книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

х - У

Р е ш е н ы е.

Полагая

2 4

— z,

первое уравнение будет г2 —■г—

— 12 = 0. Тогда

1

7

?2 = —3.

Второе

значение

, 2 = у

± — , ?* = 4,

х - ц

отбрасываем

и

получаем

2 4

= 4.

С

другой

стороны,

так как

3lgl2i/—Л>= 1,

то

lg (2у — л) = 0 , 2 у

— ,v =

l.

Таким

образом, прихо­

дим к системе уравнении

х —у

2

4 = 4 ,

{Ъ у - х

=

1.

Эта система

имеет решение .v =

17,

у

=

9, которое будет также

решением данной

системы.

П р и м е р

7.

Решить систему уравнений

I

log* Iog2 log* у

=

0,

I

log^g = 1.

Р е ш е н и е .

Со второго уравнения находим у = 9. Тогда

log* (log., log* 9) = 0

и log2 log* 9 = 1 .

Отсюда log* 9 =

2, х г = 9,

.v =

+ 3.

Отбрасывая

x

= —3,

получаем

X = 3.

О т в е т , х = 3, у = 9.

чаще всего

встречающихся

в практике

(особенно

при

вычислениях

с приближенными данными).

см. между стр. 352—353) со­

Логарифмическая линейка (рис. 63,

стоит из:

2)

свободно перемещаю­

1)

к о р п у с а с продольным пазом;

д в и ж к а ,

щегося в продольном пазу

корпуса

линейки;

3)

б е г у н к а

(или пол­

зунка),

представляющего

собой металлическую рамку

со стеклом,

на котором

имеется в и з и р н а я линия,

или и н д е к с .

На лицевой стороне корпуса имеется 7 шкал:

1) шкала (сверху), обозначенная буквой К , Дает кубы чисел

шкалы D \

2) А и В дают

квадраты

чисел шкал

D

и С; 3) шкала

обратных чисел;

4)

шкалы,

обозначенные

буквами С и D , — основ­

ные; 5) равномерная шкала

(на нижнем краю корпуса),

обозначен­

ная буквой L и поделенная на полумнллиметры, дает мантиссы

логарифмов чисел шкалы D .

имеется

три шкалы для

вычисле­

На обратной стороне

движка

ния тригонометрических

величин.

На

обратной

стороне

корпуса

линейки помещены некоторые справочные сведения, а

по боковым

граням — деления

па сантиметры и миллиметры.

основную

шкалу лога

2.

Логарифмическая

шкала. Рассмотрим

рифмической линейки.

логарифмов значения логарифмов

первых

Выпишем из

таблицы

десяти натуральных

чисел, взяв их с точностью до 0,01.

Тогда полу­

чим такую

таблицу:

Ч нсло

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Логарифм

0

0,30

0,48

0,60

0,70

0,78

0,85

0,90

0,95

I

I

2

3

i

5

б

7 8 910

---- 1------------ 1-------- 1----- 1---- 1—

I—

I— i l l ------ •

А '

в

Рис.

64.

получить

бесконечную

логарифмическую

шкалу

простым ее повто­

рением.

или

ш к а л ы , буквой т , найдем, что

Обозначив м а с ш т а б ,

м о д у л ь

расстояние

от

начала

логарифмической

шкалы до метки а в милли­

метрах

равно

/n ig а.

Взяв модуль

шкалы

250

м м

(линейки такой

длины очень распространены,

их называют

н о р м а л ь н ы м и ) , получим

логарифмическую

шкалу

для

чисел

от

1 до 10 шкалы А . Продолжив

ее для

чисел

10,

20,

30, 40,

50, 60,

70,

80,

90,

100,

получим лога­

мических

шкал А п В

представляет

собой

математический

прибор,

который

позволяет просто выполнять умножение и деление.

Обычная

10

20

30

*0

50

60

70 8090100

Рис.

65.

счетная

линеика отличается от него наличием других шкал,

которые

позволяют выполнять

не только

умножение

и деление, но и многие

счетной линейки. На шкале К

имеем три

(слева направо) подшкалы:

метки первой идут от 1

до 10,

второй от

10 до 100 и третьей

от 100

до 1000.

чтение

и установка меток. Чтобы

пользо­

3. Цена делений,

щих метки соседних штрихов шкал.

деление от 1 до 2 означает

На шкалах С и 'О самое Маленькое

0,01, от 2 до 4 — 0,02,

от 4 до

10 — уже

0,05.

равна

0,02, от 2

до

На шкалах А

н В

цена

деления

от

1 до 2

5 — 0,05, от 5

до

10 — 0,1,

от

10 до

20

— 0,2,

от

20 до

50 — 0,5,

от

50 до 100— I.

имеет деления от

1 до 2

ценой 0,02,

от 2 до 5 — 0,05,

Шкала К

Для того чтобы точно

прочесть число, надо

знать его место на

шкале и его п о р я д о к . Для

чисел, больших 1, порядок числа

равен

числу его цифр до запятой.

Так, порядок числа 32,5 будет 2, поря­

док числа 1,12 равен 1. Для

чисел, меньших 1, порядок

числа

есть

число нулей после запятой

до первой

значащей

цифры,

это

число

берут со знаком минус. Так,

порядок

числа 0,038

равен (—1), поря­

такие

упражнения.

Найти на шкале метку, соответствующую числам: три — четыре —

один,

два — нуль — два и т. д.

1.12

1,13

6,55

6 ,6 0 .

у 111| I М |||'|К ||111|Ш

1|||||Ф |1м1'1

T T W fT

I

1,1I

1-2

о

Рис. 66.

После того как

приобретен навык

правильного и быстрого чте­

без цифр, необходимо научиться читать

и

устанавливать

метки,

ничем на шкалах не обозначенные,

т.

е. выполнять

«интерполяцию

на глаз».

требуется прочитать метку, установлен­

Так, например, пусть

ную индексом (рис. 66,а ).

Индекс здесь находится между метками

1,12 и 1,13 на

шкале С;

цена деления 0,01. Между меткой

1,12

и индексом чуть

больший

промежуток, чем

между

индексом

и мет­

кой 1,13. Оценивая их как 0,6

и 0,4

всего деления, видим, что к бли­

жайшей левой метке надо

прибавить

еще

0,6-0,01 =0,006.

Таким

образом, метка индекса здесь

1,12 +

0,006 =

1,126.

6,60.

На рис. 66,6 индекс

находится

между

метками 6,55 • и

Принимая промежуток между

меткой

6,55

и

индексом, равным 0,8

иногда движок

перемещают влево, а иногда — вправо.

на

П р и м е р

1.

Пусть надо умножить 3 на 2.

Ставим индекс

цифру 3 шкалы D ,

под индекс ползунком подводим единицу — начало

шкалы С;

затем

переводим индекс на цифру 2

шкалы С и под

ним

на шкале

D читаем полученное произведение: 6.

П р и м е р

2. Пусть надо умножить

9 на 5. Ставим индекс

па

цифру 9 шкалы D . Под индекс

подводим

начало шкалы

С; так

как

цифра 5 шкалы

С выходит за

пределы

шкалы D ,

то

под индекс

подводим конец шкалы С ; затем

переводим индекс на

цифру 5 шка­

ными способами.

Способ

прикидки с

помощью грубого

П е р в ы й

с п о с о б .

округления.

При умножении 0,0267 • 32 на линейке читаем: 8—

П р и м е р .

7—3. Грубый подсчет дает:

0,03 • 30 = 0,9. Поэтому ответ будет 0,873.

В т о р о й

с п о с о б .

Порядок

произведения

равен сумме поряд­

Для

лучшего

запоминания этого

правила

используют

запись на

линейке

справа

Р — 1 (если

ползунок выдвинут вправо, то

Р = Я ]+

-|- Р 2 — 1, где

Р

— порядок

произведения,

Р х и Я2,

соответственно,

порядки

сомножителей).

П р и м е р

1.

Умножить 4,3 • 3,4. На линейке читаем 1—4—6—2.

Порядок

первого сомножителя

1, порядок второго 1;

ползунок выдви­

нут влево. Порядок произведения равен 1

+

1 = 2 .

О т в е т .

14,62.

0,026 • 32.

На

шкале

читаем 8—3—2;

П р и м е р

2.

Умножить

порядок

первого сомножителя

равен

— 1,

порядок второго

сомножи­

теля 2.

Ползунок

выдвинут

вправо.

Порядок произведения равен:

—1 + 2 — 1 = 0 .

О т в е т .

0,832.

Если надо перемножить 3; 4; 5 и т. д. чисел, сначала находят произ­

ведение

первых двух, затем,

не читая

это произведение, умножают его

данное число и т. д. Эти

операции

продолжают, пока

не исчерпают

все сомножители. Положение запятой

в результате дает прикидка.

П р и м е р

3.

Умножить 23,4 ■0,765 • 388.

На шкале читаем 6—

9—5;

делаем

прикидку

20 • 0,8 • 400 =

6400 и тогда окончательное

произведение

будет 6950.

2. Деление. Это действие выполняется так.

шкале D , устанавли­

На линейке

против делимого,

взятого

на

вают

делитель,

который

берут

на

шкале

С ;

против

левого

(или

правого) конца шкалы С читаем

на шкале D результат.

так

При делении

можно

получить

результат

как

под правым,

и под левым концом шкалы движка.

прикидкой

или

по формуле

Запятая в результате

определяется

Q =

Q, — Q o,

если

ползунок выдвинут

влево,

или

по формуле

Q =

= Q, — Q2 +

l,

если ползунок

выдвинут

вправо.

Здесь Q 1 — поря­

док делимого,

Qo — порядок делителя,

Q — порядок

результата.

Порядок квадратного кормя равен

числу

вгсх его

гранен слева

ог запятой (включая и неполные), если

подкоренное число

не мень­

ше 1, и числу

чисто нулевых граней,

справа

от запятой,

если оно

меньше 1, взятому со знаком минус (при этом «нуль целых»

за грань

не считается).

П р и м е р

1. ] / (-).000000534 =0,000731. Здесь порядок подкорен­

ного числа равен —6. Устанавливаем

подкоренное число на правой

подшкале.

нулевых

Подкоренное число меньше единицы и число его чисто

граней равно 3; значит порядок корня будет —3.

П р и м е р

2. |/0,(Н)074 = 0,0272.

Здесь

порядок

подкоренного

число меньше

единицы, а число чисто нулевых граней равно

1, то

порядок результата будет равен —1.

П р и м е р

3. V*" 176,2 = 13,28. Здесь порядок подкоренного

чис­

его граней

слева от запятой равно 2, то и порядок результата

также равен

2.

корня.

надо найти метку на шка­

Чтобы данное число возвести в куб,

ле D

и прочесть

противостоящую

метку

на шкале К -

Шкала

кубов разбита на три одинаковые подшкалы (левая,

средняя и правая).

с т е п е н и

какого-либо числа (Я) опре­

П о р я д о к

т р е т ь е й

деляется

по формулам

(р— порядок

основания):

1) Р

— З р — когда

результат читаем

на правой подшкале кубов;

2) Р

=

3 р — 1 — когда

результат

читаем

на

средней

подшкале

кубов;'

3)

Р

=

3 р — 2 — когда

результат читаем

на левой

подшкале

кубов.

а)

203 =

80С0.

Результат

читаем

на левой под­

П р и м е р ы.

шкале, следовательно,

порядок его равен 2 - 3

— 2 =

4.

подшкале, сл

б)

0,3153 = 0,0313. Результат читаем на средней

довательно,

его порядок равен 0 - 3 — 1 = — 1.

Чтобы

извлечь

кубический корень из числа, надо найти его метку

на шкале К и прочитать противостоящую метку

на шкале D .

Чтобы

поставить подкоренное

число

на линейке, разбиваем его

мысленно на грани

по

три

цифры

так,

чтобы

запятая

находилась

между гранями. Если последняя

справа

грань

окажется

неполной,

к ней

нужно приписать одни или два нуля,

чтобы она стала полной.

Неполней

может

оказаться и первая слева

грань.

В соответствии

с тем,

имеет ли первая

грань одну, две или

три

цифры,

подкорен­

ное число ставят на левую,

среднюю

или

правую

подшкалу

кубов.

П о р я д о к

к о р н я

т р е т ь е й

с т е п е н и

определяется по

формулам:

1)

Р = S - h ------когда

индекс

на левой

подшкале /(;

2)

Р =

Р - н

когда

индекс

на средней

подшкале К \

з

3) Р :

О — когда

индекс

на

правой

подшкале К ■

П р и м е р ы ,

а)

у 8000 =

20. Первая слева грань подкоренного

числа

имеет одну

цифру,

следовательно, эго

число ставим

на

левую

подшкалу. Порядок

результата равен

4 -J- 2

—-— = 2 .

б)

у ' 0,000025 =

0,0292.

Первая слева грань (грань, состоящую из

одних

нулей, не принимаем

во внимание)

имеет две цифры, следова­

тельно,

подкоренное

число

ставим

на

средней

подшкале

кубов.

п

результата

равен

—4 +

1

.

Порядок

---- ----- —1.

термин

«логарифмы». Вычисленные нм таблицы

вышли

в

свет

в -1614 г.

под названием «Описание удивительных

таблиц

логариф­

мов»; они содержали, кроме логарифмов чисел от

1 до 1449,

также

число

10.

«Логарифмическую

арифметику»,

В

1624 г. Бригг опубликовал

которая содержала

14-значные логарифмы чисел

от 1

до 20 000 и от

90 000

до 100 000.

Составление

этих таблиц

потребовало затраты

своей

системы

Спейдель избрал число е:

от

принятых

в настоящее

время

натуральных логарифмов эта

система отличалась

лишь мно­

жителем 10е.

голландский математик Адриан

Влакк

опубликовал

В

1628 г.

десятизначные

таблицы логарифмов

от

1

до

100 000,

а несколько

н облегчением

вычислений работал в

Праге

великий астроном

Иоганн Кеплер

(1571—1630) и швейцарский часовщик Иост Бюргн

(1552— 1632). Разработанная ими система

была опубликована Бюргн

в 1620 г. под названием

«Арифметические и геометрические таблицы

прогрессий вместе с основательным поучением, как их нужно

пони­

мать и с пользой употреблять во всевозможных

вычислениях».

Таб­

лицы содержали

члены

арифметической

прогрессии с разностью 10

но описание ее опубликовал

лишь в 1632 г., а двумя годами

позже

он изобрел прямую линейку.

Около 1630 г. ученик Аутреда

Ричард

угольная

линейка.

В 1787 г. Уильям Никольсон (1753—1815) пред­

ложил ряд усовершенствований, придавших линейке почти современ­

ный вид.

В середине XIX в. усовершенствованием логарифмической линейки

занялся

известный

французский геометр н механик Амеде Манн-

гейм (1831—1906).

Предложенная им линейка находится в примене­

нии до настоящего времени. Изменения в конструкции линейки после

1850 г. касаются лишь

незначительных частностей.

§ 41.

Числовые

последовательности

1.

Определения. Ч и с ло во й

п о с л е д о в а т е л ь н о с т ью называют функцию