книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

чений л-, если — > 0;

если же — < 0, то она

определена для всех а ,

Я

Я

р_

кроме а = 0. Если

q нечетное, то функция у

= а я четная при чет­

ном р и нечетная

при

нечетном р.

На рис. 51—53 даны графики степенных функций

при

показате-

1

1

2

лях соответственно -у , -g-,

.

При любом п Ф 0

степенная функция неограниченна,

график

каждой из этих функций проходит через точку (1, 1).

определена

Если л — число иррациональное, то функция у

= х

п

только для положительных

значений аргумента х

(или

для неотри­

цательных а , если п >

0).

6 . Показательная функция. Ф у н к ц и я , к о т о р у ю

м о ж н о

в ы р а зи т ь

с четным знаменателем, то а х имеет

два действительных значения,

например

9 2 имеет два значения: 3

и —3. Однако значения функ­

ции у = а х

берутся только положительные: каждому действительному

Он неограниченно

приближается

к оси абсцисс, но не достигает ее.

Графики функций у

= а х и

/

1V

у = I — I симметричны относительно оси

П р и м е р 1.

Решить систему

уравнений (графически)

j

х — у

=

0 ,5 ,

I

2 х +

З у

=

6.

Р е ш е н и е .

Каждое из этих уравнений линейное, следовательно,

их графики — прямые линии. Строим

на одной координатной плос­

кости графики

этих

уравнений

(рис.

55). Они

пересекаются в од­

ной точке с координатами 1,5 и 1.

О т в е т . Данная система имеет

одно

решение:

jc = 1,5,

у = 1.

Р е ш е н и е . Данные уравнения

можно

преобразовать так:

2

= х +

1.

1/ = — и у

Они

пересекаются в двух точках (1; 2) и (—2; —1).

О т в е т . Система имеет два решения: x t = 1; у ^ = 2 и х а = —2;

у 2 =

— 1.

П р и м е р 1.

Решить графическим способом уравнение

Xs — 2л- — 4 = 0.

Р е ш е н и е .

Представим данное уравнение в виде

х 3 = 2 х + 4.

О т в е т .

Данное уравнение

имеет одни

действительный корень

л = 2.

2. Решить уравнение

П р и м е р

а 1 — а + 2 = 0.

Р е ш е н и е . а 4 = а — 2.

Рассмотрим систему

Построив графики каждого

из уравнений

(рис. 58), видим, что

они не имеют общих точек.

действительных решений не имеет.

О т в е т .

Данное уравнение

П р и м е р

1.

Решить

неравенство

л’2 — х

— 2 < 0.

Р е ш е н и е .

Построив график функции у

= х

2 — х — 2

(рис. 59),

видим, что у

отрицательный только при

— 1 <

А- < 2.

О т в е т . — 1 < а < 2 .

неравенство

П р и м е р

2.

Решить

2 '4 -2 < З а + 5 .

Р е ш е н и е .

Разделив обе

части

его на

4, получим 2 х

<

~ х - { -

5

. Обозначим

у 1 = 2 х ,

у.,

—

3

а +

5

коор­

+

—

— и построим на одной

динатной плоскости графики

этих двух функций

(рис. 60).

Как ви­

дим,

y i меньше соответствующего значения у «

для

х из промежутка

( - 1 ; О-

О т в е т . —1 < х < 1.

Обозначение:

loga A f=A . Таким образом,

по определению, если

х =

loga N ,

то a x

= N , или a }°S a N =

N . Основание а предполагается

положительным и не равным единице.

8; log3 0,25 =

—2, так как

П р и м е р

ы. iog2 8 =

3,

так

как

23 =

2“ 2 = — =

0,25.

Знаком

lg

без

указания

основания

обозначается

д е с я т и ч н ы й

логарифм, т.

е.,

логарифм при основании 10,

знаком log

без

указания

основания- - логарифм

по

произвольному

основанию

(в пределах одной формулы это основание

мыслится одним и тем же) *.

* Для теоретических исследований наиболее

пригодным основанием лога­

рифмов является иррациональное число е =

2,71828183... (В высшей математике

буквой б обозначают П т ( 1 +

—

\ п .

Логарифмы

с

основанием

е

называются

П-+- оо \

п

‘

нат уральны ми логариф мами.

Их

принято

обозначать

символом

In. Например,

In А-

обозначает то же, что и loge х.

отношение,

apiOjxoc — число. Слово «логарифм», таким образом, в бук­

вальном переводе обозначает число, изменяющее отношение.

2. Логарифмическая функция. Функция, которую можно выразить

формулой у

= loga л-, где х — аргумент, а а

Ф 1 положительное число,

называется л о га р и ф м и ч е с к о й ф у н к ц и е й .

Примеры логарифмических функций:

у = Iog2 х , у = log. х , у =

logi0 *.

Логарифмическая функция

y — l o g a x обратная

показательной

функции у — а х . Поэтому их

графики симметричны

относительно

биссектрисы

первого и третьего координатных углов (рис. 61).

На'рис.

62 даны графики следующих логарифмических функций:

у = log., А-, у = \o g j_ X И у = logs X.

2

4.

Решение примеров

с

использованием

свойств логарифмов.

П р и м е р

1. Исходя из определения логарифма,

найти:

а)

Какое число имеет логарифм 2 при основании

7?

б)

Найти

логарифм 125

по основанию 5.

16 равен 4?

в)

При каком основании

логарифм числа

а)

2 = log, х ,

х =

7 - =

49;

б)

х — log5 125,

5-х =

125,

х

= 3;

в)

4 = logs 16,

*4 =

16,

х

= 2.

П р и м е р

2.

На основании тождества a loga Л,= Л Гнайти: a) 36logl 2;

б)

8t0,& 1ое* 7;

в ) 2 1оеа5+1.

Р е ш е н и е .

а)

зб|ое* 2 =

б2 log' 2 =

6log« 2* =

22 = 4;

1

б)

810,5 log* 7 = [(92)"“"]log* 7 = 9 log* 7 =

7;

в)

2logj 5+1 = 2,og« 5 •

2 =

5 • 2 =

10.

:

П р и м е р

3.

Что больше:

logu 2 или loga 3?

Р е ш е н и е .

Если а >

1, то большему числу соответствует и боль­

ший логарифм,

т.

е.

loga 2 < loga 3.

Если а <

1, то большему числу

соответствует меньший логарифм,

т.

е.

logo 2 >

logo 3. Здесь

предпо­

лагается, что

а >

0,

а Ф

1.

П р и м е р

4.

Определить х ,

если:

а)

1

б)

,0§т 0.125 =

- 2 ;

в) logjy-j х = _

2

|о§ з /з 2 7

у •

Р е ш е н и е .

а )

1

—

—

х

у = - 1 . * = - 2 ;

(3 /3 )* = ^ ,

(/27)* = 27—*,

(27)* = 2 7 “ »,

X

б) аг—2 = 0,125,

JL = - 1 ,

л* =

8,

.* =

2 /2 ;

2

В)

* =

(3 / 3 )

Г = -----

(3 /3 -)»

(з ± -)Т

П р и м е р

5.

Определить х

из уравнений:

а)

5 log., х

— 6 = 2 loga х \

б)

(logs х )2 — 3 log3 х

-(- 2 = 0.

П 5-353

321