книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

а)

5 logo л- — 6 =

2 log2 а.

3 log-2

а =

6,

logo а =

2,

а = 22 =

4;

б)

Iog3 а = 4 ±

]

/

Г4 -

2

=

4

±

1

,

(log3 а)! =

2, (log3 х)2 = 1,

х х = 3= = 9 и х2 = З1 = 3.

5.

Переход

от одного

основания

логарифмов к другому. Есл

надо перейти от логарифмов с

основанием а

к логарифмам

с основа­

нием

Ь , пользуются

следующим

тождеством:

1° ^

Л/ =

ь Ь

- 10баЛ'-

Множитель

^

— -у

называют м о д у л е м

п е р е х о д а .

Рассмотрим более подробно, как переходить от десятичных лога­

рифмов к натуральным и наоборот.

числа N

найти его

Чтобы по известному десятичному логарифму

натуральный логарифм, нужно разделить десятичный логарифм числа N

на десятичный логарифм числа е (последний равен 0,4343...).

Величина

lg е =

0,4343...

называется

м о д у л е м

д е с я т и н н ы х

л о г а ­

р и ф м о в и обозначается буквой

М , так

что

' \ n N = ± - \ g N .

Например,

из таблиц десятичных логарифмов

имеем (см. стр. 31):

lg 2 =

0,3010. Отсюда 1п 2 =

- ^ -

• 0,3010 = 0,6932.

Чтобы

по

известному

натуральному

логарифму

числа

N

найти

его десятичный логарифм, нужно умножить

натуральный

логарифм

на модуль десятичных логарифмов М

= lg е:

lg N

—

lg е • In N

= М

■ \ r \ N

=

0.4343ЛЕ

Например,

In 3 =

1,0986, а отсюда

l g 3 = M • 1,0986 = 0,4771.

Очень часто в логарифмических преобразованиях пользуются

также следующими

формулами:

Пг

log bna n =

logb a;

I

I

.

loga b a n = = J-'>

Iogflft b = —

logo b =

П р и м е р

1.

Что больше,

log4 3

или logle 9?

P e ш e и и e. Используя формулу login a n

= log;, а , получаем

logu 9 =

log4,3 2 = log*.

Г1 р и м е р

2. Вычислить

Iog y -g 8, зная,

что Iog2 3 =

а.

Р е ш е н и е .

lo g ^ 8 =

!

1

6

£

iog3 64

logs* 3

log2

3

a

logo4 3

входящих в это выражение. Это можно

сделать, используя теоремы

о логарифме произведения, частного, степени и корня.

Л о г а р и ф м п р о и з в е д е н и я р а в е н с у м м е л о г а р и ф м о в с о м н о ж и т е л е й :

log (a b ) =

log а +

log Ь.

Л о г а р и ф м ч а с т н о го ( д р о б и ) р а в е н р а з н о с т и л о г а р и ф м о в д е л и м о г о

и

д е л и т е л я :

lo g y = log а — log b.

Л о га р и ф м с т е п е н и р а в е н п р о и з в е д е н и ю п о к а з а т е л я с т е п е н и н а

л о г а р и ф м ее о сн о ва н и я :

logam = т logo.

Л о г а р и ф м к о р н я р а в е н ч а с т н о м у о т д е л е н и я л о г а р и ф м а п о д к о р е н ­

н о г о ч и с л а н а п о к а з а т е л ь к о р н я :

‘

log у Б

= !°1 £ .

т

П р и м е ч а н и е .

При логарифмировании алгебраических выраже­

ний надо иметь в виду, что

логарифм

суммы не

равен

сумме лога­

рифмов, т. е.

нельзя

вместо

log (а + 6)

писать log а +

log Ь. Нельзя

также вместо

log (а — Ь ) писать

log a —.log 6.

проиллюстрируем

Логарифмирование алгебраических

выражений

на примерах.

Прологарифмировать следующие

выражения:

П р и м е р ы.

г )

х * = Ъ Ь с \

log х

=

log 3 +

log b -J- log c.

11*

323

б)

V=

~

; log Л- =

log а — log (be) = log a — (log b +

log c) =

= log a — log b — log c.

в) a- =

a3b2;

log a =

log a3 +

log b2 — 3 log a -f- 2 log b.

r ) x = V

&

c ’ log -v = T

log W e = T (log 0:1 -

log 2lj2c) =

=

-i- [3 log a — (log 2 +

log b2 -\- log c)l =

~

(3 log a — log 2 —

— 2 log b — logc).

д) a =

15p2 Y 2 p 2 (p — q)3\

log a = log 15 +

2 log p +

. 1 1 ]og 2

+

2 log p + 3 log (p — ?)] =

log 15 +

2 log p +

~

log 2 + у log p-|-

+

3

5

1

3

-J log (p — 9) = log 15 +

Y log p + Y log 2 + Y log (p — q).

е)

x =

6°

5 ( a — 7)2>)C;

1оё х =

l° e ^ +

^ g a +

- ^ - llo g 2 + h g ( a —,b)+

+

log c] — log 5 — 2 log (a — b) — log 6 -f- log a +

~

log 2+

+

y

log (a — b) - f i

log c — log 5 — 2 log (a — b) =

log 6 -f log a -|-

+ y

log 2 —

log (a — b) + -i-lo g c — ]og5.

V

a V a ] / a

]

1

j

ж) a

log a = y

log a

^ loS a _b y

lo6 a —

а) log а =

5 log с — y log d\

б) leg л =

log b -----—log (6 — с) -)- m log (b -f c);

б)

log x =

log b + log (b — C )

rn

+ log (b +

c )m =

= log [b Ф

— C ) ~ ~in

(b

c)m Y,

jc = ft^

+

c)m.

mr~.------

у

b

— c

в)

log* =

2 / 2

5

\

+

b )

=

у

l y log a + у

log b 1 — log (a

i

1

4

1

0156 3

_ a '5b ■'

= jg log a +

у

log b — log {a -f- b )

= log a +

b

'

X ~~ a-(- 6

§ 36.

Десятичные логарифмы

I.

Свойства десятичных логарифмов,

а)

Л о га р и ф м

ц е л о го ч и с л а ,

и з о б р а ж е н н о го

е д и н и ц е й с

п о с л е д у ю щ и м и

н у л я м и ,

есть,

ц ело е п о л о ж и ­

т е л ь н о е ч и с л о ,

со д ер ж а щ ее с т о л ь к о е д и н и ц ,

ск о л ьк о н у л е й в д а н н о м

ч и сле .

IglOO =

2;

Ig 10 000 =

4.

П р и м е р ы .

б) Л о га р и ф м д е с я т и ч н о й д р о б и ,

и зо б р а ж а ем о й е д и н и ц е й с п р е д ­

ш е с т в у ю щ и м и

н у л я м и , ест ь ц ело е

о т р и ц а т е л ь н о е

ч и с л о , со д ер ж а щ ее

с т о ль к о о т р и ц а т е л ь н ы х е д и н и ц ,

с к о л ьк о н у л е й в и з о б р а ж е н и и д р о б и ,

с ч и т а я и 0 ц е л ы х .

—5;

lg 0,001

=

—3.

П р и м е р ы.

Ig 0,00001 =

в) Л о г а р и ф м р а ц и о н а л ь н о г о ч и с л а , к о т о р о е н е я в л я е т с я с т е п е н ь ю

10 с ц е л ы м п о к а з а т е л е м ( п о л о ж и т е л ь н ы м ,

о т р и ц а т е л ь н ы м и л и н у ­

пым, так и иррациональным

числом(1.. Например, Igy^ 100 == -L Ig 100=

= у

(рациональное число),

Ig ]/3

lg 3 (иррациональное

число).

Целая

часть

логарифма называется его х а р а к т е р и с т и к о й ,

а дроб­

ная — м а н т и с с о й .

г)

Х а р а к т е р и с т и к а

л о г а р и ф м а ч и с л а ,

б о ль ш его

е д и н и ц ы , н а е д и ­

н и ц у

м е н ь ш е ч и с л а ц и ф р его

ц е л о й

ч а ст и .

Ig 2000 =

3,...

П р и м е р ы ,

i g3,15 = 0,...; Ig375 = 2,...;

д) Х а р а к т е р и с т и к а л о г а р и ф м а ч и с л а , м е н ы и е го е д и н и ц ы , со д ер -

х с и т ст о л ь к о

о т р и ц а т е л ь н ы х е д и н и ц ,

с к о л ь к о н у л е й в э т о м ч и с л е

п р е д ш е с т в у е т

п е р в о й з н а ч а щ е й ц и ф р е ,

считая и нуль целых. При

этом мантисса логарифма положительна.

П р и м е р ы , lg 0,35 =

7,...;

lg 0,0054 = 3.......

е) О т у м н о ж е н и я ч и с л а

н а

10, 100, 1000........... во о б щ е н а е д и ­

н и ц у с п о с л е д у ю щ и м и н у л я м и ,

м а н т и с с а л о г а р и ф м а н е м е н я е т с я ,

в м н о ж и т е л е .

числа на единицу с нулями

мантисса

логарифма

От деления

не изменяется, а характеристика уменьшается

на столько единиц,

сколько нулей в

делителе.

дроби на

несколько

Поэтому перенесение запятой в десятичной

щих одну

и ту

же значащую часть, одинаковы.

что де­

2. Преобразование отрицательного логарифма. Известно,

сятичные логарифмы чисел,

меньших 1, отрицательны. Такие лога­

рифмы всегда можно преобразовать так, что

мантисса у них

будет

положительная,

а характеристика — отрицательной. Это выполняется

по следующему

правилу.

Ч т о бы

п р е о б р а зо в а т ь

л о г а р и ф м с о т р и ц а т е л ь н о й м а н т и с с о й

в л о г а р и ф м с п о л о ж и т е л ь н о й м а н т и с с о й ,

н а д о к х а р а к т е р и с т и к е

п р и б а в и т ь м и н у с е д и н и ц у ,

а к м а н т и с с е п р и б а в и т ь п л ю с е д и н и ц у .

торых даются десятичные

логарифмы всех

чисел с точностью до

трех, четырех, пяти и т. д.

десятичных знаков. Соответственно этому

их называют т р е х з н а ч н ы м и ,

ч е т ы р е х з н а ч н ы м и ,

п я т и з н а ч н ы м и и т. д.

всех целых чисел от 1

до

9999

включительно,

вычисленные с че­

тырьмя десятичными знаками.

Этими таблицами пользуются так.

трехзначного

числа

П р и м е р

1.

Найдем десятичный логарифм

73,3.

Его

характеристика

1,

так

как

в числе 73

две цифры.

Чтобы

найти

мантиссу,

отбрасываем

запятую

и ищем

мантиссу

числа

733.

В столбце, обозначенном

буквой

N ,

находим

число

73.

Двигаясь

по строке, в которой находится

число 73, до

пересечения ее со столб­

цом, обозначенным цифрой 3,

находим

8651. Число

0,8651 и будет

искомой

мантиссой. Итак,

lg 73,3 =

1,8651.

П р и м е р

2.

Найти

логарифм

числа 5.

Его характеристика 0,

так как

число

содержит

одну

цифру.

Приписывая

к

5

два

нуля,

получаем трехзначное число 500 и' ищем, так

же

как

и выше,

его

мантиссу

6990.

Итак, lg 5 = 0,6990.

П р и м е р

3.

Найти логарифм числа 5,1.

части

одна

цифра.

От­

Его характеристика 0, так

как

в целой

тиссу: 7076. Итак,

lg 5,1 =0,7076.

П р и м е р

4.

Найти логарифм числа 672,3. Характеристика его

равна 2. Чтобы найти мантиссу,

не

принимаем во внимание запя­

тую, отбрасываем

крайнюю

правую

цифру 3 и ищем мантиссу лога­

рифма числа

672.

Она равна 0,8274. Затем находим

в столбцах по­

правок (крайние правые столбцы с цифрами

1—9) в столбце, обозна­

ченном

цифрой 3,

и в той

же

строке, что и число 67, поправку 2.

Поэтому

мантисса

данного

числа

получится

как

сумма 0,8274 -|-

-|- 0,0002 = 0,8276.

^

=

^

.Записывают это так:

+ 3

+ 2

lg 672,3 =

2,8276

П р и м е р

5.

Найти логарифм

числа 0,0057842.

Характеристика

увеличиваем на 1 в том

случае,

когда отбрасываемая пятая цифра

есть 5 или больше 5) и

вместо

57842

берем 5784. Для

логарифма

округленного четырехзначного

числа

находим мантиссу

так, как

было объяснено. Получаем

_

lg 0,0057842 =

3,7622.

указанного

положения,

находим поправку

с помощью пропорции:

Л-: 3 = 6

: 10, х = 3 * 6 я: 2 (десятитысячным).

Этот

способ нахождения промежуточного значения логарифма

по двум

рядом стоящим

в таблице его значениям называется

и н т е р ­

п о л я ц и е й ,

и л и и н т е р п о л и р о в а н и е м .

отыскания числа

по дан­

5. Отыскание числа

по логарифму. Для

отыскания логарифма по числу.

логарифм которого

равен

3,4683.

П р и м е р

1.

Найти

число,

Обращаемся

к таблицам

8

(см.

стр.

35),

и

в

одном

из

столбцов

под номерами 0—9 ищем число, первые две цифры

которого состав­

ляют

46,

а

две

последние

83

(пли

близкое

к 83

число), находим

ь строке 29, в столбце 4.

Значит,

число,

имеющее мантиссой

4683,

есть 294. Так как характеристика 3 положительна,

то в целой части

числа

выделяем 3 + 1

= 4

цифры. Для

этого

в конце

числа 294 при­

писываем нуль. Имеем 3,4683 =

lg 2940.

которого

равен

_

П р и м е р

2.

Найти

число

.v,

логарифм

3,3916.

Так

как

среди

мантисс

нет

числа 3916,

то

находим ближайшее

к нему

число

3909,

стоящее

на

пересечении

строки 24 и столбца 6 .

Этой мантиссе соответствует число 246; оно

дает первые три знача­

щие цифры искомого числа. Четвертую цифру находим,

вычисляя

поправку. Данная мантисса 3916 превосходит

табличную

3909

на 7.

Ищем

эту

цифру

па

тон

же строке 24 среди «поправок».

Она

стоит

в столбце

4.

Цифра

4

есть

четвертая

значащая

цифра

искомого

числа; число, имеющее мантиссой 3916, есть

2464.

Так как

харак­

теристика

отрицательна

и содержит

три

единицы,

то

перед найден­

ным числом

ставим

три

нуля

и стоящий

слева

нуль

отделяем

запя­

той. Имеем:

lg 0,002464 =

3,3916.

а: =

0,002464.

П р и м е ч а н и е .

Следует

твердо

помнить,

что

при

отыскании

числа

по

логарифму

поправку

этого

числа

приписывают

к нему,

а не

прибавляют

к его

последней цифре.

Однако отыскивать числа по известным

десятичным

логарифмам

лучше в таблице а н т и л о г а р и ф м о в (стр. 34).

Это та же

таблица ло­

кание числа по данному логарифму.

П р и м е р

3.

Найти число,

логарифм которого равен 2,732.

Отбрасываем

характеристику

и

берем первые две цифры мантиссы

(73). В строке 73

отыскиваем

число, стоящее в столбце 2. Находим

539,5.

4.

Найти

число,

логарифм

которого равен 1,3846.

П р и м е р

Отбрасываем характеристику и

берем первые две цифры мантиссы

(38). В строке

38 двигаемся до пересечения ее со столбцом, обозна­

ченным цифрой

4

(третья

цифра

мантиссы),

находим число 2421 и,

вок,

обозначенным

цифрой 6 (четвертая цифра мантиссы), находим

число 3. Два найденных числа

складываем: 2421 +

3 =

2424. Так

как

характеристика

логарифма

равна 1, то искомое

число

24,24.

а)

,3,1628

б)

7,8456

" Л ,2291

2,5164

' '

4,3919

2,3620

б)

В ы ч и т а н и е .

При вычитании

логарифмов с отрицатель­

П р и м е р ы .

а) _ 2,1582

б) _ 0,3724

в)

3,3284

1,3791

3,5492

2,3437

2,7791

4,8232

6,9847

а)

Г,7428

б) v

3,6735

______ 2

2 _____ 4

Т.4856

ТО,6940

г) Д е л е н и е .

При делении

рассматривают два случая.

Если характеристика кратна делителю, то надо отдельно делить

характеристику и отдельно мантиссу.

П р и м е р ы , а)

4,0568 : 2 = 2,0284;

б) ST,1314 : 2 = 1,0657.

Если характеристика не кратна делителю, то до характеристики

прибавляют столько единиц, чтоб получить отрицательное число,

кратное делителю, а к

положительной мантиссе прибавляют столь­

ко же положительных

единиц; после этого делят отрицательную

характеристику

и положительную

мантиссу отдельно.

П р и м е р .

- I

+ 1

3,6428 : 2 = (—3 +

0,6428) : 2 = (—4 + 1,6428) : 2 =

lg 0,045

=

2,6532

lg 7,513

=

0,8758

—lg 2,071 =

—l+1

—

—0,3162 =

1,6838

—lg 0,864 =

—i+ i

0,0635

—1,9365 =

lgx =1,2753'

л- =

0,1885.

Р е ш е н и е .

ig -v =

lg 8,367 +

Z

lg 0,6725 — 2 Ig 0,9658 —

и Ig 0,3575

lg 8,367

=

0,9226

=

0,9226

1

1 _i +l

1,9139

=1,9139

ylg0,6725 =

— • 1,8277 =

—2 lg 0,9658 =

—2 • 1,9849 =

—Ж

0,0302

—1,9698 =

_2-J-2

---- L|g 0,3575 = —4 - Г.5533 =

—Г,8511 =

0,1489

«Э

О

lg x

=

1,0156

x

=

10,36.

П р и м е р

3. Вычислить с помощью логарифмических таблиц

Р е ш е н и е . Непосредственным

логарифмированием

нельзя вы­

числить х ,

так как

выражение под радикалом

есть разность двух

чнсел

258,4

15.072 —

0,07288 '

Поэтому

сначала определим разность, для чего

вычислим отдельно

уменьшаемое и вычитаемое.

Пусть

15,072 = 1/;

258,4

0,07288

1)

Ig I/ =

2 lg 15,07 = 2 ■1,1781 =2,3562; у — 227,1.

2)

lg г =

у

(Ig 258,4 — lg 0,07288) =

-i- (2,4123 — 2,8626) =

= ~

■3,5497 = 1,7749;

г = 59,55.

3) у — г

=

227,1 — 59,55 =

167,55.

4) х = 3,525 У

167,55.

l g * =

lg 3,525 +

4" Ig 167,55 =

0,5471 + у • 2,2243 =

1,6593-

О т в е т ,

л- = 45,63.