем

правилам,

которые известны для

двучленов с вещественными

членами, и, наконец, в результате заменить

везде г'2 па —1. Исходя

из этого, действия над комплексными числами определяются так.

Сложение. Суммой комплексных чисел

а +

Ы

и

а '

-[- b 'i

назы­

вается комплексное число (а-|-

а ') -|- (6 +

b ')

i.

чисел а + 6 /

Отсюда следует, что сумма сопряженных комплексных

и о — Ы

равна действительному числу * 2 а ,

комплексное число а + Ы

можно рассматривать как сумму вещественного числа а и чисто.мни­

мого числа Ы .

П р и м е р ы .

(4 +

2г) +

(—3 - f i) =

1

+

3/;

(0 +

2 i) -f (0

5г) =

= 0 +

7г, т. е. 2г + 5/ = 77;

(—5 +

8г) +

(—3 — 8г) =

—8.

Для сложения комплексных чисел справедливы

те же основные

законы,

что и для

вещественных чисел:

(а + Ы ) + (с + d i) — (с -f d i) + (а + Ы )

[(а +

Ы ) +

(с -)- d i)]

-f- ( i n - j- n i)

=

(a -f- Ы ) -j- [(c -f- d i) -f- (m

-(- яг')].

Вычитание. Исходя из определения

вычитания

как

действия,

обратного сложению,

разность

комплексных

чисел

а -f- Ы

и а '

+ b 'i

находят так:

{а +

Ы ) — (а ’ +

b 'i)

=

(а — а ') + (6 — 6') г.

Разностью двух комплексных чисел может быть комплексное,

действительное и чисто мнимое число.

(4 + 5г) — (2 +

5г) =

П р и м е р ы.

(1 — г) — (2 — Зг) = —1 -f- 27;

= 2 —{—07 = 2;

(9 — 87) — (9 + 87) =

—167.

Умножение. Произведением комплексных чисел а +

Ы и. а[ -f- 6Т

называется комплексное число

(iа а ' — 66') + (a b ' +

6а') I.

Отсюда следует, что для умножения

комплексных

чисел доста­

Произведение сопряженных

чисел* a -J-6/ и а — Ы

есть вещест­

венное число, равное а 2 + 62.

П р и м е р . (2 + i) (2 — /) = 4 — г2 = 5.

же основным

Умножение комплексных

чисел подчиняется тем

ствие, обратное умножению.

Отсюда следует, что частное от деления

комплексного числа а + Ы

на число а ' + 6Т равно

а а '

+

66'

,

а 'Ь — а Ь ' .

,2

,

./2

" г

а

,2

,

,,2 *•

а

+

6

+

6

—2 + 5i

(—2 + 5i) (—3 +

4/)

—14 — 23*

,

—3 — 4i

(—3 — 4/) (—3 +

4 i) ~

25

Возведение в степень. Предварительно найдем результаты от воЗ'

ведения в степень мнимой единицы i, зная что i2 =

— 1.

(а + Ы )п = (а + Ы ) (а -)- Ы ) ■■■ (а + Ы );

п раз

(а +

Ы )— п

1

(а + Ы )п '

Здесь п

— натуральное число. Умножение можно проводить после­

довательно.

Кроме того, принимается

(а + Ы )° =

1.

Извлечение квадратного

корня.

Извлечение

корня из комплекс­

/ 5 + 1 2 /

-*(/ / 2 5

+

144 + 5

/■/ 2 5 +

144 — 5

/

=

±

( ] / у

+

j / ^ )

= ( / 9 +

i / 4 )

=

±(3

+

2/).

3.

Геометрическое изображение комплексных чисел. Известно, что

действительные числа можно изображать точками на прямой.

Комплек­

сные числа

г =

а +

Ы взаимно

однознач­

но сопоставляются с парами действитель­

ных

чисел

(а ,

Ь).

Поэтому

комплексное

число

г =

а +

Ы

условились

геометри­

чески

изображать

точкой М ,

у

которой

в прямоугольной

системе

координат абс­

цисса равна а ,

а ордината Ь (рис.

72).

Комплексное

число

можно

также

изображать

направленным отрезком (век­

тором)

О М ,

т.

е.

отрезком

прямой, у которого указано, какая

из

ограничивающих

его

точек

является

началом

и

какая

концом.

В нашем случае О есть

начало,

а М — конец.

Значит,

комплексное

число

г =

а +

6/

изображают

вектором,

начало

которого

совпадает

с началом

координат,

а конец — с точкой М .

Сам вектор

обозначают

О М \ направление вектора указывает стрелка на его

конце.

называется

Длина вектора,

изображающего

комплексное

число,

м о д у л е м

этого комплексного числа.

Модуль

всякого комплексного

сного

числа а +

Ы обозначают | а

Ы |, а также буквой г. Из чертежа

(рис.

72) видно,

что

| 3 + 5 /1= / З 2 + 5 - =

/ 3 4 ;

| —7 | =

| —7 +

0 • i | =

/ ( —7)2 +

О2 =

= 7; | 4i | = | 0 + 4* | = / О 2 + 42 = 4.

Угол

tp

между положительным направлением

оси абсцисс и век­

тором О М ,

изображающим комплексное число а +

Ы ,

называется а р г у ­

м е н т о м

комплексного

числа

а + Ы .

Каждое комплексное число, не

равное нулю,

имеет бесконечное множество аргументов,

отличающихся

друг от друга

на целое число оборотов (т. е. на 360° к ,

где к — любое

целое число) *.

числа

а + Ы

связан

с а

и Ь следую­

Аргумент tp комплексного

щими формулами:

,

6

а

Ь

а

г / а 2 + 62

/ а 2 + 62

Однако ни одна из. них в отдельности не позволяет

найти

аргу­

мент по абсциссе и ординате.

Покажем это на примерах.

комп­

П р и м е р .

Найти

аргумент

лексного числа —3 —ЗА

способ, tg tp =

Р е ш е н и е .

Первый

_3

него

числа

отрицательны.

Значит,

точка

М

лежит

в третьей

чет­

верти.

Второй

способ,

cos <р =

.

Формула

для

sin 9

показывает,

что

V 2

ср принадлежит третьей четверти,

он тоже отрицателен. Значит, угол

так

что <р =

225° ± 360° k .

Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента назы­

вается главным. Так, для комплексного

числа —3 —3i г л а в н о е з н а ч е ­

н и е

а р г у м е н т а равно — 135°.

Аргумент действительного положительного числа имеет главное

значение 0 °;

для

отрицательных

чисел

главным значением аргумента

принято считать

180° (а не — 180°).

чисел

главные значения аргумента

У сопряженных

комплексных

Так, главные значения аргумента чисел

—3 -j-З/

и —3 —3/ равны

соответственно 135° и —135°.

г = а +

Ы приняты обозначения

Для

обозначения

аргумента

ср = Argz,

или tp =

arg г . Первое употребляется для всевозможных зна­

чений аргумента;

второе — для

главного

значения

аргумента, выде­

ляемого неравенством

0 < ср <; 2 тс.

форма а + Ы ,

называется

а л ге б р а и ч е с к о й .

Абсцисса а

и ордината Ь

комплексного числа а +

Ы

выражаются

через модуль г

и аргумент ср

(рис. 73)

формулами

а =

r cos ср,

Ъ =

г sin ср.

Тогда получим:

а +

Ы = г (cos ip -)- i

sin ср).

Последнее

выражение

называется

т р и г о н о м е т р и ч е с к о й

ф о р м о й

к о м п л е к с н о го ч и с л а

с модулем г и

аргументом

<р. Любое число z Ф 0

мзжет быть представлено в тригонометрической форме.

форме

число

П р и м е р

1.

Представить в

тригонометрической

—3 + 21.

Р е ш е н и е ,

г =

] / ( —3)а +

22 =

У^13;

tg c p = — 1- = —0,666...

•

*

следовательно, значение ср надо

и

во вто­

Тангенс

отрицателен,

искать

рой и четвертой четвертях. Обращаясь

к формулам для sin р и cos ср,

замечаем, что при

а =

—3 и 6 =

2 синус будет положителен,

а

коси­

нус отрицателен,

что

имеет место

во второй

четверти *.

По таблицам

находим

о=1460 18', значит

—3 + 2 /= ] / 13 (cos 146° 18'+ / sin 146° 18').

П р и м е р

2.

Представить

в

тригонометрической

форме

число

1 — /.

Р е ш е н и е .

Имеем: г =

] / 1а +

(—1)а =

]/2 ;

tgtp =

— 1.

Здесь

а = 1, а

6 = — 1.

Следовательно,

<р

находится в

четвертой

четверти.

Отсюда

находим <р =

315° и можем написать:

1 — / = / 2

(cos 315° +

/ sin 315°).

П р и м е ч а н и е .

Так как 315° = 360° — 45°

и cos 315° =

cos 45°;

sin 315° = sin (—45°) =

—sin 45°, то это число можно

записать

и так:

1 — / = ] /2

(cos 45° — / sin 45°).

П р и м е р

3.

Представить в тригонометрической форме действи­

тельное число т > 0.

как гп =

+

0 • /,

то

а =

6 = 0,

и

тогда

Р е ш е н и е .

Так

т

т ,

г = ] / т 2 + 0а = т \

tg ©=

— =

0;

cos © =

—

=

1.

'

1

ь т

т

т

т

или в общем виде

т =

т (cos 0° +

i sin 0°)

т =

т (cos 360° k +

i sin 360° /г).

Отсюда делаем вывод, что модулем положительного числа является

само это число, а

аргументом его есть 0° (или 360° k ) .

П р и м е р

4.

Представить

в тригонометрической форме отрица­

тельное число

— т

(т > 0J.

— т = — т + 0 ■/, то

а — —/?/,

6 = 0,

Р е ш е н и е .

Так

как

и мы имеем: r = m

, tg© =

0,

cos ш =

— 1. Следовательно,

о =

180°,

и тогда

— in = т (cos 180° + ( sin 180°),

или в общем виде:

— т =

т [cos (180° +

360° k )

+

i sin (180° +

360° к ))

=

=

m

[cos 180° (2 k +

1) +

i sin 180° (2 k

+

1)].