книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

Последовательность x

v

х г ,

. . . ,

х п , . . .

кратко

обозначается зна­

ком {.г,,).

последовательностей:

Примеры

1,

2,

3...........

п ,

J_

_1_

_1_

\_

2

’

4

’

8 ...........

2« '

•

‘

’

О

1

’

2

"_ Z li

•

’

2

3

............

п

...........

1, —1. - И ...........

1. —I. — ;

2,

2,

2,

. . . ,

2, . . .

Последняя

последовательность

является

примером

п о с т о я н н о й

последовательности. Если

в последовательности есть последний член,

то

она называется конечной. Если

последовательность

имеет беско­

нечное множество членов, она назы­

вается бесконечной. Конечная последо­

вательность может быть задана перечис-

9т

ш

лением членов. Чтобы задать бесконечную

последовательность

нужно

указать

в

правило, по которому любому натураль­

7

ному

числу

п

можно

привести в соот­

б

ветствие

некоторое

число х п .

5

Как и функцию от действительного

4

аргумента,

последовательность

можно

3 +

задать с

помощью

формулы, табличным

и графическим

способами.

2

Например, последовательность не­

1

четных натуральных чисел можно задать

-1—I—I—I—ь-

в виде формулы общего члена:

1

2

3

4

5

= 2 п — 1

х п

Рис.

67.

или в виде таблицы:

1,

3, 5,

7,

9, И , 13, 15, 17, . . .

Можно задать се также в виде

графика, состоящего из изоли­

рованных

друг от друга точек (рис. 67).

и с помощью

точек на

Можно задать эту

последовательность

числовой оси (рис. 68).

Постоянной

последовательности

на

числовой

прямой соответствует одна точка.

Последовательность

о 1

2

1 = _ !

2

’

3 ...........

п

’

"

на

числовой

оси

изображается

так,

как

показано на рис. 69,

От задания

последовательности с помощью формулы не трудно

перейти к табличному или графическому способу ее задания.

П р и м е р .

Если х п = п + (—l)”. то, полагая п = 1, 2, 3, . . . ,

Рис. 68.

Еще пример.

Если

1

[

— для нечетных п ,

А" — 1 —пг—, для четных

п ,

(

п + 1

1

4

то, полагая п =

1, 2, 3, . . . .

2

получим 1, — ,

— ,

. . . Однако,

О

О

О

если последовательность задана в виде таблицы,

иногда очень трудно

------1-------1— ........................

О

1

Z

з

i

,

2

3

4

5

'

Рис.

69.

вообще не известен общий член, несмотря на

то, что многие мате­

матики упорно искали его на протяжении нескольких веков.

2.

Предел

последовательности.

Число

а

называется

пределом

последовательности х и

х 2.......... х п , . . . (записывают lim х п

=

а ), если

для любого

е >

0 существует число

/J-+-O0

такое, что

N ,

зависящее от е,

| х п — а

| <

е при п >

N .

предел,

называется

Последовательность, имеющая

с х о д я щ е й с я ,

12.5-353

353

с некоторой, лежат в произвольно малом

отрезке,

окружающем

точку а: ( а — е, a-f-E).

Так, например,

если

мы

построим

последо­

вательность

*i =

1

п + Г

+

'

2 2

0 -

2

3

Рис.

70.

и окружим

точку х

=

1

отрезком

длины 2 е

так,

чтобы

эта точка

находилась

в середине

отрезка,

то

все

точки

х п

=

1

п +

войдут

в этот отрезок (рис.

70),

если

только

л -[- I

>

— , т.

е.

если п >

> 1- 1.

Е

* „ - 1 = 1

1

2"

2л

2"

'

Тогда

\ х п — 1 | <

е, если — < е,

т.

е.

при

п ,

удовлетворяющем

неравенству

2 п >

-i- .

Относительно последовательностей верны следующие утверж­

дения.

Если

последовательность

сходится

к

пределу

и а > Ь

а )

{ х п }

а

(а < Ь),

то существует такой номер N ,

что для

всех п >

N

верно

неравенство

х п >

Ь (х п < Ь).

{лг„}

и

сходящиеся

и всегда

б )

Если

последовательности

{ у п },

неравенства x n ^

y

n ^ z n и

lim х п — lim z n = а , то и limi/„ = a.

Рассмотрим

несколько

примеров.

П р и м е р

1.

Показать, что

2n-J- 1

1

/г + 1

“

п + 1

Оценив эту разность по абсолютной величине, получим

2п + 1

1

< е,

п + 1

+ + 1

если

п > ------ 1 — N .-

е

Таким образом, для каждого

положительного числа е найдется

12*

355

П р и м е р

2.

Показать,

что последовательность

не имеет предела.

[*«} =

К - 1 ) п)

имеет пределом а .

Р е ш е н и е .

Предположим противное, что {*„]

Возьмем, например,

е = -1-,

тогда

по определению

должно сущест­

вовать такое натуральное число N ,

что

при ч > N

будет | х п — а \ <

< -jj-. Но среди

значений

п >

N

всегда

будут как четные, так и не­

четные;

если га =

2 k ,

то х п —

1,

а если п = 2 k -f- 1, то х„ = — 1. Тогда

имеют место неравенства:

| l - a | < i - ,

| а _ ( _ 1 ) | < 1 ,

но

тогда

2 = |( 1 - а ) + (1 + о ) | < - 1 + 1 = 1,

что невозможно,

и предположение неверно; значит последовательность

{ }

=

{(— 1)л}

не имеет

предела.

2

_

1-г

3.

,.

2ti

— 1

для каких значе-

П р и м е р

Jim

^---- т-== ----т - . Определить,

п - *. со

"

З я

о

ний п

величина

•

I 2п — 1

/

2 \

( п = 1, 2,

3, ..

.)

! 2 —

3га

\

3 /

меньше 0,0001.

Для

определения

га надо решить неравенство

Р е ш е н и е .

2га—

1

2

1

или

2 — Зга +

3

101 ’

1

1

1

I 3 (2 — Зга)

' 3 I 2 — Зга I ^

10* ’

отсюда

| 2 — Зга | = Зга — 2,

3 ( З г а - 2 ) > 1 0 4,

л > •104

+

6

1111.

Таким

образом,

2га — 1

будет меньше 0,0001 при « > 1111.

2 - Зга -И)

3. Ограниченные и неограниченные последовательности. Последо­

вательность {хя }

называется

ограниченной

сверху

(снизу),

если все

члены ее меньше (больше) некоторого числа.

Последовательность {.*•„} называется ограниченной, если она

ограниченна и сверху и снизу, т. е.

если существуют такие

числа т

и М , что для всех

га

х п < М .

т

<

Все члены ограниченной последовательности {.v„}

по своей

абсо­

лютной величине меньше некоторого числа

| л - „ | < Л .

Последовательность, имеющая предел, ограниченна.

так

Последовательность

х 1 = 0; лг2 =

0,3;

л-3 =

0,33, . . .

ограниченна,

как | х п | <

1.

— (— 1)л

также

ограниченна,

так

как

Последовательность

х п

\хп i

= *■

{ х п =

п } , п = 1, 2,

3, .. . не

П р и м е р ы . Последовательность

ограниченна сверху, так как не существует

такого

числа М,

чтобы

все члены последовательности

оставались меньше этого числа.

Последовательность

{д-„ =

—/г), га =

— 1, —2, —3,

. . . неограни­

ченна снизу.

последовательность

{*„}

называется

неограничен­

ной,

Бесконечная

если для всякого наперед заданного числа А существует такое га,

что

|.v„ | > А .

можно

указать

такое

Если для любого положительного числа

А

число N , что при п >

N ,

х п

>

А , то говорят,

что х п

стремится к плюс

бесконечности, и это

записывают так:

lim х п =

+ оо ,

или х п -> +оо.

П-± со

Если для любого

отрицательного

числа

А

можно

указать

такое

натуральное число N ,

что при га > N выполняется неравенство х п < А ,

то считают, что х п

стремится к

минус

бесконечности

и записывают

так:

Пшл„ = —оо, или

—ОО.

го

4. Монотонные последовательности. Последовательность

{ х п }

называется в о зр а с т а ю щ е й

(убывающей),

если

каждый

последующий

член ее больше

(меньше) предыдущего,

т. е. если

х п +1 > х п (х п -J-1 < х п)-

Последовательность

{ х п }

называется

н е у б ы в а ю щ е й

(невозрастаю­

Последовательности возрастающие, убывающие,

невозрастающие

н неубывающие называются м о н о т о н н ы м и .

П р и м е р

1.

Показать,

что последовательность

возрастающая.

л+1 , n = 1, 2, 3, . . .

Р е ш е н и е .

Надо показать, что для каждого п

Действительно,

Хп + 1 > х п> или х п + 1 — х п > 0 .

1

Х П + 1

х п

Л + 1

> 0 .

н + 2

п + 1 (д -f- 1) (д -f- 2)

П р и м е р

2. Исследовать

на

сходимость последовательность.

х п = 1 + р - + 3 2 + • • • + ^ 2 > ,! = 1 , 2 , 3, . . .

Р е ш е н и е .

Последовательность

{х п} возрастающая,

так как

Х П + 1 > х п ^-'■л+ 1

Х П

1

( л + 1 )3

п при любом п

имеет место неравенство

1 4 - J __ L J __ |_

_1_

1 _1_

'

_l ^ .

1

т 22 ‘ З2 т

^ /г2

^ 1 • 2 ^ 2 ■3

( я — 1)л'

Принимая во внимание, что

, , 1

,

1

■2 +

2 • 3 + • •• + 7г ( я — 1 )

1 + ( !

2 ) “* ( 2

з ) +

+

... + ( г Ч

- т ) “ 2~ .

\ п

— 1

11

)

Т1

получаем

1

+ ^ - +

^ +

+ ^

<

2

— - jj- < 2 .

Как

видим,

данная

последовательность монотонно вырастающая

и ограниченная

сверху,

поэтому она

имеет предел.

чтобы для любого наперед заданного числа б >

0 существовало такое

число N =

N (z) *,

при

котором

справедливо

неравенство | х п + р —

— л-„ | < е

при всяком п ,

большем N

(е), и при

произвольном нату­

ральном числе р (критерий Коши).

последовательность

П р и м е р .

Исследовать

на сходимость

Ы

=

{1 +

т

+

Т

+

• 1' + 7 г } ’

n

=

i - 2 '

3’

•••

Р е ш е н и е .

Применяя

критерий

Коши,

получаем:

,

,

1 ,

1

,

,

1

I * п + р

Л'11

-

„ +

i - г п +

2 +

■ • •

+

п +

р

•

По этому критерию разность должна быть меньше е для всякого

натурального числа

р . Предположим,

что р

—

п ,

тогда имеем:

■+

_1_.

« +

2п >

П

2п

2"’

мой, разностью, произведением

и частным двух

последовательностей

{ х п } и

{(/„) называются

соответственно

последовательности:

{ х п -f-

+ </„},

{ х п — Уп \ , {х пу п )

и | — f . причем

в последнем

случае

пред-

\Уп>

полагается, что последовательность { у п ) не содержит нулей.

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы: если

последовательности {х п} и {</„}

сходящиеся, то

сходящимися

будут

также

последовательности

{ х п +

(/„}, { х п

— у п ) ,

{ х п

■ у п ) и

Верны следующие формулы:

гг-*- со

П т ( х п + у п ) =

П т х п + П т //„;

П-*-«о

П-*-оо

П-*-оо

П -*-о о

П -ь -с о

П -*-с о

П т ( х „ у п ) = Пт.\г„ • П т у п ;

fl-t-co

П-*-со

П~*-оо

Птл:л

П т ^ =

— (Пт</„=£0).

П-*-со У п

П т (/„ п-*-со

п-*- со

этом

в последнем

случае (для частного) предполагается,

что limi/n f= 0 .

/J-+ со

П р и м е р .

Известно,

что

..

2

..

1

lim х п =

-5 -,

lim i/„ =

—

П—► со

Э

п-¥ оо

(п — натуральное

число).

Найти

пределы

последовательностей:

Ц+тЬ { ^ " + 4

Р е ш е н и е .

Применяя теоремы о пределах

сходящихся после­

довательностей ,

получаем:

а )

lim ( З х п +

% ) =

lim (Здг„) +

И т

( ^ )

=

lim 3 * •

lim х„

+

П-b со V

Г1-+со

П

\ ^ /

П-*-оо

П-*-со

,

,.

1

.

„

2 .

+

1

Т

1

=

„1

- f l i m —

• limi/n = 3

■Т

• Т

2Т .

П~+оо Z

П-*-оо

0

4

6

б) lim f*23*” ~ 4^n -f

= lim —--- — +

lim xn=

П-+ То \

У п

j

П-+СО

У п

Л -> oo

lim 2 • lim x n

— lim 4 ■lim tjn

2 '

3

' 2

Л-+ео

fl~*- оо

П-+ oo

fl-MCo

lim x n

=

4

lim y n

П-+ со

2

+

1

—

A .

^

3

3

* Н ш 3 с л е д у е т р а с с м а т р и в а т ь к а к п р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о е ™ 3 , 3 , . . . ,

П-+ со

1

1

1

1

3,

. . . . a

,

,

lim

- - - к а к п р е д е л п о с л е д о в а т е л ь н о с т и

—

, - 5-

, . . .

оо2

4

1

4