книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

§ 37.

Показательные и

логарифмические уравнения

1. Показательные уравнения.

П о к а з а т е л ь н ы м и

уравнениями на­

зывают такие

уравнения, в которых неизвестное

входит в показа­

Однако можно указать

несколько групп

уравнений', которые могут

быть решены методами элементарной математики.

на

следующих

Решение

показательных

уравнений

основано

теоремах.

основания

двух степенен равны и степени равны, причем

1) Если

основания а

> 0

и а Ф 1 , то показатели степеней также

равны,

т. е.

если а т

= а п ,

то т =

п .

2. Если у равных степеней равны и отличны от нуля показатели

степени, то равны и основания степенен,

г. е. если а т =

Ь'п , т

ф 0,

то а = Ь (имеются в виду положительные а и Ь).

Теперь рассмотрим основные типы показательных уравнений.

а) П р о с т е й ш и е п о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я .

П р о ­

с т е й ш и м

п о к а з а т е л ь н ы м

у р а в н е н и е м называется

уравнение

вида

а х — Ь,

где

а

— отличное

от

1

положительное число.

При

О

уравнение решений не имеет,

так как при действительных значениях

х степень а х

не может быть отрицательным числом или быть равным

нулю. При Ь >

0 это уравнение

имеет единственное

решение.

а? <А) = 6,

где а — отличное от 1 положительное

число,

а

9

(а ) — элементарная

алгебраическая

функция.

это уравнение приво­

Введением

нового неизвестного

и

=

9 (а )

дится к простейшему показательному уравнению

а и = Ь.

П р и м е р .

Решить уравнение

2 A * ~ 6 х — 2 , 5

=

16 1^2.

Р е ш е н и е .

Первый

способ:

i

2 Х*

~

2.5 _

»

i)X*— G x— 2,5

_ 24 . 2"а •

2 * ,

Откуда

дга — бдс — 2,5 =

4,5,

или

Jt2

— 6 jc— 7 =

0.

Тогда

х j = 7 , х 2 = —1 .

Второй способ.

(х* — 6 х — 2,5) ig 2 = Ig 16 / 2 ;

( * 2

— 6* — 2,5) lg 2 =

4,5 lg 2.

Отсюда

х 2 — &х — 2,5 =

4,5,

или

&х — 7 = 0

х 2 —

и т. д.

в)

П о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я в и д а

а 1 М =

Ь?(х)'

где а

и Ь — отличные от

1 положительные числа, а / ( х )

и f

( х ) —

элементарные

алгебраические функции.

Это уравнение приводится к равносильному уравнению

/(л )

logc а =

<р(л-) logc Ь.

Если а и Ь — степени

какого-нибудь

числа с, т.

е.

а =

с ' р , Ь =

= c Q,

то уравнение можно

записать

так:

g P lW

_

с чч(х)

и его решение приводится к решению

равносильного

ему

урав­

нения:

Р / М =

<7? (■*)•

Л— 1

П р и м е р

1.

Решить

уравнение 4

2

Р е ш е н и е .

Запишем

уравнение так:

2 . ^ z l

23(Л;,“

Отсюда

2

2 =

1).

2(* ~ - '? = 3 ( * » - 1 ) ,

лг, =

1,

П р и м е р

2.

Решить

уравнение

4 * - 3 ^ = 3 ^ - 2 ^ - ' .

Р е ш е н и е .

Запишем

уравнение так:

2 2 * + 2 2 *-» = 3

*+4-

х — j

2 + 3

2 .

Отсюда

2 av 1 (2 +

1) =

3

(3 4-

1),

22к

1 • 3 =

3Л

2 -4 ;

28*-1

2 л — 3

4

3

Прологарифмировав, получим

(2 дг

— 3) Ig 2

=

lg 3.

Тогда

значит

3

2а — 3 =

0,

г) П о к а з а т е л ь н ы е у р а в н е н и я в и д а

F [?(•'■)]= 0,

где со (а ) — некоторая

показательная

функция,

a

F — элементарная

алгебраическая

функция. Полагая ср (а )

= и ,

получаем

уравнение

F (и ) = 0. Если

tu U ,

. . . , t s — действительные

решения последнего,

то решение уравнения

Е [ ш (а )]

=

0 приводится к решению уравнений

<р (х ) = U

(< = 1 , 2 , . . . . s).

П р и м е р.

Решить уравнение

Р е ш е и и е.

Так

как 3r +

3 =

З3

• 3*

и 31' + 2

=

З2

• 3-*, то уравне­

ние запишем так:

Умножив обе части

уравнения на З2

• 3 х , получим:

35 . з2а — З2 • 3* — 2 = 0.

Полагая 3x = t, получаем

квадратное

уравнение

З5 ^ 2

— 3Ч — 2 =

= 0. Отсюда

2

>

1

= — 2 7

Уравнение

3r

=

— ^

решений не имеет; уравнение

3х = —

имеет

решение

х

=

—2.

Следовательно, данное

уравнение имеет

решение х = —2 *.

2.

Логарифмические уравнения. Л о г а р и ф м и ч е с к и м и у р а в н е н и я м и

называют такие

уравнения,

в которых неизвестное

входит

под знак

логарифма.

сильны:

и lg А — lg В ;

а) А = В

б) ig(/lS) = lgC

и lg Л + lgfi = IgC;

в) lg g- = lg С

и lg Л — lg В = lg С;

г) lg А п = С

и ' п lg А = С .

logo л- =

Ь,

где а — отличное от 1

положительное

число. При всяком действи­

тельном b уравнение имеет единственное решение: х

= а ь .

П р и м е р .

Решить

уравнение

l g x = 2 — lg5.

Р е ш е н и е ,

х > О,

lg х = lg 100 — lg 5 =

lg

= lg 20; х

=

20.

а) Л о г а р и ф м и ч е с к о е у р а в н е н и е в и д а

logo / {х)

=

Ь,

где а — отличное от 1

положительное

число, а /

( х ) — элементарная

алгебраическая

функция.

уравнение приводится к простей­

Введением неизвестного t = / ( х )

шему логарифмическому

уравнению

logo t — b.

* Еще лучше было бы заменить: 3х ' " =

у .

П р и м е р

I. Решить

уравнение Iog3(A2 — 7jc -f- 21) =

2.

Р е ш е н и е .

Область

допустимых значений

для а — пси число­

вая ось, так как а2 — 7а- +

21 >

0 при любом дг (дискриминант О < 0).

По определению логарифма

а 2 — 7аг + 21 = 3 2, а 1 = 3, а 2 = 4.

П р и м е р

2.

Решить уравнение log.v—j (а:2 — 5а -|- 2,25) = 2.

Р е ш е н и е .

Область допустимых значений неизвестного опре­

деляется из условий:

х

— 1 >

0,

х

— 1 Ф

1;

a 2 —

5jc +

2,25 >

0.

Следовательно, х > 4,5.

приводится

к решению

уравнения

Решение

данного уравнения

или

а2 — 5а +

2,25 =

(а —

I)2,

а = -^ не входит в область допустимых значений.

Уравнение не имеет действительных корней.

б )

Л о г а р и ф м и ч е с к о е у р а в н е н и е в и д а

lo g fl /

(X)

=

loga <Р(а ),

где а — отличное

от 1

положительное

число,

/ (дг) и и (дг) — элемен­

тарные

алгебраические

функции.

Данное

уравнение

приводится

к решению уравнения / ( а )

=

<р ( а ) .

Поэтому для

решения

уравнения

lo g a / (л-) = log, f

( х ) достаточно найти

все

решения уравнения / (а-) =.-—

= ip (,v)

н среди

них рыбрать те, которые относятся к области допус­

тимых

значений

уравнения

loga / (.v) =

Ioga <р (х ).

Если же

уравнение

/ ( а-) =

ср (л-) решений не имеет, то

их

не имеет и

уравнение

lOga / (А) =

logo ? (А).

П р и м е р

1.

Решить

уравнение

5 IgA =

X

3 Ig-^-.

Р е ш е н и е .

Область допустимых значений а

> 0.

Р е ш а я у р а в н е н и е а 5 = I "2” I » п о л у ч а е м x t

:ЛГ3 = 0 , хл

П р и м е р

2.

Решить

уравнение lg (2.г) = 2 lg (4лг— 15).

Р е ш е н и е .

Для

lg (2л-)

область допустимых

значений иеизвест-

иого х >

0;

для

lg(4.r— 15)

иМеем

4л:— 15 > 0,

или х >

15

Сле­

— .

довательно,

область

допустимых

значений

неизвестного

уравнения

будет х >

3

3— . Преобразуем данное уравнение:

lg (2.V) =

lg (4а — 15)2;

2л: = (4а-— 15)2,

16а-2 — 122v +

225 =

0.

Значит,

9

лг2 =

1

Так

как д-2

не принадлежит области

= -jr-,

3 -5-.

допустимых значений уравнения, a

удовлетворяет,

уравнению,

то

уравнение имеет единственный корень:

9

в) Л о г а р и ф м и ч е с к и е у р а в н е н и я в и д а

logo Л (х ) -Ь logo / 2 ( . * ) + . . . +

logo f s (Л -)

=

=

logo <Pi ( x ) -f- logo tp2 (Л.-) +

. . .

-f- logo tpm (.v),

где a — отличное

от

1 положительное число, а / у ( а ) (i

=

1 ,

2 , . . .

s),

9/ (■*)(/= 1 . 2,

. .. ,

m ) — алгебраические функции; при этом некоторые

из них могут быть постоянными числами.

вида

Уравнения такого вида приводятся

к уравнению

f x

(•*) /з (*)•■■

f s ( х ) =

9 i ( х ) 9 , (лг)

. . . срш (х).

- П р и м е р

1.

Решить

уравнение

lg (За — 11) _(_ lg (а — 27)

3.

. .

Р е ш е н и е .

Найдем

сначала

область

допустимых

значений

для х :

З х — 1 1 > 0 , л: > З-5 - ;

О

х — 27 > 0.

х

> 27.

Заменив 3 =

lg 1000,

уравнение перепишем так:

lg[(3.v— 11") (.ic —

— 27)j =

lg 1000,

отсюда

(&т — 11) (а — 27) =

1000,

или

За 2 — 92* —

— 703 =

0, xt =

37, л"2

19

19

не

принадлежит

------ — . Так как а2 =

---- q-

О

о

корень х = 37.

2.

Решить уравнение

П р и м е р

lg (2.v) + lg (л- + 3) =

lg 2 +

lg (6л- -

2).

Р е ш е н и е .

Область допустимых

значений для

lg (2а) : 2а- > 0 ,

а > 0;

lg (а +

3) : а + 3 >

0,

а > —3;

lg (6а — 2) : 6а — 2 > 0, а > -Ь .

О

Общая область допустимых значений

будет а

>

.

Уравнение принимает вид а (а +

3) =

6а — 2,

О

За + 2 =

или а 2 —

= 0, отсюда x L =

2, х2 = 1.

Оба эти

значения принадлежат области

определения и оба они являются решениями данного

уравнения,

г)

Л о г а р и ф м и ч е с к и е у р а в н е н и я в и д а

F [g(-v)] =

0,

где g (а ) — логарифмическая функция, a F — элементарная

алгебраи­

ческая.

Для решения уравнения вводят переменную t — g

(а ). Тогда

данное

уравнение

приводится к уравнению F (t ) =

0.

0.

П р и м е р

1.

Решить уравнение

(IgA — 5) lg a 3 -f- 18 =

Р е ш е н и е .

Область допустимых значений а > 0. Так как lg х3=

+ 18 = 0.

|g A =

/, получим:

Полагая

3/(1 — 5) +

18 = 0,

/2 — 5 / + 6 = 0 , /х =

2,

/2 = 3 .

Решив уравнения IgA = 2 и lg x = 3 ,

получим

решения

данного

уравнения

=

100 и а 2 =

1000.

П р и м е р

2.

Решить

уравнение

(log2A)2 — log2A — 2 = 0 .

Р е ш е н и е .

Область

допустимых

значений

а

> 0.

Положим

log-j а = г, откуда

г2 — г — 2 = 0 , г2 = + 2 , г2 = —1,

logs х — 2, х \ = 4; log., a

= — 1

1

П р и м е р

3.

Решить уравнение

log6 log4 log3 x = 0.

Р е ш е н »

e.

Перепишем уравнение так:

logj Iog3A = 1.

Записывая

это уравнение так: log, (Iog3.v) = 1, получаем logsх =

= 4, откуда х

= З4 = 81.

уравнения, в которых

неизвестное входит

и

под

знак

логарифма

и в показатель степени.

уравнения решают

лога­

Обычно показательно-логарифмические

рифмированием обеих частей уравнения, после

чего

получают

лога­

рифмическое уравнение

или преобразовывают

уравнения

так,

чтобы

получились степени с одинаковым основанием.

Рассмотрим

несколько примеров таких уравнений.

П р и м е р

з-lg-f-

= 900 .

1. Решить уравнение х

0

Р е ш е н и е .

Логарифмируя обе части

уравнения, получаем:

IgA

3 + l g 3 ± / ( l - l g 3 ) * .

2

решив которую,

получим

•^1=3,

у 1 =

1

х 2 =

1

3.

у ;

-д- - Уг =

П р и м е р 2. Решить систему

уравнений

I

1оёа дг +

loga y =

2,

1

l°g„ X — logb у

=

4.

Р е ш е н и е .

Считаем,

что основания

логарифмов а и £> и неиз­

вестные величины л и у положительны.

Потенцируя,

получаем

х у =

а 2,

—

=

Ь4.

У

Эта система имеет два решения:

X i =

a b \

Ух =

; х 2 =

—a*2,

y 2 =

—

± L .

Р е ш е н и е .

Так

Kaj^ 2У

=

29,

то получаем

Ух + Уу = 9.

С

другой стороны, I g V x i /

= lg 10-f- lg2,

Ig У х у

= Ig 20, т. e. У х у —

=

20.

Таким

образом,

приходим к системе уравнений

(

У х

+

У у

=

9,

I

V x

■ У У =

20,

решив

которую, получим:

* i= 1 6 ,

y L — 25;

х2 =

25,

у а =

16.

П р и м е р

4.

Решить систему уравнений

Г 9Г+У =

729,

\ 3*—

i =

1.

и

Р е ш е н и е .

Так

как

729 =

93

и

3® =

1,

получим 9*+^ = 93

=

3°,

откуда

имеем:

= 3,

I х - \ - у

1 х — у —. 1 = 0.

Эта система уравнений имеет решение: х — 2 ,

у =

1, являющееся

также решением данной системы.

П р и м е р

5.

Решить систему уравнений

/

14* — 63i/ =

0,

\

17* — 8 7 у

= 0 .

Р е ш е н и е .

14* _

17* _

Тогда

~

т ~

у ’

W

~

y '

,

63

1 4 * _ 1 7 *

М _ 63

g 87

63 _ 87 ’ \ п )

~ 8 7 ’ Х g 1 7 ~ lg 8 7 ’ х

1,66.

1 14

Из'уравнения

14* = 63у находим у .

l g l7

У

~ .

141,во

1,28.

63

П р и м е р

6.

Решить систему

уравнений

х —у

х —у

2 2 — 2 4

= 12,

3>g(2У - Х )

_

I