книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

вую цифру

корил

(10),

делят на

нее

число всех десятков ранее по­

лученного

числа

(29:

10 к

2),

испытывают

частное

( 102- 2 = 204

должно быть не большим 298), после

чего записывают его (2)

после

первой цифры кормя и т. д.

и

другая форма

записи, на­

П р и м е ч а н и е .

Распространена

пример

/5 '7 9 '3 6 '4 9

-

2407

4

__179 J_44

176

4

33649 |

4807

33649

7

0

П р о в е р к а .

24072 =

5793649.

Аналогично извлекают квадратные корни из десятичных дробей.

Только подкоренное

число

надо

разбивать

на

грани

так, чтобы за­

пятая была между гранями.

П р и м е р. /

0,'00'95'64'84' = 0,0978

187

81

14

64

7

13 09

1948

1 55

84

8

1 55

84

0

П р и м е ч а н и е.

Если

десятичная дробь

имеет нечетное

число

десятичных знаков, из нее точно

квадратный корень не извлекается.

8.

Приближенные значения

квадратных корней.

Если

подкоре

цифру, ищут

в результате на одну значащую цифру больше,

чем

в подкоренном

числе, а затем результат округляют по правилу

ок­

ругления, отбрасывая эту запасную цифру.

чис­

П р и м е р .

Извлечь квадратный корень из приближенного

ла 2,37.

Р е ш е н

и е.

/ 2 , 3 7 = 1,53

1

25

1

37

5

1 25

303

1200

3

909

3069

29100

9

27621

1479

О т в е т .

/2 ,3 7

и

1,54 (с избытком).

Однако приближенные значения квадратных корней получают не

только в результате

извлечения квадратных корней из приближенных

чисел, но также из

точных. Пусть, например, требуется извлечь

квадратный

корень из точного числа 2. Имеем:

241100

4

96

400

281

1

281

2824

11900

4

11296

многих отрезков.

Получилось

бы, что диагональ

квадрата со сторо­

ной 1

с.«

не имеет длины. В самом деле, если сторона квадрата A B C D

tpuc.

19)

равна 1

с м , то его площадь равна

1 к в .

см , а площадь ква­

драта A C K .L равна 2

к в . с м (сравните, сколь­

4Г

ко равных треугольников содержится в каж­

дом

квадрате). Значит,

длина

стороны А С

должна выражаться числом, квадрат кото­

рого

равен 2. А среди рациональных чисел

такого числа нет. Вот почему условились

считать числами

и

/ 2

и все

бесконечные

непериодические десятичные дроби. Но они—

не рациональные

числа,

их называют и р р а ­

ц и о н а л ь н ы м и ч и с л а м и .

/ 2

= 1 ,4 1 4 2

..., / 1 0 = 3,162...,

—0,5050050005...

и =

3,14159...,

lg 2 = 0,3010...,

cos 10» =

0,9848... и др.

Рациональные

и иррациональные

числа

вместе

называются д ей ­

с т в и т е л ь н ы м и , или ве щ е с т в е н н ы м и ч и с л а м и .

длины которых

Несмотря на то, что существование отрезков,

нельзя выразить

рациональным

числом, обнаружили еще в древней

Греции (Пифагор, Евклид), однако они не ввели

иррациональных

чисел. Они считали,

что длина

таких

отрезков

не

может быть вы­

точно.

Несколько

иначе рассматривал

иррациональные

числа

Нью­

тон, исходивший из отношения некоторого числа к числу, принятому

за единицу;

при несоизмеримости обоих чисел

первое

из них и по­

лучило название иррационального.

2.

Сравнение действительных чисел. И з

д в у х

п о л о ж и т е л ь н ы х д е й ­

с т в и т е л ь н ы х ч и сел

б о ль ш е т о ,

у к о т о р о го

ц е л а я

ча ст ь

б о льш е . Е с л и

ц елы е

ч а с т и

р а в н ы ,

б о л ь ш и м с ч и т а е т с я

т о

ч и с л о , у

ко т о р о го

п е р в ы й

и з н е р а в н ы х

д е с я т и ч н ы х з н а к о в

б о льш е ,

а все

п р ед ш е с т в у ю щ и е

о д и н а ­

ковы .

И з д в у х о т р и ц а т е л ь н ы х

д е й с т в и т е л ь н ы х

ч и с е л

б о л ь ш и м

с ч и т а ­

е т с я т о , у ко т о р о го а б с о л ю т н а я в е л и ч и н а м е н ь ш е .

К а ж д о е о т р и ц а -

т е л ь н о е ч и с л о м е н ь ш е н у л я и л ю б о го п о л о ж и т е л ь н о го ч и с л а .

П р и м е р ы .

1,4142... > 1,4139...

—1,4152... < —1,4139...

I-

и

I

J

Рис. 20.

вой) точкой О и единичным

отрезком

О А .

Изобразим

на

этой

оси

точку,

отвечающую

иррациональному

числу Y 2. Для этого строим

на отрезке О А

квадрат,

его

диагональ

О С =

]/2 . Если

раствором

циркуля О С ,

как

показано на

рисунке, сделать засечку

на оси,

то

полученная

точка

пересечения

дуги с

осью К

н будет

соответство­

вать числу

/ 2 .

соответствует

Каждому действительному числу на числовой оси

единственная точка. Наоборот,

каждой

точке на числовой оси соот­

ветствует единственное действительное число. Говорят,

что между

всеми точками числовой

оси

и всеми действительными

числами

су­

ществует в за и м н о

о д н о зн а ч н о е

с о о т вет ст ви е .

П р и м е ч а н и е . Между

точками

числовой оси и всеми рацио­

нальными числами

не существует взаимно однозначного соответствия,

так как

не

каждой

точке оси соответствует

рациональное

число.

п _ n

I Р 1 I

Рз I

, Р п I

“ - Р С + Т0 + Т 0 0 + • • • + J 6 S + -

Тогда конечные дроби

П !

ЕУ I Р “ !

I Рп

тг

П I

P i I

Р“ [

I Рп

^

Р о +

1о “И ТОО 4

h То^

п

р° +

То +

1оо^--------- 1— Го^г- •

Д0 Tti” ‘

десятичного приближенного

значения по недос-

Для получения

татку данного

действительного числа с

точностью до

1

следует

в десятичной

дроби,

изображающей это

число,

сохранить п

первых

следний десятичный знак

приближенного

значения по недостатку,

мы получим приближенное

значение по избытку с точностью до у^--

П р и м е р . Рассмотрим

число 3,5781....

Его приближенные зна­

чения суть:

По недо­

По избытку С точностью до

статку

3

4

1

3,5

3,6

0,1

3,57

3.58

0,01

3,578

3,579

0,001

+

4-

+

+

символами о0,

alf

a2, ..

. , а п , . . . . Пусть, например, a = 3,1471....

Тогда

«0 — 3;

«1 =

3,1;

а2 =

3,14;

«3

+

4;

+

л

4*

3,15;

+

яо =

«1 =

3,2;

п2 =

«3

2.

Сложение. С у м м о й д в у х п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л ь н ы х ч и сел

н а зы ва ет ся д е й с т в и т е л ь н о е ч и с л о , б о л ь ш е е с у м м ы л ю б ы х п р и б л и ж е н ­

П р и м е р .

Положим

о = 3,3121... и р = 2,5483..., складываем

приближенные

значения

по недостатку:

+

Ро — 3

+

+

«о = 4

«о 4 Ро = ?

£ =

3,4

Pi =

2,6

4*

+

6,0

“1 +

Pi =

«2 -

3,32

=

2,55

t +

pi =

5,87

4*

3,313

Рз =

2,549

яз +

Рз =

5,862

а3 =

+

pi =

2.54S4

аЛ +

pi =

5,8606

=3,3122

Так последовательно определяют десятичные знаки

суммы

а

+ р = 5,860....

П р и м е ч а я

и е. Если

какое-нибудь

слагаемое

рациональное

Аналогично

можно определить и сумму двух отрицательных дей­

ствительных чисел, п отрицательного с положительным.

возможно

Вообще, сложение

двух действительных чисел всегда

и однозначно.

3.

Умножение.

П р о и з в е д е н и е м д в у х

п о л о ж и т е л ь н ы х д е й с т в и т е л

н ы х ч и сел

а и р

н а зы в а е т с я д е й с т в и т е л ь н о е

ч и с л о , бо льш ее

п р о и з в е д е ­

п о и з б ы т к у .

Положим

а == 1,7320... ;

р = 1,4142..., тогда получим

р.

а0 =

1

р« =

1

аоРо =

1

а, =

1,7

Pi =

1,4

а1р1 =

2,38

а , =

1,73

Ps

=

1,41

а,р, = 2,4393

«з =

1.732

Р з

=

1,414

а393 =

2,449048

а., =

1,7320

F.i =

1,4142

а,Р4 =

2,44939440

+

4-4*

OTq =

2

о

=

2

“оРо =

4

\J0

4-

4*

1,5

4*4-

2,70

cfj =

1 , 8

Pi =

аур, =

л.

4*

4- 4*

а', =

1,74

P* =

1,42

а.,?.. =

2,4708

*г

1,733

-1-

=

1,415

4- +

2,452195

a ?t =

Р з

а3р3 =

4*

1,7321

4-

1,4143

4_4-

2,44970903

а, =

р.. =

а.34 =

Пусть т — произвольное натуральное

число больше

1, а а —лю­

бое вещественное число. Корнем m -i\ степени из а

называется

такое

число, т -я степень которого равна а.

из 64 равен 4, так как

43 =

П р и м е ры.

Корень 3-п степени

= 64; корень 5-й

степени

из —32

равен

—2, так

как (—2)5 =

—32;

корень 4-й степени из 81 имеет (в множестве действительных

чисел)

два значения:

3

и —3,

так как З4 =

81

и (—З)4 — 81.

Корень /и-й

степени

из

числа

а

обозначают

символом

"у/ а.

Однако

в случае

корня

четной

степени,

например 2-й, 4-й и т. д.,

этим символом

обозначают только неотрицательное значение корня,

например / 8 1 = 3 ,

/0,000001

=

0,1.

Их

называют арифметическими

значениями корней

или короче а р и ф м е т и ч е с к и м и

к о р н я м и .

Следовательно,

" У а

только

при отрицательном

а

и нечетном т

п

т г -

число все­

имеет отрицательное значение. При положительном а

у

а

гда положительное. Если же а

<

0, a m

четное,

то " У а (в множестве

действительных чисел) не существует.

П р и м е ч а й

и е.

Знак радикала

впервые ввели немецкие алгеб­

раисты в XV в. В

1525

г. математик

Христоф

Рудольф

фон Яузр

издал первое сочинение по алгебре на

немецком

языке.

Знак

корня

он применял в форме / .

Горизонтальную

черту над подрадикальным

выражением ввел

французский геометр Рене Декарт (1637 г.), а по­

казатель

корня

над

радикалом — голландский

математик

Альбер

выражения,

которые,

кроме

этих

пяти действий, содержат

также

и действие

извлечения

корня

т -й степени.

Такие алгебраические вы­

ражения называются и р р а ц и о н а л ь н ы м и .

Примеры иррациональных выражений;

У % 5 а ,

с Ч у / т — п ,

А + / з ,

5 / 2 ,

V l .

3/—

У

С

Иррациональные

выражения

вида а У Ь

называют

также

ради­

калами.

преобразования

иррациональных выражений.

3. Тождественные

Определение тождественных

иррациональных

выражений

и тож­

дественного

преобразования

остаются

такими

же,

как и для

рацио­

нальных выражений

(см. стр.

161).

н а о д н о

и т о оке ч и с л о , т.

е.

Из этого свойства получаем следствия:

1)

Р а д и к а л ы р а з н ы х с т е п е н е й м о ж н о п р и в е с т и к о д и н а к о в ы м

к а з а т е л я м .

так:

находят общее кратное (лучше всего наи­

Выполняют это

меньшее)

показателей

всех

радикалов и умножают показатель каж­

Р

е ш е н и е ,

а) Наименьшее

общее кратное

показателей

ради­

калов

6; дополнительные множители будут:

для

первого

радикала

3, для второго 2.

Тогда:

Y ах =

V (ахУ — У о

3 У- 1а- 23= У1

(а-)2

=У а

4

.

в) Наименьшее кратное показателей

радикалов 4п \ дополнитель­

ные множители соответственно будут л,

2 и 4. Тогда

(* -

I)'1 .

(А' +

О» ’

(А + 1 )3

(А “

I)3

2)

Е с л и п о д к о р е н н о е вы р а ж ен и е

ест ь

с т е п е н ь ,

п о к а з а т е л ь к о т о ­

р о й и м е е т о б щ и й м н о ж и т е л ь с п о к а за т е л е м р а д и к а л а ,

т о н а э т о т

м н о ж и т е л ь м о ж н о р а з д е л и т ь о б а п о к а з а т е л я ,

т. е.

П р и м е ч а н и е .

Эта

теорема

требует

дополнительного

усло­

вия: У ~аР должен существовать,

так

как

без этого теорема

может

быть неверной. Например,

вместо

У

(—2)° нельзя писать У

(—2)3 ,

так как последний корень в области действительных чисел не суще­

ствует.

Всегда верно следующее равенство:

В

частности,

тУ

| а""5 \ =

У \ а \ Р .

= |а Р |;

V

а

а ,

если

а >

О,

—а ,

если

а

< 0.

V (i— V2p = V 11— уйр=У(У2— 1)а.

3)

Е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е е с т ь п р о и з в е д е н и е н е с к о л ь к и х ст е ­

п е н е й ,

п о к а з а т е л и к о т о р ы х и м е ю т о д и н и т о т ж е о б щ и й м н о ж и т е л ь