книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

§

42. Арифметическая

прогрессия

1.

Определения.

А р и ф м е т и ч е с к о й

п р о г р е с с и е й

называется число­

вая последовательность, в которой каждое число, начиная со второго,

равно предыдущему,

сложенному

с одним и тем же постоянным

для

этой последовательности числом (положительным или отрицательным).

Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами. Ариф­

метическую прогрессию записывают

так:

о и о 2 ,

а а, . ..

Общий член ее обозначают через а„.

Число, которое надо прибавить к какому-нибудь члену, чтобы

получить последующий, называется

р а з н о с т ь ю

а р и ф м е т и ч е с к о й

п р о ­

г р е с с и и ; ее обычно обозначают буквой

d .

чисел

10,

14,

18,

22,

. . . ,

П р и м е р

1.

Последовательность

6 -(- 4и, . . . есть арифметическая прогрессия с разностью 4.

3 — 2п

П р и м е р

2.

Последовательность чисел

1,

—1, —3, . . .,

есть арифметическая прогрессия с разностью —2.

если

вся­

кий

Арифметическая

прогрессия называется

в о зр а с т а ю щ е й ,

последующий

член

больше

предыдущего

(т. е.

если

d > 0);

и у б ы в а ю щ е й ,

если всякий последующий

член

меньше

предыдущего

(d <

0).

Л ю б о й ч л е н а р и ф м е т и ч е с к о й п р о г р е с с и и р а в е н п е р в о м у ее ч л е н у ,

с л о ж е н н о м у

с

п р о и з в е д е н и е м

р а з н о с т и

п р о г р е с с и и

н а

ч и с л о

ч лен о в ,

п р е д ш е с т в у ю щ и х о п р е д е л я е м о м у ,

т .

е .

о н в ы р а ж а е т с я ф о р м у л о й :

ak =

a1-\-(k — l)d.

Всякий

член

арифметической

прогрессии,

начиная

со

второго,

„. .

I

+

ak+i

° k -

2

•

Всякий член арифметической прогрессии, начиная

со второго,

есть среднее арифметическое

членов,

равноудаленных

от

него,

т. е.

°л—k +

On+k

ап -

2

-

Во

всякой

арифметической прогрессии ат -f- ап =

а р -f- a q ,

если

m - \ - n =

p - \ - q .

В частности,

если

прогрессия имеет конечное число

„

_ ( a i + a n) n

„

_ [ 2 o l +

d ( n — 1)]л

S n

—

2

’ n

~

2

1 + 2 + . . . + л

я ( п + 0 .

2

1= +

22 +

. . . +

л2

=

я ( л +

1 )(2 л + 1 )

!

6

I3 +

23 +

. . . +

л3

=

л2 (л +

I)2

4

З а д а ч а

1.

Определить последний член арифметической про­

грессии, в которой

=

110,

—10,

л =

11.

d

-

Р е ш е н и е .

ап = a i +

d ( n —

1),

а п = ПО— 10(11 — 1) = 110 — 10 •

10 = 10.

О т в е т .

а п

=

10.

сумму

членов

арифметической

прогрессии,

З а д а ч а

2.

Найти

в которой

Qi -

100,

d

= —2,

л =

30.

Р е ш е н и е .

a30 = 100 + (—2) ■29

- 100 — 58 =

42,

_ (100 +

42) 30

'142 ■30 _

71 ■30 =

2130.

s30

2

“

2

~

О т в е т .

s30 =

2130.

первый

член

и сумму

членов арифме­

З а д а ч а

3.

Определить

тической прогрессии, в

которой

Р е ш е н и е .

п

=

45,

d =

10,

а п — 459.

а п =

аг + d (п — 1).

=

ап — d (л — 1);

a Y =

459— 10 • 44 = 4 5 9 — 440 =

19,

= 19;

_

(459+ 19)45 _ 478-45 = 239

. 45 = ю 755.

О т в е т .

19;

10755.

a i — 0. d = - ^ - . а п = 5.

Р е ш е н и е .

ап =

Oj +

d (n — 1),

л — 1 =

— ,

n = a ', ~d ° L-[- 1;

n

= ^ Z ^ + 1

= 1 0 + 1

= 11;

/г = 11.

T

_ _ (Д1 + ал) л_ (0 + 5 ) ' П

55

07 I

S

n ----------------------- 2

2

“

2

2 ‘

О т в е т .

11;

27-^-.

З а д а ч а

5.

Между членами 7

и 35 поместить 6

чисел,

которые

с данными числами составили бы арифметическую прогрессию.

=

35,

Р е ш е н и е .

Из

условия

задачи

следует,

что

=

7,

а п

п — 8. Тогда из формулы а п =

а г +

d (п — 1) имеем:

d = £ « j z £ i = . ^ = 7

4.

п — 1

8 — 1

Следовательно, находим

прогрессию 7,

11,

15, 19, 23,

27,

31,

35,

где

числа 11, 15,

19,

23, 27, 31 искомые.

О т в е т .

11,

15, 19, 23, 27, 31.

член,

разность и число

членов

З а д а ч а

6.

Определить

первый

арифметической прогрессии, в

которой

а „ = 5 5 ,

а 2 +

а ъ =

32,5;

s16 =

412,5.

Р е ш е н и е .

а 2 +

аб = 32,5;

(a1 +

d) +

(a1 +

4rf) = 32,5;

sis — 412,5;

(вг +

ДпО15

= 412[5.

После преобразований

получаем систему уравнений

/

2<Zx +

5d =

32,5,

откуда

1 15cti +

105d =

412,5,

2,5;

a! =

10.

d =

„ = £ ^ + 1 = 5 5 _ Ю + 1 = 1 9 .

О т в е т .

10;

2,5; 19.

З а д а ч а

7.

Найти четыре последовательных нечетных числа,

зная, что сумма их квадратов больше суммы

квадратов заключенных

между ними четных чисел на 48.

через я,

(я + 2), (л + 4),

Р е ш е н »

е.

Обозначим нечетные числа

(л + 6).

Тогда

заключенные между ними четные

числа будут (я-)-1),

(л -}- 3),

(л + 5).

Согласно

условию

л2 + (л +

2)2 + (л + 4)а +

(я +

6)2 =

или

=

(л + 1)а+ (я + 3)2+ (л +

5)а + 48,

ла+

[(л + 2)2 -

(л + 1)а] + [(я +

4)2 -

(л +

З)2] - f

§ 43.

Геометрическая прогрессия

1. Общие сведения. Ге о м е т р и ч е с к о й

п р о г р е с с и е й называется такая

числовая последовательность, в которой

каждое число, начиная со

второго, равняется предшествующему,

умноженному на одно и то же

йисло, постоянноедля этой последовательности.

Геомет­

Числа,

составляющие прогрессию, называются ее членами.

рическую прогрессию записывают так:

'

-77- «1 . «2 . и 3, . . . .

и„, . . .

Общий член прогрессии

обозначают

через и п .

Число,

на которое

надо умножить

любой член геометрической

прогрессии,

чтобы получить

последующий,

называется з н а м е н а т е л е м

геометрической прогрессии; он обозначается буквой q.

геомет­

Отсюда

следует, что

частное от деления каждого члена

Знаменатель прогрессии может

быть и положительным, и отрицатель­

ным числом.

1. Последовательность 8,

— 16, 32, —64, 128, —256,

П р и м е р

512........... есть

геометрическая

прогрессия

со знаменателем —2.

5

1

1

П р и м е р 2. Последовательность 20, 10, 5, -g-,

■• • » 40 ■I-g-

U„ =

u 1q n ~ 1.

Отсюда следует, что геометрическую прогрессию,

у

которой пер­

вый член а , знаменатель

q

и

число

всех

членов п , можно запи­

сать так:

-Н-ы,

u q 2...........u q n _ 1 .

u q ,

Всякий

член

геометрической

прогрессии

связан

с

предыдущим

и последующим ему членами

такой зависимостью:

и п — и п — \ и п + 1 -

Во всякой геометрической прогрессии и т и п = u pUq,

если т + п —

= р + q . В частности, если

прогрессия имеет конечное число членов,

то произведение двух членов, равноотстоящих

от ее концов,

равно про­

изведению

крайних членов.

прогрессии

выражается

формулой

Сумма

членов

геометрической

S =

Unq

I

r

или

5 =

“ r i

y

^ ф \)-

Бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой по

абсолютной

величине меньше

1,

называется беско н еч но

у б ы в а ю щ е й

ге о м ет р и ч еск о й п р о гр е с с и е й .

_ _ L

_1_ __1_ _1_

1

3 ’

9 ’ 27’ 8Г

2 4 3 ’ ' ‘ ’

С у м м о й

беско н еч но у б ы в а ю щ е й гео м е т р и ч е с к о й п р о г р е с с и и называют

предел

суммы

п

ее первых членов

при бесконечном

возрастании

п

(п

-► оо).

S =

- =

lim (ut +

щ

Н------- \-и п ).

1

Ч

П-+00

Следовательно, сумма бесконечно убывающей геометрической про­

грессии

равна

частному

от деления

первого члена этой

прогрессии

на

разность

единицы и знаменателя прогрессии.

2. Задачи на геометрическую прогрессию.

в

З а д а ч а

1.

Вычислить

пятый член геометрической прогрессии,

которой первый

член

равен

3, а знаменатель прогрессии 2.

Р е ш е н и е . и 1 — 3,

7 =

2;

и ъ = и ^ 6 - 1 = 3 • 24 = 48.

О т в е т .

и 5 =

48.

сумму

членов

геометрической

прогрессии,

З а д а ч а

2.

Найти

в

которой щ

=

8,

q =

, л = 5.

Р е ш е н и е .

Отсюда

“ л = «i7 n

*, Wio = “ т<79-

щ

= ——

=

7 • 2° = 7 • 512 = 3584;

79

3584 — 7

2

3584 — 3,5 = 2 • 3581,5 = 7163.

О т в е т . 3584,

7163.

2

/г =

8,

q =

2,

S 8 =

765.

Р е ш е н и е .

Используя

формулы

общего

члена

и

суммы

про­

грессии, получаем:

(“i28 — цх)

и в =

и 1 - 27,

765 =

или

2 — 1

u s =

Ui • 128,

765 =

и х (28—1).

Решив эти уравнения относительно

щ

и и а, получим:

щ =

3,

и п — 384.

О т в е т .

3;.-384.

геометрическую

прогрессию,

состоящую из

З а д а ч а

5.

Найти

6 членов, зная, что сумма трех первых ее членов равна

168, а сумма

трех последних 21.

Р е ш е н и е .

Од +

о-2 +

а3 =

168;

или

° 4 "Ь а 5 + ° о = 2 1 ,

а +

a q +

a q 2 =

168;

a q 3 -j- a q 4 +

a q 5 =

21.

Отсюда

а ( Н - 9 +

92) =

168;

aq3 (1 + 9 +

9a) =

21.

Значит, -V = 8, 0 = 4 - . Тогда a =

96.

q3

7

2

О т в е т .

-H-96,

48,

24, 12, 6,

3.

образующие возрастающую

гео­

З а д а ч а

6.

Найти

три

числа,

метрическую прогрессию, зная, что

их сумма

равна 26,

сумма

ква­

дратов этих

чисел 364.

как ад, а2,

а3

образуют

геометрическую

про­

Р е ш е н и е .

Так

грессию, то Qj =

a,

a2 = aq, a 3 =

aq2. Тогда по условию имеем:

a +

aq +

aq2 =

26,

a 2 +

a2q2+

a2?4 =

364,

Решив систему,

получим: q-y =

3,

q 3 =

-g-

и a = 2.

Так как

про­

грессия возрастающая, то ее знаменатель будет 3.

О т в е т .

2,

6,

18.

З а д а ч а

7.

Три

положительных

числа,

дающие

в сумме 21.

составляют арифметическую прогрессию. Если

к ним соответственно

прибавить

2,

3 и 9, то

полученные числа

составят

геометрическую

прогрессию. Найти эти числа.

Р е ш е н а

е.

-t-q, я -р d, о.

2 d.

-ffa +

2,

a +

d + 3,

a + 2d +

9.

Согласно

условию, имеем:

или

a +

a + d +

a +

2d =

21,

3a + 3d =

21,

или

+

d == 7.

a

a -f- 2d -f- 9

a + d -{- 3

a +

d +

3

=

a + 2

'

После

преобразований

получим:

da + 2 d — 5a — 9 = 0 .

Так

как

a =

7 — d,

то

d2 +

7d — 44 = 0;

d, = 4 ,

d2

= —11. Тогда

Oi =

3, a2

=

18.

не

удовлетворяет условию задачи,

так

как оно

Второе

значение

приводит

к числам 18, 7

и —4, а

последнее

из них неположительное.

Следовательно,

d = 4

и

а =

3.

Тогда имеем

такие

числа:

3, 7, 11.

О т в е т .

3,

7, 11.

З а д а ч а

8 .

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической

прогрессии

V

I

V

i

■

Р е ш е н и е .

По

условию,

S =

12,5;' «, +

i u

=

12. Имеем: „ , +

+

„ ,< 7

=

12;

12,5 = А .

Исключив

из

этой

системы

получим

квадратное уравнение

12,5? 2 — 0,5 = 0 .

Тогда

<7 =

±

О

;

и, = 12 : (1 +

<7) =

10 или

=

15.

2

О т в е т . + 1 0 ; 2; — ; . . . и

о

3.

Исторические

сведения о прогрессиях.

Прогрессии встречаются

уже

у математиков

глубокой древности — в папирусе Ахмеса, у Архи­

меда,

у

некоторых китайских математиков. Древние

индийские мате­

матики

также знали, арифметическую и геометрическую прогрессии,

а

Брахмагупта

(628

г. н. э.)

рассматривал,

кроме того, последова­

тельности, построенные из квадратов

и кубов чисел натурального ряда.

Само слово «прогрессия» было введено римскими математиками,

его употреблял, в частности, Боециус (510 г. и. э.).

Старые

математики связывали между собой понятия «пропорции»

и «прогрессии». Прилагая к пропорциям наименования арифметичес­

кой,

геометрической

и гармонической,

они считали, что пропорция

является ничем иным, как четырехчленной прогрессией. Большинство

из

них давало

лишь

формулу суммы прогрессии, причем без дока­

зательства;

некоторые приводили

также формулу

для определения

последнего члена арифметической прогрессии, также без доказатель­

ства.

Правило

для нахождения любого члена

арифметической

про­

грессии было дано Карданом в 1539 г.

прогрессии впервые

Формула для

суммы

членов геометрической

в западноевропейской литературе встречается в книге Фибоначчи

(1202

г.),

затем

ее

приводит

Пойербах

(1460 г.). Формула эта для

суммирования

бесконечной

прогрессии

была обобщена французским

математиком Виетом в 1590

г.

§ 44. Метод математической индукции

Во многих

разделах современной математики используется метод

доказательства,

который

называется м е т о д о м

м а т е м а т и ч е с к о й и н д у к ­

ц и и .

В его основе лежит следующая аксиома

индукции. Если неко­

торое

утверждение справедливо для

п = 1 и если из допущения спра­

ведливости его для какого-нибудь произвольного

натурального п

= k

следует справедливость его и для

п =

k +

1 , то

это утверждение

справедливо

для

всякого

натурального п .

П р и м е р

1.

Доказать'формулу

общего члена арифметической

прогрессии:

а п = a L + (n — l ) d .

аг =

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Она верна

для я — 1, так

как

тогда будет

ах.

Предположим, что формула верна

для я =

к ,

т. е.

о* =

а, +

-f- ( к

1) d .

Тогда

= Qfc + d =

Qj -(- ( к

— 1) d

+

d

=

Oi +

k d .

л =

Как видим, если формула верна для

я = k ,

то

она

верна

н для

к

+

1.

Для

я = 1

она

верна. Следовательно, доказываемая фор­

мула верна при каждом натуральном значении я.

П р и м е р

2.

Доказать,

что при любом я

1 + 3 +

5 -|-------Ь (2/г— 1) = л2.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При л = 1

это

равенство верно:

1 = 1 .

Предположим,

что оно верно при некотором произвольном

л =

к

т. е.,

что

1 +

3 +

5 Ч---------Н (2* — 1) = &2.

Тогда, прибавив к обеим его частям одно и тоже число

2ft +

1,

получим

3

1 +

3 +

5 +-------- Ь (2/г — 1) + (2/г +

1) = k* +

2 k

+

1,

или

1 +

3 +

5 +

• • • + ( 2 к — 1) +

[2 ( к +

1) — 1] =

( к

+

1)*.

Итак, рассматриваемое

равенство

справедливо

при

п =

1, и из

допущения

справедливости

его при п = к

вытекает, что оно справед­

ливо

и при /г =

ft + 1.

Следовательно,

оно верно

при каждом

нату­

ральном

п .

такие

Методом математической индукции можно доказывать и

утверждения,

которые-при л = 1 неверны,

но которые верны,

начиная

с некоторого

натурального

р ,

большего

1. При этом используют такое

следствие из аксиомы

индукции: если

некоторое

утверждение

спра­

ведливо

для

п

= р

и если

из допущения справедливости его для ка­

кого-нибудь п =

ft ;> р

вытекает справедливость его

и для

п — к +

1,

то это утверждение справедливо для

всех

натуральных

чисел,

начи­

ная

с

р.

3.

Доказать,

что при

всех

л > 5

имеет

место нера­

П р и м е р

венство

2Л >

л2.

32 >

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При п =

5

это

неравенство

верно,

так

как

25.

что при

некотором произвольном ft >

5

Предположим,

2* >

ft2.