книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

преобразований целых алгебраических выражений.

2.

Приведение подобных членов. Два одночлена р а в н ы , если у них

равны

коэффициенты и они составлены

из одинаковых

букв с соот­

ветственно равными показателями.

Одночлены называются п о д о б н ы м и ,

если они равны или отличаются только коэффициентами.

П р и м е р ы .

Одночлены 2а 2Ь3

и -~-агЬ3 равны;

одночлены 2а3,

О

—За3

и а 3 подобны.

Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом,

тождественным этой сумме, называется

п р и в е д е н и е м

п о д о б н ы х ч ле н о в .

Ч п ю б ы

п р и в е с т и

п о д о б н ы е ч лен ы ,

н а д о

сло ж и т ь и х

к о э ф ф и ц и е н т ы

вы р а ж е н и я .

7,Аа-Ь = (3 — 1 +

7,4) а гЬ = 9,4а26;

П р и м е р ы. 3а 2Ь — а26 +

14лг'-л — 27m 'Jn 2- \-0 ,7 т гп - \- 2 т ап -

— 0,5 т3л2 — 6 т 2л = 8,7т - п —25,5ш3л2.

3.

Раскрытие скобок

и заключение в скобки. Раскрыть в алгебра

ическом выражении скобки, значит заменить его тождественным ему

выражением, не содержащим скобок. Правила раскрытия скобок

следуют

из свойств сложения

п вычитания:

a + ( b - \ - c ) = a + b + c,

a — (b — с) = a — b

c.

Формулируют эти правила так:

а) ч п ю б ы р а с к р ы т ь с к о б к и ,

п е р е д к о т о р ы м и с т о и т з н а к п л ю с ,

н а д о

з а п и с а т ь б е з с к о б о к

все ч л е н ы ,

с т о я щ и е

в

с к о б к а х , с и х з н а к а м и ;

б) ч т о бы р а с к р ы т ь с к о б к и ,

п е р е д к о т о р ы м и с т о и т з н а к м и н у с ,

н а д о

з а п и с а т ь б е з ск о б о к

все

ч л е н ы ,

с т о я щ и е

в

с к о б к а х , с п р о т и в о ­

п о л о ж н ы м и з н а к а м и .

П р и м е р ы . 9а2 + [7а2 — 2а — (а2 — За)] = 9а2+ (7а2 — 2а — а2-)-

- f За) = 9а2 + 7а2 — 2а — а2 + За = 15а2 + а;

(3т +

5л) — {9nz — [6/71 +

2« — (12л -f- Ют) — т — (7пг — 4л)]} =

= Злг Н- 5л — [9т — (6 т +

2л — 12л — 10/л) — т — 7 т - \ - А п ] = З т +

+ 5л — (9 т — 6 т — 2л +

12л -f- Ю т — т — 7 т +

4л) = Зт-|-5л—9m-j-

-)- блг + 2л — 12л — Ю т +

т -(- 7 т — 4л = —2 т — 9л.

При заключении в скобки пользуются такими правилами:

а) ч т о бы з а к л ю ч и т ь в с к о б к и м н о го ч л е н со з н а к о м п л ю с п е р е д

с к о б к а м и ,

н а д о з а п и с а т ь в с к о б к а х все ч л е н ы

м н о го ч л е н а с и х з н а к а м и ;

б) ч т о бы з а к л ю ч и т ь в с к о б к и м н о го ч л е н со з н а к о м м и н у с п ер ед

с к о б к а м и ,

н а д о з а п и с а т ь

в с к о б к а х все ч лен ы

м н о го ч л е н а с п р о т и в о п о ­

л о ж н ы м и з н а к а м и .

х2 — у 2 — ( у - х ) = х 2 — у 2 + ( х — у ).

§ 5. Действия над целыми алгебраическими выражениями

1.

Сложение

одночленов

и

многочленов.

Ч т о бы

сло ж и т ь

о д н о ­

ч лен ы ,

д о ст а т о ч н о

з а п и с а т ь

и х

о д и н з а

д р у г и м

с

и х

з н а к а м и

и

п р и ­

в е с т и п о д о б н ы е

ч л е н ы ,

е с л и

о н и

ест ь .

+

(—6,8а2) =

—0,2xi/ +

П р и ме р .

(—0,2х у )

+

(3,7а-2) -|- (—3,5д:у)

-|- 3,7х2 — 3,5х у

— 6,8х2 =

—3,7х у

— 3,1х2.

Ч т обы

сло ж и т ь м н о го ч л е н ы ,

н а д о

з а п и с а т ь

п о с л е д о в а т е л ь н о

все

и х ч л е н ы

с

и х з н а к а м и

и

п р и в е с т и

п о д о б н ы е

ч л е н ы ,

е с л и

о н и

ест ь.

П р и

м е р.

(12а +

7Ь — с ) + ( с — 76 + 8а) =

12а +

76 — с +

с —

— 76 +

8а = 20а.

Сложение расположенных многочленов выполняют так: подписы­

вают многочлены так,

чтобы

подобные

члены

находились один

под

другим; после этого сразу

приводят подобные

члены

и записывают

окончательный

результат.

многочлены:

За-1 -}- 7х3у — х2у2 — 5ху3',

П р и м е р .

Сложить

—7х< _

5 хзу _)_ 8д-2У2+

1 Оху3;

4а4 +

10х3у — 2х2у2 — 7ху3.

Р е ш е н и е .

Зх4 + 7 Xsу —• х 2у 2— 5 х у 3

+ —7а4 —

бх3// +

8х 2у 2 + 1 0 х у 3

4Х4 +

10х3// — 2х 2у 2 —

7х у 3

12 х 3у + Ъх2у 2 — 2 х у 3.

2.

Вычитание

одночленов

и

многочленов.

Ч т обы

вы чест ь

о д н о ­

ч л е н , д о с т а т о ч н о

п р и б а в и т ь

его

к

у м е н ь ш а е м о м у

с п р о т и в о п о л о ж н ы м

з н а к о м

и

п р и в е с т и

п о д о б н ы е

ч лен ы ,

е с л и

о н и

ест ь.

П р и м е р ы .

10а3 — (+ 7 а 3) = 10а3 — 7а3 = За3;

—0,2ш2п — (+ 7,3 та ) =

—0 ,2 т 2п — 7,3т л .

Ч т обы

вы чест ь

м н о го ч л е н ,

н а д о

з а п и с а т ь

п о с л е у м е н ь ш а е м о го

все

его ч л е н ы

с

п р о т и в о п о л о ж н ы м и

з н а к а м и

и

п р и в е с т и

п о д о б н ы е

ч л е н ы ,

ес л и о н и

ест ь .

6 '

163

Вычитание расположенных

многочленов

можно выполнять так:

у вычитаемого многочлена

меняют знаки всех членов

на

противопо­

ложные, подписывают его

под

уменьшаемым

так же,

как

и при сло­

Р е ш е н и е .

, S.v4 — За3 + 7а2

-|- х — 18

+ —5а1 -)- 6 а 3 — За2 — 4а+ 7

За4 -(- За3 +

4а2 — За — 11.

3. Умножение

одночленов и

многочленов. Ч т обы п е р е м н о ж и т ь

л я х . Если

буква

входит только в один из сомножителей, то ее запи­

сывают в произведение с тем же показателем.

П р и м е р ы .

А3(/2г | . 21 а у

—

—6 а 4 у 3г\

(—вАВ-Ь1) • (—0.5а3у ) =

4хя+ 4//.

Ч т обы

у м н о ж и т ь м н о го ч л е н н а

о д н о ч л е н , н а д о

у м н о ж и т ь

н а

эт о т

о д н о ч л е н ка ж д ы й

ч л е н м н о го ч л е н а

и

п о л у ч е н н ы е п р о и з в е д е н и я

сло ж и т ь .

П р и м е р ы .

(5ш- — Юпт — 4/г2) • ^----^ mn'j = —2 ~ т3п +

-f- 5 т 2л2

2пт3;

1 - I ab • ( 4

а 3Ь _

4 г

° Ь - — -f-

Ь3

] = a*b - — 2a 2b3 —

1 -i- об4.

3

\ 4

2

о

/

У

Ч т обы

у м н о ж и т ь

м н о го ч л е н

н а

м н о го ч л е н ,

н а д о

ка ж д ы й

ч л е н

-|-

Ч ах3 — 6а2л2 + 1 5 а 3 А

12 а - х 2 — 8 а 3х + 20а4

-За4

Пал3 -J- а2л2 + 7а3л + 20а4.

и окончательный результат записывают внизу под чертой.

4. Возведение в степень одночленов.

Ч т обы

во звест и

о д н у

ст еп ень

в д р у г у ю ,

н а д о

о сн о ва н и е

во звест и

в с т е п е н ь ,

р а в н у ю

п р о и зве д е н и ю

п о к а з а т е л е й с т е п е н е й .

а6;

(я®)1

= я8;

П р и м е р ы.

(а3)2 =

( а т )п — а т п .

Ч т обы

во звест и в

с т е п е н ь о д н о ч л е н ,

н а д о во звест и в

а т у

ст еп ень

каж д ы й со м н о ж и т ель

и п о л у ч е н н ы е

р е з у л ь т а т ы

п е р е м н о ж и т ь .

—а 0.

П р и м е р

ы.

(2х - у 3г)'1 =

1 6 яв1/12г4;

(—(—а)2]3 = [—а2]3 =

5. Деление

одночленов.

П р и д е л е н и и ст е п е н е й о д но го и т о го же

а о сн о ва н и е о с т а е т с я п р е ж н и м .

а'" : а " =

ят —" (при

т > п ).

Г1 р и м е р ы.

я° : я2 — я3;

П р и м е ч а н и е . Если т

равно п ,

то в этом

случае делитель

и делимое равны,

значит, частное равно

единице:

а т

: а т = 1.

П р и м е р ы .

(— 15яя2) : 7,5я = —2яя;

30/;г4я5 : (— 18/;г1я2) =

— I ^ -я 3.

О

Деление одночленов нацело невыполнимо, если показатель какой-

либо буквы в делителе больше показателя

той

же буквы в делимом

или если делитель

содержит букву, которой

нет в делимом.

6 . Деление многочлена на одночлен.

Ч т обы

р а з д е л и т ь м н о го ч л е н

ч лен а и п о л у ч е н н ы е

ч а ст н ы е

сло ж и т ь.

П р и м е р ы .

( ~ а ех 3 +

1-р-я3я4 — -^г яяв) : — а х 3 =

l4~a6 +

\ 4

5

Ю /

5

4

Н- 2я2я — 1-^-я2;

[5 (а + б)1 — 10 (а +

б)3 —

15 (а + б)2] : 5 (а + б)2 =

= (я + б)2 — 2 (я + б) — 3.

членов на примере, когда оба

многочлена зависят от одной буквы.

Пусть надо разделить многочлен бх1— 1lx2 -+- 5х3

+

9 х— 5 па

многочлен Зх2 + 4 х — 5.

Для

этого

располагают многочлены по

убы­

вающим степеням букв х.

Затем выполняют

деление

в

следующем

порядке:

а) делят первый член делимого на первый член делителя и полу­

чают первый член частного;

первый член частного и произведение

б)

умножают делитель

на

вычитают из делимого. Получают первый остаток;

член

дели­

в)

делят первый (старший)

член остатка

на первый

теля,

получают второй

член

частного и так

делят до

тех пор,

пока

деление не окончится или пока не получится остаток,

старший

член

которого не делится на старший член делителя.

Записывают так:

6 .V1 + 5х3 — 11 х2 + 9х — 5 | Зх2 -)- А х — 5

бх4 + 8 х3 — 1 0 х2

2 х 2 _х -I- 1

—Зх3 — х2 + 9 х

—Зх3 — 4х2

+ 5х

Зх2

-|- 4 х

— 5

Зх2

+ 4х — 5

О

Пример.

а8+

2а3х + х2

| а3 + х

а° +

а3х

х2

а3 + х

_а3х

а3х -j- х2

или

О

_х2 + 2ха3 + а6 | х + а3

х~Ч~

•vfl3

х +

а3

_ ха3

+ а"

ха3 -|- а°

б

Деление многочленов не всегда выполняется нацело. В большин­

стве случаев при

делении

многочлена на

многочлен получается

а° — 2а6'+ За4 — а 3

а з _-ja

__ 5

_—4а4 -f- За3 — а

—4а4 + 8а3 — 12а2 + 4 а

—5а 3 + 12а2 — 5а + 1

—5а3 + 10а2 — 15а+ 5

2а2 + 10а — 4.

Здесь многочлен

2а2 -f- 10а — 4 уже

не делится на

а3

— 2а2 -f-

-|- За —-1, следовательно,

в

результате

деления получено

частное

а3 — 4а — 5 и остаток

2а2

+

10а — 4.

Между делимым А , делителем В , частным Q и остатком R суще­

ствует следующая зависимость:

A =

B Q + R .

В рассмотренном

примере

имеем:

_а2 + a b + 6 2 | а + Ь

_ Ь3 + Ьа + а2 [ Ь - \ - а

.

а , но

6 2 + 6 а

I

Ъ3

а2

щадь заштрихованной

части на

верхнем рисунке равна а2 — Ь~} на

нижнем она равна (а +

Ь) (а — Ь),

П р и м е р ы.

(7х +

2у 3) (7а- —

2у3) = 49а2 — 4if\

7

9

r

j

)(

2.

Квадрат суммы. К в а д р а т с у м м ы д в у х ч и с е л р а в е н к в а д р а

п ер во го ч и с л а ,

п л ю с у д в о е н н о е п р о и з в е д е н и е п ер во го ч и с л а н а вт о р о е ,

п л ю с к в а д р а т

вт о р о го ч и сла :

Рис.

16.

П р и ме р ы.

Н =(1 ху)

[тху+

+

2 •

о

Юл-2 + (10х=)2 =

— х у •

; 2 gх " у - +

8х 3у + 100а"1;

+

=

( | ш 2п2)

+

2 • А,„2„з

. т п -f- ( ~ § т п 1 =

=

25

9

:—/п4/гв -j- т 3п Л

—т 2п а.

оо

jIo

Геометрически

формулу квадрата

суммы двух чисел

можно изобра­

зить, как показано на рис. 17.

слагаемых

можно

определить по

Квадрат

суммы нескольких

формуле

(O l + а 2 4 “ • • ' + а п)~ — а 1 + О? +

• • ■ + а П Н -

4~ 2а1а2 4~ • • • +

П р и м е р ,

(лг-j-f/ + г)- =

х г + у - + г 3 + 2 х у + 2y z +

2л:г (рис. 18).

X Z

Z 2

o b

ь ?

х у

У 2

У ^

О 7

ob

X 2

х у

х г

а

Ь

х

у

Z

Рис.

17.

Рис.

18.

3. Квадрат разности. К в а д р а т

р а з н о с т и

д в у х

ч и с е л

р а в е н к в а д р а т у

(л-2 — За)2 =

(.V2)2 — 2 (х2) (За) +

(За)2 =

х* — 6л"а

9а2,

(I — 0,5с) =

1 — с +

0,25с2.

4. Куб суммы и разности. К у б с у м м ы д в у х ч и с е л р а в е н

к у б у п е р ­

вого ч и с л а , п л ю с

у т р о е н н о е

п р о и з в е д е н и е

к в а д р а т а

п ер во го

н а вт орое,

п л ю с у т р о е н н о е п р о и з в е д е н и е п ер во го н а к в а д р а т вт о р о го ,

п л ю с к у б

вт о р о го ч и с л а :

(а + b y

= а2 +

За26 +

Заб2 + Ь3.

К у б р а з н о с т и д в у х ч и с е л р а в е н к у б у п ер во го ч и с л а , м и н у с у т р о е н ­

но е п р о и зве д е н и е

к в а д р а т а

п ер во го

н а

в т о р о е ,

п л ю с

у т р о е н н о е п р о и з ­

ве д е н и е п ер во го

н а

к в а д р а т

вт о р о го ,

м и н у с к у б в т о р о го

ч и сла :

П р и м е р ы.

(а — Ь)3 = а 3 —

За'-b + Заб2 — Ь3.

(а2 + 463)3 =

(а2)3 -|- 3 (а2)2

• 4Ь3 +

За2 •

(4Ь3) 3 + (463)3 =

= а» +

\2 а * Ь 3 + 48а26“ + 646»;

(2а — 5Ь)3 =

(2а)3 — 3 (2а)2 • 56 +

3 • 2а (56)2 — (56)3 =

=

8а3 — 60а26 + 150а62 — 12563.

5.

Сумма

и разность

кубов. С у м м а к у б о в

д в у х

ч и с е л

р а в н а п р о и

в е д е н и ю

с у м м ы

э т и х

ч и сел

н а

н е п о л н ы й

к в а д р а т и х

р а з н о с т и :

a3 -f- 63 =

(а -J- Ь) (о2 — a b -[- 62).

П р и м е ч а н и е .

Н е п о л н ы м

к в а д р а т о м

р а зн о с т и

чисел

а

и Ь

называют выражение

о2 — a b

+

62.

От

полного

квадрата

разности

а - — 2a b

-|- Ь- оно отличается

только

средним

коэффициентом.

Выра­

жение а2 -)-а& -|-62

называют н е п о л н ы м

к в а д р а т о м

сум м ы .

по­

Если приведенную выше формулу прочитать

справа налево,

лучим:

квадрат их

раз­

произведение суммы двух чисел на неполный

ности равно сумме кубов этих

чисел.

Р а зн о с т ь

к у б о в

д в у х

ч и сел

р а в н а

п р о и з в е д е н и ю р а з н о с т и

э т и х

ч и сел н а

н е п о л н ы й

к в а д р а т

и х

сум м ы :

а 3 — 63 =

(а — 6) (а2 -f- аб -(- 62).

Эта формула читается и справа налево:

произведение

разности

двух чисел на неполный квадрат их

суммы равно разности

кубов этих чисел.

П р и м е р ы .

27

8

512

I- 729

Р е ш е н и е

(по

частям):

( * - ! ) ( * + 1) = * » - 1 ;

(*2 — 1)(л4 + л:а + 1) =

.ve — 1;

(*2+

1у = х а +

Зл4 +

Зх2 +

1;

л° — 1— (х* +

Зл-4 + 3.va +

1) = — Зл"1 — Зл:2 — 2.

Однако удобней

преобразования выполнять цепочкой:

( х — 1) ( х + 1 )(х * +

*2 + 1) — (л2 +

I)2 =

(л:2— 1) (а:4 + л-2 +

1) —

—(.V2 + I)2 =

(х» — 1) — (х° + Зх* +

Зл:2 +

1) = — Зл4 — Зл2 — 2.

Можно использовать

формулы сокращенного

умножения н при

делении многочленов.

П р и м е р ы .

(49л4 — 64у - ) : (7л:2 — 8 у ) = [(7л2)2 — (8(/)2] : (7л2 —

- 8 (/) = 7л2 + 8 1 /;

(16а2 — 256°): (563 +

4а) =

[(4а)2— (563)2] : (563 +

4а) = 4а — 563;

(а3 — 863) : (а — 26) =

[а3 — (26)3[ : (а — 26) = а2 +

2а6 +

462;

(27л3 + 8 у « ) : (Зл + 2у 3) = [(Зл)3 +

(2//3)3J : (Зл +

2у 3) = 9л2 -

— 6х у 3 + 4 у а.

§ 7. Разложение многочленов на множители

Разложить многочлен на

множители — значит

представить

его

в виде произведения многочленов, тождественного

данному много­

члену.

способы разложения

многочленов

на

Ниже укажем простейшие

множители.

гочлен

на

множители вынесением общего множителя за

скобки,

надо: а)

определить этот общий

множитель; б) разделить на

него все

члены многочлена; в) записать

произведение общего множителя на

полученное

частное, взяв это частное в скобки.