книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

4. Решение систем

уравнений

способом алгебраического сложения.

Если коэффициенты при каком-нибудь

неизвестном

в обоих уравне­

ниях равны по абсолютной величине,

то, складывая

оба

уравнения

(или вычитая

одно из другого),

можно получить

уравнение с одним

неизвестным.

Решая это

уравнение,

определяют одно неизвестное,

а, подставляя его в одно из уравнений системы,

находят

второе не­

известное.

1.

Решить

систему уравнений

П р и м е р

I

2 х

+

у

=

11,

\

З х

—

у

=

9.

Р е ш е н и е .

Здесь

коэффициенты

при у по

абсолютному знаме­

|

2 х + у

=

П

1

З.г — у

—

9

5 х

-

20; х = 4.

£ / = 1 1 - 8 ,

У =

3.

Следовательно, система

имеет решение: х = 4, у = 3.

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

I

х + 5 у =

7,

{ _ х + 5 / / =

7

1

х — З у —

1

8 //=

6, У = ^ -

х — 3 ■ - |- = 1; дг — | - = 1; * = 3 | .

4

4

4

I 4л- + Зу = —4 I

3 1 12л + 9г/ = — 1 2

\ 6л- + 5 у = —7 I —2 | — 12л — 10у =

14

4л+ 3

• (—2) =

—4,

4 х

= 2,

л =

у .

О т в е т , х

—

,

у =

—2.

Аналогично можно решать

и системы уравнений

с буквенными

коэффициентами.

систему уравнений

П р и м е р .

Решить

/ а х — b y — а2-)- b 2,

\

х + у = 2 а

(а + Ь ф 0).

Р е ш е н и е .

I а х — b y = а2 + 62 I

I а х — b y = a2 + b-

|

х + у = 2а

I b | b x + b y = 2ab

х ( а ф - Ь ) = (а + Ь)2

л = а +

b *

а --}" b -|- у = 2а \

У =

а — Ь.

О т в е т , х — а - { - Ь, у = а — Ь.

*

Если бы в условии не было отмечено,

что а + Ь + 0 , тогда следовало бы этот

случай

рассматривать отдельно. При

а + 6 = 0

полученное уравнение удовлетво­

| Зх — 20 =

11,

\ 4.V — 5у —

3.

11 -!- 2у

■5 у

=

3,

4(11 + 2 / / ) -

150 =

9,

44 +

8 0 — 150 = 9 ;

—70 =

—35; 0

=

5.

Подставив 0

= 5 в выражение для х ,

получим:

х =

И + 2

• 5

х

=

7.

-----+ ------;

Система имеет решение: х — 7, у

= 5.

способа

является

с п о с о б

Некоторым

видоизменением

этого

с р а в н и в а н и я

н е и з в е с т н ы х .

Чтобы

решить систему этим

способом, надо в каждом

уравнении

одно

и

то же

неизвестное вы­

разить через второе. Полученные

таким

образом

разные

выражения

для этого неизвестного сравнивают

одно с другим и получают урав­

нение с одним

неизвестным. Решив

это уравнение, находят значе*

ние одного неизвестного, затем второго.

П р и м е р .

Решить систему

уравнений

f

5х +

6 у

=

13,

1

7 * +

180 =

—1.

Р е ш е н ы е. Из двух

уравнений

выражаем х через у :

13 —

60. ..

— 1 — 180

х —

5

;

л- —

?

13

— 6.1/ — 1 — 18//

5

7

'

Решаем это уравнение:

7

( 1 3 - 6 0 ) =

- 5 ( 1 +

18|Д;

91 — 420 = —5 — 900;

480 = —96;

у = —2.

Неизвестное х найдем,

подставив значение

у в одно из выражений

для х :

1 3 - ( - 2) . 6

.

Таким образом, система имеет решение х

= 5, у = —2.

С.

Способ замены.

К системам двух

линейных уравнений с двумя

неизвестными можно приводить многие нелинейные системы. Эго можно

делать способом замены.

решить

систему

Пусть,

например, надо

4

,

9

=

35.

Р е ш е и и е.

Заменим неизвестные,

1

1

о; по-

положив — =

и, — =

лучим линейную

систему:

X

У

!

15и

— 7 v

=

9;

I

4 и

+

9о =

35,

которая имеет решение:

и =

2,

о = 3 .

Из соотношений

-^- = 2,

- j - =

= 3 находим x =

Y ’

У ==~ Ъ '

7. Решение системы при помощи определителей.

Решения системы вида

Г а гх

+

b y j

=

с„

можно находить

по формулам

— ЬуСп

HlC2 — ОоС^

Uibo — Я2^1

^ 1 ^ 2 — H2At

Эти формулы легко запомнить, если ввести следующие обозначе­

ния. Условимся

выражение p s — r q

обозначать так: | ^

^ | . Это вы­

ражение называют о п р е д е л и т е л е м ,

или д е т е р м и н а н т о м

второго по­

1

С1

_

1

CQ l

1

I

1

Со

Ь о

Я з

с2

1

° 1

b i

1

bi

I

° 2 Ь о

1

bяo

2

Знаменатель здесь общий.

Его называют о п р е д е л и т е л е м с и с т е м ы и обо­

значают знаком

А = ' От

I

Ь1

Q o

Ь о

f

*

-

0 =

1,

1

х

+

2 у =

3.

Д = | [

2 I = 1 - 2 — (—1) ■ 1 = 3 .

1

1

—11

2 + 3

5 .

t i

l l

3 — 1

2

| 3

2 I

I 1 3 I

* —

3

“

3

~

3 '

У ~

3

“

3

~ Т '

8 .

Исследование системы

уравнений. Исследуем,

сколько решени

может иметь система уравнений:

1

а гх

+ b y j

= clt

\ а 2х + Ь2у = с2.

Введем следующие обозначения:

I

° i

&i

I _

д

I

С1

^1

flj

Ci

— ^2-

I

С12

Ь2

[

*

|

Ь2

=

Д х ,

(1%

С%

Возможны следующие случаи:

имеет единственное

решение.

а)

Д +

0. Система в этом случае

б)

Д =

0 и по крайней мере один из определителей Дх и Д2

отли­

чен от нуля. Система не имеет решений.

в)

Д =

Д2 = Д2 =

0 и по крайней мере один из коэффициентов при

неизвестных отличен

от

нуля.

Система в этом случае имеет

беско­

нечное множество решений.

Примеры

последних двух случаев дают системы уравнений

2 х + 3 у = 4 ,

/

х +

у — 1,

4 х +

6 у

= 5;

t

2.V - ф 2 у =

2.

нечное множество решений. Действительно,

взяв для л

и у какие-либо

произвольные числа,

например,

л =

2, у =

5 и подставив

эти

значения

в уравнение 15л +

1 Ох/ + 8г =

164,

получим 15 • 2 +

10

■5 +

8г=164,

чения х

и у, получим другое значение для

г и т. д.

2.

Система двух уравнений с тремя

неизвестными. Систему дв

/

3.V —J—5г/ — 4г = 64,

1

2л-+ у + г = 1 4 .

5 у + 4г = 63 - i- ,

</+

г = 1 з | .

РешиЕ эту

систему,

найдем у

=

9 — , г =

4 — . Значит, данная систе-

ма имеет

решение

1

, у

=

n

1

х — —

9 — ,

Взяв для х другое значение, получим

новую систему с двумя не­

известными, из которой найдем

у

и г и т.-

д.

Однако можно привести пример системы, не имеющей ни одного

решения,

например

х

— у

-j- 2г =

5,

х

— у

-j- 2z =

7.

Какие бы значения ни имели х , у ,

г,

выражение х — у -|- 2 г не

может одновременно быть равным 5 и 7.

3.

Система трех уравнений с тремя неизвестными. Система тр

уравнений с тремя

неизвестными имеет вид:

Г йуХ +

b y j + c-iz

=

d„

|

Cl2X -{- ЬоУ -[- C2Z=

cl2,

(

a3x

+

b2y + с3г =

d3.

Здесь х , у , г — неизвестные, а а и а 2, а 3,

Ьъ Ь2, Ь3, съ

с2, с3, d u

d 2,

d 3 — данные числа.

Все свойства уравнений с одним и двумя неизвестными справед­

ливы и для системы уравнений с тремя

неизвестными.

Поэтому

для

I

г =

2 .у

Р е ш е н и е .

Исключаем х

из

первого и второго уравнений дан­

ной системы*. Для

этого умножим обе части второго уравнения на 15:

/ 15* + 1 5 0 +

15г =

240,

t 1 5 * + 1 0 0 +

8 г =

164.

Коэффициенты при * равны. Вычтя из первого уравнения второе,

получим 5у + 7г =

76. Вместе с третьим уравнением оно дает систему

уравнений с двумя

неизвестными:

I

5 у

+

7г =

76,

t

2 =

2 0,

решив которую найдем: 0 = 4 , г = 8 .

первое или

второе,

полу­

Подставляя эти значения в уравнения

чаем х = 4. Следовательно,

данная

система трех

уравнений с тремя

неизвестными имеет единственное

решение: * = 4, 0

=

4, г =

8 .

П р и м е р 2.

Решить

систему

Г 7* +

6 0

+

7г =

100,

I

* — 2 0

+

г =

0 ,

( 3* +

0

— 2 г =

0 .

Р е ш е н и е .

Умножим

второе уравнение на

3

и

прибавим его

к первому:

,7* + б0 +

7 г = 1 0 0

"'"З* — 6у +

Зг =

0

10*

+

Юг =

100 или * +

г =

10

Умножим третье уравнение на 2 и прибавим ко второму:

* — 2 0

4 - г =

0

6 * + 2 0

— 4 z

= 0

7*

— Зг = 0

* Эту систему

нетрудно также

решить,

подставив в двух

первых

уравне­

I

х +

г =

10,

\

7.v — Зг =

О,

решив которую, найдем: х — 3,

г =

7.

получаем:

Подставляя значения т и г в

третье уравнение системы,

9 + 1 / — 14 = 0, у — 5.

О т в е т .

Система имеет единственное решение: х = 3, у

= 5, г = 7.

В ряде

частных случаев,

учитывая специфические

свойства

а +

Ь + с

а +

Ъ -

~

2

— а + Ь + с

а — b + с _

У -

П р и м е р 4.

Решить систему

х + ciy +

a - z + а? =

0,

х

b y

b2z -j- b3 =

0,

х + су + c-z + с3 = 0,

где а, Ь,

с — попарно различные

числа.

первого, получаем:

Р е ш е н и е .

Вычитая

второе уравнение из

(а — 6) у + (а2 — Ьг ) г + (а3 — Ь3) = 0.

Сократим

на а — b (так как а ф Ь):

у + (а +

b ) z +

(а2 + a b +

ft2) =

0. .

вычитая почленно полученные уравнения,

исключаем у .

( b — с) z + (a b — а с + Ьг — са) = О,

откуда г =

— ( а -f- b + с). Тогда

из

уравнения у + (а +

ti) z + (а2 +

-)- a b +

b") =

0 получим у — a b +

Ьс -|- а с ,

и, наконец,

воспользовав­

шись первым уравнением системы, найдем х = —abc.

помощью опреде­

4.

Решение систем трех линейных уравнений с

лителей. Определителем третьего

порядка,

составленным

из таблицы

девяти

чисел

Cl,

Ъ ь

ь3,

с2,

о3»

ь3,

С3 1

называется

число

Д =

а1

bx

Ci

а 2

b ‘i

с 2 — aibvC 3 ~ j ~ a , b y 2

bLc2 — a 3boCi — a 3biC3— a ib 3c 3.

а 3

Ь3

с3