книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

а) с х — 6 (с — х ) — а ( Ь — х ) — 6 ( а — л);

с х — 6с -j- b x = a b — а х — a b

Ьх\

с х — Ьс — —ал;

с х + а х = 6с; х ( а -j- с) = 6с;

Ьс

(если а Ф —с).

а +

с

За2 — a b — 462

,

Зл

б) 6 — а

а

b

а л

■62

а-\-Ь

а—Ь

1

а — х

""Зл:

За2 — a b — 462

а — b

а - \ - Ь

а2 — 62

’

—(а — л-) (а + 6) +

Зл (а — Ь) =

За2 —

аЬ —

462;

— а - — аЬ + а х +

Ь х + Зал: — 36л = За2 — a b — 462;

4ал — 26л = 4а2 — 462;

2л (2а — 6) = 4 (а2 — 62);

х

(а 2 — 62)

х

=

2 (а2 — 62) (если

2 а

Ф

Ь).

2 (2а — 6)

2 а — Ь

3.

Уравнения, содержащие неизвестное

в

знаменателе. К урав

ные корни проверять подстановкой в

начальное уравнение.

Корни,

не удовлетворяющие начальному уравнению,

надо

отбросить как

посторонние.

2

,

5 .

13

П р и м е р ы ,

а) Решить

уравнение

л — 1 т

л +

2 ~

л2 +

х — 2 ’

Р е ш е н и е .

Разлагая

л2 -f- л — 2 на

множители,

получаем:

л2 + х — 2 = (л — 1) (л +

2). Следовательно, л2

л — 2 — общий зна­

менатель дробей.

Тогда

дополнительными множителями будут соот­

ветственно л + 2 ,

х — 1,

1.

х-\-2

х — 1

j

2

,

5

“ 13

х — 1 h х + 2 л2 + х — 2 ’

2 (л + 2)

,

5 (л — 1)

13

(л - 1) (л + 2) т (л - 1) (л + 2)

(л - 1) (л -|- 2) •

Для

упрощения уравнения

надо обе

части

его

умножить

на

(а- — 1) (а +

2);

получим:

2 ( а

+

2) +

5 (х — 1) == 13;

2а -f 4 + 5а — 5 = 1 3 ;

7а =

13 — 4 +

5;

7а =

14;

а =

2.

2

,

5

13

5_ _

13 . 13=

13

П р о в е р к а . 2 _ ; + 2 + 2 — 4 + 2 — 2 ’

4 — 4 ’ 4 — 4 '

а = 2 удовлетворяет данному уравнению.

О т в

е т ,

а

= 2 .

2

5

6

б) Решить уравнение j

=

х 2 +

_

2 •

(1)

— у +

х

Р е ш е н и е .

Общий

знаменатель

а 2

+ а

— 2;

дополнительные

множители:

а +

2, а —

1 ,

1 .

а + 2

а — 1

!

2

5

“6

А — 1 ' А + 2

А'2 + А ■— • 2 *

2 (а + 2)

5 (а — 1)

6

(А -

1) (А + 2) + (А -

1) (А + 2) _ (А -

1) (А + 2) •

Умножаем обе части уравнения

на

(а — 1)(а +

2),

получаем

2 (а +

2) +

5 (а —

1) = 6;

(3)

2а + 4 + 5а — 5 = 6;

7а =

7;

А =

1 .

Уравнение (3) имеет корень а = 1.

Но он является

посторонним -

для данного уравнения, так

как 1 не может быть допустимым зна­

чением для

а : при а = 1

знаменатель первой

и третьей

дроби урав­

нения (1) обращается в нуль.

Эквивалентность нарушилась при пе­

реходе от уравнения (2) к уравнению (3).

решений.

О т в е т .

Данное уравнение

не

имеет

в)

г ,

а — 2

■=

2 ( а — 2 )

Решить уравнение ■ -г

———— .

х

-р о

х *~р 5

Р е ш е н и е. Приводим

к общему знаменателю

Умножаем

обе части уравнения на (.v + 5) ( я 4 - 3), получаем:

(.V - 2) (х -|- 5) =

2 (х -

2) (х + 3).

Делим обе части

уравнения на .V— 2,

ние;

4)

решить

уравнение; 5) проверить полученное решение и ответ

по условию задачи.

Дальше для примера приведены решения несколь­

ких задач с помощью составления уравнений первой

степени.

З а д а ч а

1. На

первом

складе

было 185 от угля,

а

на втором —

237 от.

Первый

склад

начал

отпускать ежедневно

по

15

от

угля,

а второй — по

18 от.

Через

сколько дней на втором складе будет

угля

в полтора

раза

больше,

чем на

первом?

х

дней

Р е ш е н и е

(с объяснением). Предположим, что через

па втором

складе

будет угля в полтора

раза больше,

чем

на

пер­

вом.

Первый

склад отпускал

ежедневно по 15 от угля, поэтому за х

дней

с первого

склада

было

выдано

угля

15х (от).

Значит, па пер­

вом

складе

осталось

угля

185— 15х (от).

Второй

склад отпускал

ежедневно

по 18 от,

поэтому за х дней со второго склада было выдано

угля

18х (от).

На

втором

складе

осталось угля 237— 18х

(от). По

474 — 36* = 555

— 45*; —36* +

45* = 555 — 474;

9* = 81;

* =

9.

15

П р о в е р к а .

1) За 9

дней было выдано угля: с первого склада

■9 = 135 (от); со второго склада

18

• 9 = 162 (/я);

2)

осталось' угля

на

первом складе

185 — 135 = 50 (/л);

на втором складе 237 — 162 =

= 75 (да); остаток

угля на втором

складе в

полтора

раза

больше,

чем на первом.

Задача решена верно.

О т в е т .

9

дней.

цифр двузначного

числа

равна

11. Если

З а д а ч а

2.

Сумма

же цифрами, но написанное

в обратном порядке. Найти это

число.

Р е ш е н и е . Обозначим

число единиц в искомом числе *,

тогда

Число,

записанное

теми же

цифрами

в

обратном

порядке,

будет

10*

+

(11 — *).

(11— *) 10 +

* +

63 =

10* —(—11— *,

реше­

ние

Составим

уравнение:

которого * =

9 даст

единицы искомого числа. Число

десятков

составит 11— * =

2.

Число

будет 29.

О т в е т .

29.

В трех

ящиках

имеется 64,2 к г

сахара.

Во втором

З а д а ч а

3.

ящике

находится

4

что

есть в первом,

1

-=- того,

в третьем — 42— %

того, что есть во втором.

Сколько сахара

в каждом

ящике?

через

Р е ш е н и е .

Обозначим

вес сахара

в

первом

ящике (в к г )

*. Тогда вес сахара

во втором

4

ящике будет -=-*, или 0,8*, а в третьем

о

8 5-353

225

З а д а ч а

4. За семичасовым рабочий день токарь

должен

был

по норме обточить

некоторое

количество

детален.

Применив

новый

резец, токарь

стал

в каждый

час

обтачивать

на

4 детали

больше,

чем полагалось в 1 ч

по норме,

а

потому за

6

ч

работы

выполнил

1,2 дневной

нормы. Сколько деталей в час обтачивает токарь,

при­

меняя новый

резец?

количество деталей,

обрабатываемых то­

Р е ш е н и е.

Обозначим

карем в 1 ч,

буквой х . Тогда его дневная норма при семичасовом

рабочем дне

будет

7 х . С применением нового

резца .он

обрабаты­

вает за 1 ч . v + 4

деталей,

за 6

ч

работы

он обрабатывает

6 (л '+ 4 ).

Составим

уравнение: 6 (x -J - 4 )= 1,2 •

7 х ; х

—

10; лг +

4 =

14.

О т в е т .

14

деталей.

З а д а ч а

5. Двумя экскаваторами вырыли котлован для колхоз­

ной электростанции за

24

дня. Первым экскаватором можно было бы

экскаватором

за

1 день выполняли

часть работы. Оба экскава-

тора за

1 день

выполняли

^

часть

работы.

Составим

уравнение:

1

и —

л- “ 24 ’

х

+

3

2_ J_

1 .

_5

1 __ 1 ■3 _ 1

3 ‘ х

24 ’ ~х

24 : "3

У ~ 24 • 5 — 40

Решение

уравнения

* =

40 дает

количество дней,

в

течение ко­

торых

первым

экскаватором

можно было бы выполнить всю работу.

Вторым экскаватором можно выполнить

эту

работу

за

40- 1,5 = 60

дней.

40 дней и 60 дней.

О т в е т .

З а д а ч а

6. Одной автомашиной можно перевезти некоторый груз

за 18 ч,

а второй — за

24 ч. Перевозку

груза начали двумя машинами

одновременно.

Через

несколько часов

вторую машину

перевели на

/ 1

,

1

\

часть груза,

а за х

часов

/ 1

.

1

\

—часть груза.

везли (уд +

тш

+

Первая машина

перевезла оставшийся груз за

4

ч,

следовательно, за

это время

она

1 .

2

частей

груза.

перевезла тз • 4 = —

1о

У

Учитывая, что весь груз составляет условную единицу, получим

уравнение:

1 .

1 \

| 2

.

!8 + Й / Л' + -9 = L

Решение уравнения х = 8

(ч) дает время совместной работы обеих

машин. Тогда,

первая машина

работала 8 + 4 = 1 2

(ч).

цию. Пройдя за

первый

час 3

к м ,

он рассчитал, что, если будет дви­

гаться с той

же

скоростью, то опоздает к

поезду на 40 м и н . Поэтому

остальной путь он прошел

со скоростью 4 к м / ч и прибыл на станцию

за

45 м и н

до

отхода

поезда.

Каково

расстояние от деревни

до

станции?

Пусть

расстояние от деревни до станции равно х ( к м ) .

Р е ш е и и е.

Если бы турист шел все время со скоростью 3 к м / ч ,

то он потратил бы

х

2

чем было в его распоряжении. Та­

на путь -g-ч, что

ча-д-ч больше,

ким

образом,

чтобы успеть

точно

к отходу поезда,

он

должен

был

потратить

времени

х

2

_

„

же

он за первый

------— ч.

В

действительности

час

прошел

3 к м ,

а оставшиеся

( х — 3)

к м

прошел

со скоростью

4 к м / ч за х

в ч

Весь же путь он

прошел за

1 +

Х

^ ч.

Принимая во внимание, что турист пришел за

— ч до отхода по­

езда,

составим уравнение

х

2

,

,

д: — 3

,

3

3

3 “

*

~

+

Т

'

З а д а ч а

8 .

Ежедневно в

12 ч. дня от пристани

А

к

пристани R

отправляется по реке пассажирский катер.

Весь

путь

от

А

до В

катер

проходит без остановки

со

скоростью

12 к м / ч .

Затратив

на

стоянку у пристани В 2,5 ч,

катер

отправляется

обратно

и,

пройдя

весь путь без остановки со скоростью

15 к м / ч ,

прибывает к пристани

А в

19 ч того же дня. Найти

расстояние от А

до В .

равно

Р е ш е н и е .

Пусть

расстояние

от

Л

до

В

х

( к м ) .

Тогда время движения катера от Л к В будет

IZ

ч, а от В

к А 1о

ч.

Катер

возвратился в

пункт Л

через 19—12 =

7 ч,

из

них

2,5 ч

сто­

янка,

поэтому

он был

в пути 7 — 2,5 =

4,5

ч.

Отсюда получаем уравнение

Т2 +

Т 5 = 4’5'

решение которого .v =

30

( к м )

дает

искомое расстояние.

О т в е т . Расстояние

между Л и В 30

к м .

вместе

1280 г,

З а д а ч а

9.

Кусок

железа

и

кусок

меди весят

объем каждого куска, если удельный вес железа

7,8

г / с м 3,

а

удель­

ный

вес меди

8,9

г / с м 3 .

(в к у б .

с м ) куска железа

через х ,

Р е ш е н и е .

Обозначим объем

тогда объем куска меди равен 2.V. Вес железа х -

7,8, а меди 2л:-8,9.

Составим

уравнение: 7,8л: -)- 17,8л- =

1280.

Его

решение

х =

= 50

дает

объем

куска

железа.

Тогда

объем

куска

меди

равен

1 0 0 к у б .

см .

50 к у б .

с м и

100 к у б .

О т в е т .

см .

золота и

серебра;

в

одном

З а д а ч а

10.

Имеются два

сплава

количество этих

металлов

находится в отношении 2

: 3,

в другом —

в отношении

3 : 7. Сколько нужно взять каждого

сплава,

чтобы

получить

8

к г нового

сплава, в

котором

золото

и серебро

были бы

в отношении 5: 11?

первого

сплава

в к г ,

тогда

Р е ш е н и е .

Обозначим буквой х вес

вес второго

будет

— х )

к г .

Золота

в

первом

2

серебра

( 8

-=-jc к г и

3

D

В ( 8

— х )

к г

второго

сплава

содержится

3

— х )

к г

зо-

— л к г .

( 8

5

7

1 U

лота

к г серебра.

и jq (8 — х у

Составив

уравнение по условию задачи, получим:

Его решение х

= 1 ( к г ) дает вес первого сплава. Вес второго сплава

8 — х — 7 ( к г ) .

к г и 7 к г .

О т в е т . 1

неизвестных,

то такое уравнение называется

уравнением п е р в о й

с т е ­

п е н и с

д в у м я

н е и з в е с т н ы м и . В общем

виде

оно

записывается

так:

а х -\r b y

= с,

где х и у — неизвестные

числа, а

коэффициенты

а , Ь,

5 х — 2 х + 3 = 2 х + у — 1;

8 x — l,3i/ = 15; ^о- х +

0,7г/ = 3,4;

у

—

4 х — 9.

Любая пара допустимых

значений х

и

у ,

удовлетворяющая

бесконечное множество решений. Так,

в уравнении х + у = 15 неиз­

вестное х

может принимать

любые значения,

и для каждого из них

имеется соответствующее значение у ,

например:

*1 = 1 .

'/i= 1 4 ;

х2 = 2 ,

0 2 =

13;

х 3 =

100,

у 3 = —85 и т. д.

Для

уравнения

первой

степени

с двумя

неизвестными имеют

место те

же свойства, что

и для уравнения с одним неизвестным

(стр. 218). Используя их,

каждое такое уравнение можно привести

к нормальному виду (т. е. к

виду а х

-J- b y

—

с).

г-1

-s | х — 3 0

I?

0 + 5 .

П р и м е р . 7 -|-------;—- =

2 х -

84 +

3 ( х — 3 0 ) =

24х — 4 ( у

+

5);

84 +

За: — 90 = 24х — 40 — 20;

нения образуют с и с т е м у .

В системе

уравнении каждое

неизвестное

означает одно н то же число во всех уравнениях.

систему, их

Чтобы показать, что

данные уравнения образуют

обычно записывают одно

под другим

и объединяют фигурной скоб­

кой, например

( .V+ у =

20,

1 * - г /

=

ю.

Каждая пара значении неизвестных, которая одновременно удов­

летворяет обоим уравнениям системы,

называется р е ш е н и е м с и с т е м ы .

решений. Система, не имеющая решений,

называется н е с о в м е с т и м о й .

П р и м е ч а н и е . Называть

решение системы

корнями

нельзя.

Р е ш и т ь

с и с т е м у — это значит найти

все решения

этой

системы

или показать, что она не имеет их.

(эквивалент­

Две системы уравнений называются

р а в н о с и л ь н ы м и

ными), если

все решения одной

из них являются решениями

другой

и, наоборот,

все решения другой системы являются

решениями пер­

вой. Например, решением системы

I

2х + у

=

11,

I

Зх — у

=

9

является пара чисел: х = 4

и у = 3.

Эти же

числа

являются также

решением системы

5.V — З у

11,

\

—

1

х -f- 8 у

=

28.

(Это легко проверить, подставив значения х =

4 и у

= 3 в оба урав­

3. Теоремы

о

равносильности систем

уравнений первой степени.

Т е о р е м а

1.

Любое из уравнений

системы можно заменить

Например, если в системе

J

2х — 3у —

4,

\

Заг+ 2(/ =

19

заменить второе уравнение

равносильным

ему уравнением

9.V —{—6 //=

= 57, получим новую систему

Г 2а — 3 t/=

4,

\

9а + 6 у =

57,

равносильную данной.

из уравнений

системы можно

заменить

Т е о р е м а 2. Любое

Например, если первое уравнение

в приведенной выше системе

заменить таким образом, получим

новую систему

/

5х —

у

=

23,

\

За + 2 у

=

19,

которая будет равносильна данной.

уравнения системы выразить

Т е о р е м а 3. Можно

из

одного

какое-нибудь неизвестное через

другое и подставить это выражение

Пусть, например, дано систему

I

2а -{- 3и === 33,

1

х — 2 у —

1 .

Выразим

из второго

уравнения

неизвестное а через у

х -

2 у

+

1

и подставим это выражение

в первое уравнение; получим

2 ( 2 у

-}- 1 )+

3// = 33.

Если к этому

уравнению

с одним неизвестным присоединить второе

уравнение системы, получим новую систему

f

2 ( 2 у +

1) + 3(/ = 33,

\

х — 2 у

= 1 ,