книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

П р и м е р ы ,

а)

( х

+ (/)= — ( х — у ) 3

= ( х -f- у

+

х — у ) ( х + у —

— -V+ у ) = 2 х ■ 2 у = Л х у \

б) —6а — а2 — 9 =

— (a2 +

6a-f- 9) =

— (a + З)2;

в) /л2 -)- a2 — 2ни =

(hi — /г)2;

(5 т — п)3;

r)

125/л3 — 75n fin +

15п т 2 — n s —

д)

л'3 + 8 у 3 =

( х +

2у ) (л-2 -

2х у +

4т/2);

е)

125a3 — JL 6° =

^5а —

^ 5 а 2 +

1^- аб2 +

^

б«) .

+

с2 (б -f- я) — аб (а + б) = с (а -)- 6) (б — а) + с- (а + б) — a b

(а +

6)=

= (а -)- 6) [с (6 — а) -}- с2 — аб] = (а + б) (Ьс — ас + с2 — a b ) = (а +

б)х

+

b) [(бс— a b ) + (с2 — ac)J = (а + б) (б (с — а) + с (с — а)] =

(а +

X (с — а) (6 -f- с);

г) д-3 5д2 + 3х — 9 = (х3 — 1) + (5д2 — 5) + (Зд — 3) = ( х — 1)х

х ( д 2- |- д + 1 ) - ь 5 ( д 2 — 1)-4-3(д —

1) = (д — 1)(д'2 Н - д + 1 ) - |- 5 ( д —

- 1 ) ( д + 1) + 3 (д - 1 ) = (л- - 1 ) 1 л-2 + д + 1 + 5 ( д + 1) + 3] =

=

( х — 1)(л2 +

.v + 1 + 5х + 5 + 3)

= (х — 1) (л-2 - f 6д - f 9) =

=

( х - 1 ) ( .т +

3)2.

выражение называется д р о б н ы м ,

если среди

указанных в нем дей­

ствий есть деление на буквенное выражение.

Примеры дробных выражений:

а

б

1

3а х

вида

, где А

и В — многочлены. Они называются а л г е б р а и ч е с к и м и

д р о б я м и .

Многочлены /1 и В называются

соответственно

ч и с л и т е л е м

и з н а м е н а т е л е м

алгебраической

дроби.

Числитель

и

знаменатель

называются также членами дроби.

Примеры алгебраических дробей:

3av +

с

2 а

а - +

Ь — а

0,7

л — 0,5с2 ’

< Г ^ Т ’

2~

'

4 л '

П р и м е ч а в и е.

Напомним,

что одночлен

считается частным

видом многочлена (стр. 159). В частности,

число 1 также

можно рас­

сматривать как многочлен. Поэтому каждое целое алгебраическое

выражение

можно считать

алгебраической

дробью со знаменателем,

равным

1.

Каждую обыкновенную дробь также можно

рассматривать

как алгебраическую

дробь.

алгебраической дроби. Значение дроби н

2.

Основное свойство

изменится, если числитель и знаменатель умножить на одно и то же

неравное нулю число. Это свойство с помощью букв записывается так:

а

_

a m

Ь

~

Ь т '

где а

и Ь — члены дроби, а т

может

быть любым

числом — целым

или дробным

(положительным и отрицательным), но не равным нулю.

Из этого свойства вытекают следующие положения.

Значение дроби

не

изменится,

если у числителя и знаменателя

одновременно

изменить знаки

на

противоположные.

Н а п р и м е р.

— Зл — Зх(—

1)

Зх.

— А у ~ —А у ( — I ) - А у '

—8а

8а

8а ( —’1)

^ 1 3 Ь - ~~ — \Ж ~ (— 1) ~ \ W

'

Значение дроби

не

изменится,

если изменить знак

у одного из

членов дроби и перед самой дробью.

„

а — Ь

, а — Ь

а — Ь

1

1

- —с

—с (— 1)

с

а — 1

(а — 1) (^-1)

1 — а

2 ~

Ь ~ ^ 2

~

Ь — 2 ‘

3.

Сокращение дробей. С о к р а т и т ь

д р о б ь — это

значит разделит

ее числитель и знаменатель на их общий делитель.

ю

общие дели­

Если числитель

и знаменатель дроби

одночлены,

тели

находят

устно

и затем сокращают.

П р и м е р .

2 A a i b'1c

3ос

40п3й2 ~

5 •

_

а с — b e + a d — b d _

(а с — be) + {a d — b d )

_

P " * e P'

a c + be -f- a d -)- b d ~

(a c +

be) -f- {a d -j- b d ) ~

_c { a — Й) + d {a —

b)

( a — b ) ( c - \ - d )

a — b

~~ c (a + 6) -j- d (a +

b ) ~ {a + b ) ( c + d ) ~ a + b '

а)

Разделим

первый

многочлен

на второй:

а 1

-j- a -b -

+ й4 a 3 + 2a 2b + 2 a b 2 + b3

а1 + 2a 3b -f- 2 a -b - -f- a b 3

a — 2 b

-2a 3b - ■ a -b - — a b 3 -|- Й4

- 2 a 3b - ■4а2й2 — 4aft3 — 2 b '

+ 3a - b 2 +

3afi3 +

3й4 = Зй2 (a2 +

a b +

b°~).

б)

Разделим

делитель

a3 +

2а2й + 2ab'1 -j- b3

на

один

из сомно­

жителей остатка, — на a2 +

a b

+ й2:

— а 3 + 2a 2b + 2 аЬ 2 + Ь3 I а 2 + a b + 62

пз +

С26 +

аЬ 2

|----- ^ -

ь-----

_a 2b +

a b 2 +

Ь3

а 2Ь + ай2 + Ь3

О

Следовательно, общим делителем будет a2 +

a b

+ й2.

Тогда

а 3 +

2а2й + 2a b 2 +

Ь3 = (а 2 - f аЬ + 6=) (о -f- Ь),

а1 + а 2Ь2 + й4 = (а2 + ай + й2) (а2 — ай+ й2).

Значит

Q'1+ а2й2 + а4

(а2 +

ай + й2) (а2 -

ай + й2) _

а3 + 2а2й + 2ай2 + й3

(а2 + ай+ й3) (а + й)

_

а2 —

ай-f- й2

~

а + й

'

нателен *, умноженное па

все различные буквы, входящие в знаме­

натели, причем каждую

букву берут с

наибольшим показателем,

с каким она входит в знаменатели.

знаменатель дробей

Так, например, простейший общий

5 х

2 у _ ____ 1_

a b ’

3а -Ь И

2 а-№

равен 6а262.

Дополнительные множители следующие:

6ч '-Ь - : n b — бой,

6а-Ь- : 3а2Ь = 2й,

6а2 й2 : 2 а 2Ь2 = 3.

Поэтому имеем:

5.V_5.V • бай _

30.гай _

a b

a b ■ Gab

Gct-й- ’

2у _

2 у ■ 2Ь _

4иЬ _

За2й 3а -Ь ■ 2Ь

6а -Ь - ’

1

1 - 3

3

2п2й2 —

2а262 ■3 —

6а2й2 ‘

П р и м е р .

Привести к общему знаменателю алгебраические

„

т + п

т 2 -I- п 2

дроби:

-------Р7-

и —------ 5 .

г

2 т — 2п

т 2 — п 1

Р е ш е н и е.

2 т — 2л = 2 ( т — л), •

т 2 — п 2 = (т — п ) (т -{- п ) .

*

Если они —

натуральные числа,

Следовательно,

т -|- п

(т -(- л) (лг -|- я)

лг2 + 2т п -f- яа #

2т — 2л

(2лг — 2л) (/п + я)

2лг2 — 2л2 '

лг2 + л2

(лг2 + /г2) • 2 2л;2 + 2л2

лг2 — л2 — (лг2 — л2) • 2 — 2лг2 — 2л2 '

О т в е т .

/л2 +

2лгл.+ л2

2лг2 +

2л2

2лг2 — 2/г2 ’

2лг2 — 2л2 '

П р и м е ч а й

и е. Если

не требуется,

чтобы

общий

знаменатель

был п р о с т е й ш и м ,

можно, не тратя

времени на разложение

многочле­

нов, просто взять за общий знаменатель

произведение

знаменателен

данных дробей.

§ 9. Действия с алгебраическими дробями

I. Сложение и вычитание.

Ч т обы с ло ж и т ь

( вы чест ь )

а л г е б р а и ч е с ­

к и е д р о б и с

о д и н а к о в ы м и

з н а м е н а т е л я м и ,

н а д о

сло ж и т ь

(вы ч ест ь ) и х

ч и с л и т е л и и р е з у л ь т а т р а з д е л и т ь н а и х о б щ и й з н а м е н а т е л ь ,

п

^

л

1

и

а — 5

.

П р и м е р .

Сложить —

,

—

Р е ш е н и е .

а

1

а — 5 _л - ) - 1 + а — 5_ 2а — 4 а — 2

2х2+ 2л2 + ~2хГ ~

2Х2

2хР~

'

П р и м е р .

Вычислить

алгебраическую

сумму дробей

х

+ 1

х +

2

х — 1

Р е ш е н и е .

а — b

Ь — а

а — Ь '

х + 1 х + 2

х — 1 _ х + 1

х + 2 х — 1

а — b

Ь — а

а — Ь

а — Ь ' а — b

а — Ь ~ ~

_ х - f 1 + х + 2 — х + 1 _ х + 4

а — Ь

~

а

— Ь '

Ч т обы сло ж и т ь

( вы чест ь)

д р о б и с

р а з н ы м и

з н а м е н а т е л я м и , н а д о

п р и в е с т и и х

к

о б щ е м у

з н а м е н а т е л ю ,

сло ж и т ь

( вы чест ь)

ч и с л и т е л и

а — 1

а + 1

1

а2 -)- 2а + 1

а2 — 2а -J- 1

а2 — 1 ‘

а 2 —

1 = ( а — 1)( а + 1).

Общий

знаменатель равен

(а —{—I)2 (а — I)2. Следовательно,

а

— 1

а

+ 1

1

( а — 1) ( а — I)2 (а +

1) (о -Ь 1V2

а - +

2а + 1

а - —

2 а + 1 ~ а 2—1 —(а + I)2 (а — 1)2 _ (а +

I)2 (а — I)2

( а + 1 ) ( а — 1)

( а - I ) 2 — ( а + I ) 2 — (а2— 1 ) _

(а + I)2 (а — I)2

(а2— I)2

(а2 — За2 + За — 1) — (а3 —{—За2 + За -f- 1) — (а2 — I)

_

(а2 — 1 )2

~

а2 — За2 + За — 1 — а2 — За2 — За — 1 — а2 + 1 —7а2 — 1

—

(а2 — I)2

(а2 — I)2

Ь2

а — Ь

Ь-

а 2 — Ь2 + Ь2 _ а 2

а

а + 6

1

а + b

а Ь

а - \ - Ь ‘

2.

Умножение и деление дробей. Ч т обы п е р е м н о ж и т ь д р о б и , н

вед ен и е

за п и с а т ь

ч и с л и т е л е м ,

а вт о р о е

з н а м е н а т е л е м .

Ч т обы р а з д е л и т ь

д р о б ь

н а д р о б ь ,

н а д о

д е л и м о е у м н о ж и т ь н а

д р о б ь ,

о б р а т н у ю д е л и т е л ю .

дробей с одночленными числи­

Примеры умножения и деления

телями

и знаменателями:

3 p 2m q

3a b c

3 p 2m q ■ 3a b c

9р т е _

2a 2b 2

8 p q

2а 2Ь2 ■ 8 p q

16а6

’

8b 2c d

l e d

8b 2c d

12а2

Ш е й ■ 12а2

3262

~ 9 а ^ '' 12а2 9ав ‘ l e d ~

9ав • l e d

21а2'

■у- - - 4р2 _ -V— у = (.у — 2у) (л- + 2у)

х — у

х 2 — ху ' х 2 + 2 ху

х ( х — у)

' х ( х + 2у)

.У(-У—

(/) Л- (л; + 2(/)

X? ’

д2 —

. 4 а — 46

(я — 6) (а + 6) _ 4 (а — 6)

(а - f

6)2 : За + 36 —

(я + 6)2

'' 3 (а + 6) ~

(я + &) ( а — Ь) ■3 (я + 6) _ 3

(я +

6)2 • 4 (я — 6)

4

я •

2х

2 а х

X — С “Л

X — с

1 (.У — с ) - \ ~ х ~ с ’

(Л-“ -

1):

X4 — 1

-У4 — 1

х 2 + 1.

Л.-2

1 — Л-2 — 1

=

— I

3.

Возведение в степень.

Чтобы

возвести

алгебраическую дробь

в какую-нибудь степень, надо возвести

в эту степень

отдельно чис­

литель

и знаменатель

и первый

результат

разделить

на второй.

преобразования двумя способами:

п о

ч а с т я м и ц е п о ч к о й .

П р и м е р .

Упростить выражение

_____ я2 +

яб

6

\

/

1

2я6

я3 + я26 - f яб2 +

63 + я2 +

62/ : \ я ^ 6

— я3 — я26 + яб2 — 63

a - -f- a b

2aft

\ a 3 -j- a2ft -(- ab'1 -|-

ft3

a2 + ft'-

a — ft

a3 — a2ft +

a b 1 — ft3

a(a-j-ft)

a2 -J- ft2

I

4

1(a +

ft) +

ft2(a +

ft)

2a b

—

+

- A -

a — ft

a2 (a — ft) -j- ft2 (a — ft)

a'2 -|- ft2 '

a2 + ft2

2oft

a +

6

a2 + ft2 — 2«ft

(a ■ ■ft) (a2 +

ft2)/

a 2 -[—62 '

(a -

ft)(a2 +

ft2)

(a

+

6) ■(a — ft) (a2

ft3)

a + 6

(a2 + ft2) •

(a — ft)2

ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ

ЧИСЛА И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

§

10.

Квадратные корни

1.

Определения.

К в а д р а т н ы м к о р н е м

из числа а

называется чи

кзадрат которого равен а.

корень

из

9 равен 3,

так как З2 = 9.

Например, квадратный

Однако —3 также есть квадратный корень

из 9,

так

как (—З)2 =

9.

Квадратный корень нз 9 имеет два значения: 3 и —3.

Положительное значение

квадратного

корня

называется также

а р и ф м е т и ч е с к и м

з н а ч е н и е м .

Арифметическое

значение квадратного

корня нз числа а обозначают символом

У а .

З н а к ] /

назызают зка-

ко м к в а д р а т н о го

к о р н я или р а д и к а л о м .

Число

или

выражение а ,

ко­

торое стоит под

радикалом,

называется

п о д к о р е н н ы м

ч и сло м или

вы ­

Например

j , 1/6,25 = 2,5.

ней называют также

и звл е ч е н и е м

квадратных корней. Действие извле­

чения квадратного

корня

обратно действию возведения в квадрат:

если из положительного числа а

извлечь квадратный корень и ре­

зультат возвести в квадрат,

получим то же число а , т. е.

ных чисел, например 1, 4, 9,

16,

25,

36, 49, 64, 81, 100 и т. д.,

квадратные корни можно извлекать устно.

Чтобы извлечь квадратный корень нз миогоцифрового целого

числа, разбивают его справа налево

на

г р а н и , содержащие по две

цифры (в крайней левой грани может оказаться и одна цифра).

Записывают так:

У27'98'41

= 5 2 9

102

25

298

2

204

1049

9441

9

9441