книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

(.V — 1)- при х < 1;

•>/'(3 — а-)4

при х

>

3.

Р е ш е н и е .

Воспользуемся

формулой

у

а , если а

>

О,

Тогда

получим

- а ,

если

а < 0.

К(* -

О2 = У\

1I2 = V\ х - 1| = V - (-V-

1) =

= / —Д'+

l

(а <

I);

у ( 3 - .v ) 4 = у' | 3 - -V|>= / 13 - .v | = V-

(3 - А ) =

= /

—3 +

а

( х > 3).

5.

Основные

теоремы

о радикалах.

К о р е н ь

и з

п р о и з в е д е н и я н е ­

с к о л ь к и х ч и сел

р а в е н

п р о и з в е д е н и ю

к о р н е й

т о й

ж е

с т е п е н и

и з ка ж дого

ч и с л а , е с л и к о р е н ь и з ка ж д о го ч и с л а с у щ е с т в у е т ,

т. е.

п ,— г

п

•—

п -т

Т

а о —

у

а

• у

о.

Ч т обы и звл е ч ь

к о р е н ь

и з д р о б и ,

н а д о и звл е ч ь

его

и з

ч и с л и т е л я

р а з д е л и т ь н а в т о р о й ,

т. е.

" Г а

V a

~ .У ~ ъ

П р и м е ч а н и я .

Оговорки о существовании

корней в предыду­

щих теоремах необходимы, так как

при четных п

и отрицательных а

и Ь корни y f a b и "j/ ~

~ существуют, а у я п у /

Ъ не существуют.

в Г

п Г Г Т ~

п

V \ a \

У I об | =

У \ а I 1У I Ь

“ V

ПГ\

Ь I

V

Ч т обы и звл е ч ь к о р е н ь и з

с т е п е н и ,

п о к а з а т е л ь

к о т о р о й д е л и т с я

н а п о к а з а т е л ь к о р н я ,

н у ж н о р а з д е л и т ь п о к а з а т е л ь с т е п е н и н а п о к а ­

з а т е л ь к о р н я , т. е.

У

а т п =

а пК

i/f—

i/f

4

б)

125

3 ,—

с;

бГ

у * . /с® = —а2^ ;

г

9 а 'Ь 2

3а-Ь

с) V(а — Ь )'

V { a — ь у

(а ~ b y ’

г)

1 | а 8,!л-15 =

| - а 2Лл .I.

V S

6) Вынесение множителей за знак радикала.

Е с л и п о д к о р е н н о е вы ­

р а ж е н и е р а з л а г а е т с я н а т а к и е м н о ж и т е л и ,

чт о и з н е к о т о р ы х м о ж но

и звле ч ь

т о ч н ы й

к о р е н ь ,

т о

т а к и е м н о ж и т е л и , п о

и з в л е ч е н и и и з

н и х

к о р н я , м о г у т б ьи п ь н а п и с а н ы

п е р е д

з н а к о м

к о р н я

(т. е.

могут

быть

вынесены за знак корил).

Это выполняется

по формуле

У а п Ь — а ПуГЪ .

(а >

0).

П р и м е р ы.

а)

У

абс =

а2 У с;

б)

/3 0 б =

1/100 • 3 =

1 0 /3 ;

в)

У а 2псл + 1 = У

а 2п ■ сп

■ с =

а 2с У с .

П р и м е ч а

н и е.

При

отрицательном

а и

четном п

равенство

У а п Ь =

а 'р И неверно,

но при любых значениях а ,

Ь п п

У \ а п Ь | = | а | • y j b ~ \ .

7 5-353

193

П р и м е р ы.

Вынести

множители за знак

радикала,

учитывая

допустимые значения букв или ограничения на

них:

а)

У а ъ ( Ь — З)2

при а >

0,

3.

б)

/ а

3 (3 — а )-

при 0 <

а ■< 3.

в)

3 (х2 — 2 х у -|- у 2)

4 (-V2 + 2 х у + i f ) '

Р е ш е н и я .

а /

У с Р { Ь

— 3)2 =

а2(6 — 3 ) / а .

б) ] / а 3 (а — З)2 = а (3 — а ) У а.

в)

3 (.т-2 -

2x 1/

+ i f )

3 (.у - </)2

I а- — у |

/ 3

4 (х2 + 2 x i/

+ i f )

4 (а- + у ) 2

I х + И I

7. Подведение

множителей

под

знак

корня.

Д л я п о д в е д е н и я п о д

з н а к к о р н я

м н о ж и т е л е й , с т о я щ и х

п е р е д

н и м , д о с т а т о ч н о

во звы си т ь

/ 2а

(о - 2) | / а — 2

( 2 - о ) } / о — 2

= — / 2 о ( а - 2 ) ;

— х v

^

-

У

2 (.У + и)

и — X

е)

Не

извлекая

корни,

определить,

которое

из

чисел больше:

2 l/ з

или 3 1/2;

2 > /з

или

>/25.

Р е ш е и и е.

2 1 /3 =

1 /2 2 /1 =

/П Т ;

3 1 /2

= 1/32~2

= l/T I,

так как

1/11 > 1/12, то

2 "|/з < 3 1/2.

2

v 'l = f/23 - 3 =

1/24,

так как >/25 > >/24,

то

>/25 > 2 >/3.

8.

Освобождение подкоренного

выражения

от

дроби. Использу

два предыдущих преобразования радикалов, можно освобождать

подкоренные выражения от дроби.

от дроби:

П р и м е р ы. Освободить

подкоренные выражения

Р е ш е н и е , а) Чтобы

в первом радикале из знаменателя можно

было извлечь квадратный

корень, умножим оба члена дроби на 7:

V - 33

3 - 3 '' У'

7*

195

3 •

2

_

1_

23 •

2

-

2

1_

I

У н т ;

п

-,3 / З ш

Л3т ■ (2 а )-

= Т а >'

У 2а

(2 а )3

{2 а "~т '

4

f

а 3т

1 Ъ т п

4 /

оЗпГ^ЗтЧг-

= 1

З а 3т 3п

1 Ъ т п I /

5

-^——а =

I /

■-=

— a—s-

Ъ т п

У 2 /г п 2п 3

f

27т 2п 3 ■ З т -п

(3пт )*

= 1 Ъ т п ■ ^

У З а 3т 3п = 5 У З а 3т 3п .

(х

■у)-

У)*

= ( х — у )2 •

У х у ( х — у ) 3 = I Л- — у I У х у ( х — у ) 2.

\ х - У \

П р и м е ч а н и е .

Последние примеры можно

решать и другим

способом:

. ,

3 f а3т

4 f З4 • п М ■а3т

д -

15пт V TUrfln3 =

5У

27т-п3

=

DI7

(х

—

у У Л /

. Х У

■., =

■у

1

;.у- — у у х у

( х — !/)2

У

( Х —

У)-

Л ] / Л, Л ± _ Л

ху _ ? _ иуЦ _ 1 :

Я ' \ У )

Г XZ — IJZ V у* СХ у

- у ,

- v ] / —

= x V

z (x

, = x V - L - = T- Ц V ~ y ,

t

X Z — IJZ

¥

— y )

¥ x — y

)x— y\

y ^ Z ± ^ Y ^ i = }_VTo^) = ~V ^j-

¥

у 1

у

¥

i/ г

у

у

О т в е т .

Подобны.

§ 14. Действия с радикалами

I. Сложение и вычитание.

Ч т о бы сло ж и т ь

( и л и вы чест ь ) р а д и ­

(У Ш -

У Щ ) —

(/27// -

/Тбл) = /§ л -

У8у -

У Ш у + у ш =

= 3 У х — 2 У у - 3 У у + 4 / 1 = 7 У х - 5 У у .

в)

5 / х = р +

4(/2 У

- у +

— 6л-// у

7" - |- —

— - |л ^ 2

—j У ~& {Г- =

5г/ >Лс2//2 +

4г/

Л'2//3 — 4 у V х ~ у ~

—

— 6у У x b f +

3(/ / л 2(/2 =

+2(/ у г х - у - .

г) У 1- | - + 3 / Г = ^ - / Г б ^ 8 1 - + 8 | / 1 - | - .

Р е ш е н и е .

У 1 - 4 + 3 / 4 - 2а- - / : 1 ' 6 - 8х + 8 y T Z l =

- / + 1 + з ] А Н 9 - / + + 1 ] +

+ 8 | / ’+ 1- 2 * ) = | / | - у + б ] / | - i - 4 ] / | - - J +

+ 4 У 1 — 2л = 3 | / " 1 — 4 + 4 / 1 — 2л.

2. Умножение.

Ч т о бы п е р е м н о ж и т ь

н е с к о л ь к о р а д и к а л о в

о д и н а к о ­

вой

с т е п е н и ,

н а д о

п е р е м н о о к и т ь п о д к о р е н н ы е

в ы р а ж е н и я

и и з

п р о и з ­

ве д е н и я и звле ч ь к о р е н ь т о й ж е с т е п е н и .

Е с л и п ер е м н о ж а ю т с я р а д и к а л ы с р а з л и ч н ы м и п о к а з а т е л я м и , т о

и х

н а д о п р е д в а р и т е л ь н о п р и в е с т и к

о д н о м у

п о к а з а т е л ю .

Если

перед

радикалами имеются коэффициенты,

то их перемножают.

— V'5 8 = 12— 1 8 / 2 + 10 • 2 / 3 — 4 / 3

=

12— 1 8 / 2 + 1 6 / 3 .

в) (4.v /.V 2 — 5// /

л-(/ + х у

У

у - )

■2х у

У х у .

Р е ш е н и е .

(4х У

х 2 — 5у у '

х у -1- х у

У

у 3)

■ 2 х у У х у

= 8л2// / л 3!/ —

— 10.V//2 у7 л-’//2 +

2л2//2 / л / / 3 =

8л3// У у — Юл-//2 У х 2у - + 2л-2//3 / л .

Г) ( 7 / 5 — 4) ( 2 / 5 — 1).

Р е ш е н и е .

( 7 / 5 — 4) ( 2 / 5 — 1) = 1 4 /2 5 — 8 / 5 — 7 / 5 + 4 =

= 70 + 4 — 1 5 / 5 = 7 4 — 1 5 /5 .

П р и м е р

2.

Перемножить

радикалы

с

различными показате­

лями:

а) У 2 •

У

2.

Р е ш е н

не.

у 2 - / 2 = / 4 . / 2 = у ъ -

б) я/ / Зяг

/

3//г ■яг2 / З///3. •

Р е ш е н

и е.

я г /З я г • / З я / • яг2/ 3я/3 = яг/З-'яг1 • / 3 2яг2 • яг2/ З я / 3 =

= яг3 /З ^ я /0 =

Зяг* j / ^

(а ] / а +

f^a)

• (у^а2 — a \ f а 3) = (а Y\ f а0 + ’-J/а2) ■ ( 'j/ a 8 —

— а

Лу г а?)

=

а1-^ а 14 — а2

а15 +

’ а10 — a’yAa“ =

=

a ^ a 2 — a3 У

а3 + У а 4» — а У а”

=

а2 >/"а — a3 V ’" +

■ф- у^а5 — а У а 11.

3.

Деление. Ч т о б ы

р а з д е л и т ь

р а д и к а л ы

с

о д и н а к о в ы м и п о к а з а т е ­

вле ч ь к о р е н ь т о й ж е

с т е п е н и .

Ч т обы р а з д е л и т ь

р а д и к а л ы с р а з л и ч н ы м и п о к а з а т е л я м и , и х н а д о

п р и в е с т и п р е д в а р и т е л ь н о к о д и н а к о в ы м

п о к а з а т е л я м . Если есть коэф­

фициенты, то их делят.

П р и м е р

1.

Выполнить деление:

а) у/~6а4 :

2 а.

Р е ш е н и е .

y r 6 a 4 : у '2 а = j / ~ = У З а 3 = а У 3.

б ) _ 6 | /

?

^

. _4

а2

2а-« / 2а

'' 5

а — х

56 К а — л- '

2а — 26

а — 6

6 л -5 ] / 2<°

~

>)2^

* = - - ' 5 / а

■ V

26.v2

4

х2

(а —

Ь)

За 3 /

а2 _ 2а т f

За 6

2 а

8а3

56 V

а ^ х : 56 V

i

56 г

(а — л:)2 ' 56

К

i

(а — х)3

V

За • 56 4 /" а4 (а — х)3

3 “ / а (а — х )

~ ЪЬ ■ 2 а V ( а — л-)2 8а3 — ~2 У ~

8