книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

логарифмы, применение алгебры

к решению

геометрических

задач.

С конца XVIII в. под влиянием

Эйлера и его

учеников в

русских

(1788— 1880);

третий том этой энциклопедии представлял собой учеб­

ник алгебры.

Он был дважды переиздан; третье издание вышло в

1854 г.

Учебники Д.

М. Перевощикова явились значительным вкладом

в дело

роградскнй (1801 — 1861),

В. Я. Буняковский (1804— 1889), О. И. Со­

мов (1815— 1876), Г1. Л.

Чебышев (1821 — 1894) и другие. Лобачевским

многих теоретических

и практических задач. Были

введены новые —

о т р и ц а т е л ь н ы е ч и с л а .

Для их обозначения

используют знак

минус,

например: —2, —19, —0,7 и т. д.

и дробные.

Например, числа

Отрицательные числа бывают целые

—4,

—306 — целые

отрицательные,

а

числа

—0,7,

—4,18,

—

2

,

О

—5-yj— дробные отрицательные. Чтобы

не смешивать с отрицатель­

ными числами те натуральные и дробные числа, которые

рассматри­

вались в арифметике,

условились называть их п о л о ж и т е л ь н ы м и .

Перед

положительными числами иногда пишут

знак

плюс,

но

можно

его

и не

писать. Например, числа -J-7 и 7 — одно

и то же.

Число н у л ь не принадлежит ни к положительным, ни к отрица­

тельным числам. Перед ним можно ставить и плюс,

и минус;

числа

-f-0,

—0 и 0 — обозначают одно и то же.

Целые положительные (т. е. натуральные), целые отрицательные

числа и нуль все вместе называют ц е л ы м и

ч и с л а м и .

Все целые

числа

и дробные числа (положительные и отрицательные) называют

р а ц и о ­

н а л ь н ы м и ч и с л а м и .

Раньше рациональные числа

называли относи­

П р и м е ч а н и е .

тельными.

Рациональные

числа удобно изображать на пря­

2. Числовая ось.

зано на рис.

15. Тогда

каждому

рациональному

числу

на прямой

8

О

А

— -|---------

1— 1---------------

1---------------

1--------------

1--------------

i--------------

1--------------

1---------

» -

- 3 - 2 - 1

0

1

2

3

4

Рис.

15.

жает точка

А , число —2,3 — точка В .

Прямая,

точки которой изображают числа, называется ч и сло во й

п р я м о й или

ч и сло во й осью .

от пулевой точки и на одинаковых расстояниях от нее.

Такие

пары

чисел называют п р о т и в о п о л о ж н ы м и ч и с л а м и . Например,

число 9

про­

тивоположно числу —9 и наоборот.

П р о т и в о п о л о ж н ы м и называют также знаки -)- и —.

цифрами. Говорят, что они имеют одинаковые

а б с о л ю т н ы е ве л и ч и н ы .

Абсолютная величина каждого из них равна 7.

А б с о л ю т н о й в е л и ч и н о й п о л о ж и т е л ьн о го ч и с л а н а зы в а е т с я са м о эт о

ч и сло , а б с о л ю т н о й в е л и ч и н о й о т р и ц а т е л ь н о г о

ч и с л а н а зы в а е т с я п р о ­

с а м о ч и с л о

0.

|а |.

Обозначают абсолютную величину числа а знаком

а < 0;

Таким

образом, | а \ =

а , если

а

>

0;

| а \ = — а ,

если

| 0 J = 0.

14 1=

4;

|0 |

=

0.

Например, | — 13 1= 13;

сравни­

4. Сравнение рациональных чисел.

Отрицательные числа

Из двух рациональных чисел то больше, которому на

числовой оси

соответствует точка, расположенная правее.

Отсюда вытекают следующие положения:

а) вся к о е п о л о ж и т е л ь н о е ч и с ло б о ль ш е н у л я

и

б о ль ш е

о т р и ц а т е л ь ­

н о го ч и с л а ;

б) в с я к о е о т р и ц а т е л ь н о е ч и с ло м е н ь ш е н у л я ;

в) и з д в у х о т р и ц а т е л ь н ы х ч и с е л

б о льш е т о ,

у

к о т о р о го а б с о лю т ­

н а я в е л и ч и н а м е н ь ш а я .

Например,

3 > 0; 1 > —5; — у < 0 ;

—3 > — 10; —4 < = 1 .

1.

Сложение,

а) Ч т обы сло ж и т ь

р а ц и о н а л ь н ы е

ч и с л а

с о д и н а к о в ы м и

з н а к а м и ,

с к ла д ы ва ю т и х а б с о лю т н ы е в е л и ч и н ы и п е р е д с у м м о й с т а в я т

и х о б щ и й з н а к .

(-|-8) +

(+11) = 19;

(—7) +

(—3) =

—10.

П р и м е р ы .

б) Ч т обы сло ж и т ь

д ва р а ц и о н а л ь н ы х

ч и с л а

с

р а з н ы м и

з н а к а м и ,

н е о б х о д и м о и з

б о льш ей

а б с о л ю т н о й

в е л и ч и н ы

вы чест ь

м е н ь ш у ю

а б со ­

л ю т н у ю в е л и ч и н у и п о с т а в и т ь з н а к ч и с л а с б о л ь ш е й а б с о л ю т н о й ве­

л и ч и н о й .

(+19) +

(—7) =

12;

(—2,4) + 15,8 =

13,4.

П р и м е р ы.

в) С у м м а д в у х п р о т и в о п о л о ж н ы х ч и с е л р а в н а н у л ю .

П р и м е р :

(—15) + ( + 15) +

0;

(

-

4 +

(

+

4

=

0.

г) Если одно из двух слагаемых равно нулю,

то сумма

равна

другому слагаемому: а +

0 = 0 +

а =

а.

Законы сложения положительных чисел справедливы для всех

рациональных

чисел.

чисел с

разными

знаками

можно

выпол­

Сложение

нескольких

нить последовательно: сначала найти

сумму первых двух слагаемых,

к этой сумме прибавить третье

и

т.

д.

Однако

удобней

сложение

выполнять по такому правилу: чтобы сложить несколько рациональ­

ных чисел с разными знаками, надо сложить отдельно

все

положи­

тельные и все отрицательные числа и полученные два числа сложить

по правилу сложения чисел с разными знаками.

( - 1 ) =

(+24) +

П р и м е р ы .

(+15) +

( - 4 ) +

( - 8 ) +

(+9) +

+ (-1 3 ) = + 1 1 .

2. Вычитание.

Ч т обы вы чест ь

о д н о ч и с ло и з

д р у го го , д о ст а т о ч н о

к у м е н ь ш а е м о м у

п р и б а в и т ь ч и сло ,

п р о т и в о п о л о ж н о е в ы ч и т а е м о м у .

П р и м е р ы .

(—3) — (+8) = (—3) + (—8) =

— И; —7 — (—4) =

*= - 7 + (+4) = - 3 .

сложением. Поэтому

Вычитание рациональных чисел заменяется

Примеры алгебраических сумм:

3 + 7 - 4 ,

(—2) +

(—7) + (+S) — (—4), a + b - c

+ d .

4. Умножение.

Ч т обы

п е р е м н о ж и т ь д ва р а ц и о н а л ь н ы х

ч и с л а , н а д о

если с о м н о ж и т е л и и м е ю т р а з н ы е з н а к и .

П р и м е р ы. (—2) ■(—3) =

-|-6;

(—0,5) • (+2) = — 1;

(+2)

■(+3) =

+ 6 ;

(+0,5) ■( - 4 ) = - 2 .

Если хоть один сомножитель равен

пулю,

то

н произведение

равно пулю, например

0 ■(—5) = 0;

(+2,5)

-0 =

0.

Чтобы умножить несколько сомножителей с разными знаками,

надо перемножить абсолютные

величины чисел и определить знак

произведения: если число отрицательных

сомножителей

четное, то

произведение будет

положительным,

если

число

отрицательных со­

множителей нечетное, то произведение будет отрицательным.

(число

П р и м е р ы .

(—5) • (+4)

• (—2) • (—3) • (-(-10) =

— 1200

отрицательных сомножителей

нечетное — три).

(+2,5) • (-7 ,3 )

■(+4) • ( - 2 ) • ( - 1 )

• ( +

1 )

-(-6 )

= +292

(число

отрицательных сомножителей четное— четыре).

для всех

Законы умножения

положительных,

чисел

справедливы

рациональных чисел.

Степень

любого

рационального

числа

5. Возведение

в степень.

Ч е т н а я ст еп е н ь о т р и ц а т е л ь н о го ч и с л а п о л о ж и т е л ь н а я ,

н е ч е т н а я

ст еп е н ь — о т р и ц а т е л ь н а я .

/

3 \ 3

27

П р и м е р ы .

(+2,1)2 =

+4,41;

—j =

— — ;

(—0,03)2 = 0,0009.

6. Деление.

Ч а ст но е о т

д е л е н и я

д в у х

р а ц и о н а л ь н ы х ч и сел

с о д и н а ­

к о вы м и з н а к а м и р а в н о ч а с т н о м у и х а б с о л ю т н ы х в е л и ч и н ,

в зя т о м у

со з н а к о м п л ю с .

(+28) : (+4) = + 7 .

П р и м е р ы. (— 16) : (—4) = + 4 ;

м и н у с .

—4; (+16,8) : (—8) = - 2 , 1 .

П р и м е р ы . (—48) : (+12) =

7. Исторические сведения о

развитии понятия отрицательного

нуль.

Сумма нуля и долга есть долг, имущества и нуля — имущество,

двух

нулей — пуль. Меньшее

вычитается

из большего, имущество из

имущества, долг

из долга, но если вычитается большее из меньшего,

значение избытка меняется. Долг, будучи

вычтен из нуля, делается

имуществом, имущество превращается в долг».

учение

Однако, несмотря

на логичность

и увязку с практикой,

индийских ученых не было воспринято

на Западе. Лука Пачиоли

(1445— 1514) пользуется

отрицательными числами, но лишь в составе

многочленов. Он

пользуется

правилом

«минус на минус дает

плюс»

в применении к

выражениям

типа (а — b)

X (а — Ь).

положное

отрезкам,

соответствующим положительным числам.

Дальнейшее

развитие теории отрицательных чисел в конце XVII

и начале

XVIII

вв.

связано было с открытием Ньютоном и Лейбни­

ход

Только в XIX в.

отрицательные

числа полностью

вошли

в оби­

алгебры.

§

3.

Алгебраические

выражения

•1. Употребление букв. В алгебре для обозначения

чисел,

кроме

цифр, пользуются буквами,

чаще

всего

латинского

алфавита (см.

стр.

9).

Буквы

употребляют:

чисел,

например

в упражнении

1) для

обозначения

неизвестных

«Определить х , если

л-

0,9 =

2,7»;

ченными цифрами. Например, если требуется

сложить а и Ь, пишут

a -j- b. Эту запись и называют суммой чисел а и Ь.

П р и м е ч а н и е . Перед множителями,

выраженными буквами,

знак умножения

не ставят, а только подразумевают. Например, вместо

а ■ Ь ■ с , 4 ■л- пишут a b c, 4.V. Однако перед множителями,

обозначен­

ными цифрами,

знак умножения пишут обязательно.

Например,

в ы р а ж е н и я м и .

3.

Числовое значение алгебраического выражения. Ч и с ло вы м з н а ­

ч е н и е м

алгебраического выражения при данном значении входящих

вместо

букв

соответствующих чисел н

выполнения

указанных

действий.

Определить числовое значение выражения За + 5 при

П р и м е р .

а = 5,7.

= 5,7, то

Р е ш е н и е . Если а

За +

5 =

3 • 5,7 +

5 =

22,1.

О т в е т .

При а =

5 ,7

числовое

значение данного

выражения

равно

22,1.

П р и м е р .

Определить

числовое

значение

выражения

а

2п -|- 5а

при а = 1

и п — —2,5.

= 1,

п — —2,5,

то

Р е ш е н и е .

Если

а

а

__________ 1__________ 1

2л +

5а — 2 • (—2,5) +

5 • 1 ~

О"

Однако

на

0 делить

нельзя,

следовательно,

при данных

значениях

букв данное

алгебраическое выражение

не имеет числового

значения.

Говорят также,

что

при

а = 1

и п =

—2,5

это выражение лишено

смысла

или

что эти

значения

н е д о п у с т и м ы для

данного выражения.

Числовые значения,

которые могут

принимать

буквы

в данном

алгебраическом

выражении, не лишая

его смысла,

называются д о п у ­

с т и м ы м и

з н а ч е н и я м и

для

этих

букв.

4.

Одночлен и многочлен.

А л ге б р а и ч е с к и е вы р а ж е н и я , с о с т а вле н н ы е

д е л е н и я и в о зв е д е н и я в ст еп е н ь с н а т у р а л ь н ы м п о к а з а т е л е м ,

н а зы в а ­

ю т ся р а ц и о н а л ь н ы м и а л г е б р а и ч е с к и м и в ы р а ж е н и я м и .

гг

,

,,

Л'

т 2 - \ - п 2

а

.

2

П р и м е р ы ,

а — 6; а26; — ;

—+ — 5 ;

+

— .

Рациональное

у

т 2 — п 2

6

алгебраическое выражение

называется ц е л ы м , если

оно не содержит деления на буквенное выражение.

П р и м е р . За2 + -i- 6; х — у ,

^ ; а 2Ь.

Из целых

выражений

наиболее

простыми

являются одночлены.

Алгебраическое

выражение,

которое содержит только д е й с т в и я у м н о -

ж е н и я и в о зв е д е н и я в с т е п е н ь ,

н а зы в а е т с я о д н о ч л е н о м .

П р и м е р ы.

2

4

с.

T a b 2-, — —6;

— ,v2y2; —0,23;

5

5

Эти одночлены записаны в простейшем (каноническом) виде.

Алгебраическая сумма

нескольких одночленов н а зы в а е т с я

м н о го ­

ч л е н о м , или п о л и н о м о м .

П р и м е р .

2а + 76 — с;

а3 — 63 ---- с2;

х 2 +

х — 5.

О

трех членов,

называется т р е х ч л е н о м (например, За — 26 + 8) и т. д.

Одночлен

принято также считать многочленом.

П р и м е р . Многочлен — 15-V- + 7.x1 — 8х -|- 3 — 5.V3 расположить:

а )

по возрастающим степеням .v;

б) по убывающим степеням

Р е IUе н и е. а) 3 ■— 8.v — 15л:2 — бх3 +

7х4 (по возрастающим сте­

пеням);

б) 7.x1— 5х3 — I5.V2 — 8.V + 3 (по убывающим степеням).

Если многочлен содержит две пли несколько букв, то выбирают

одну из

них, которую называют главной,

н располагают многочлен

последний — низшим

членом

этого

многочлена.

Степень

старшего

члена

называется

с т е п е н ь ю и самого многочлена.

Так, в нашем слу­

чае Зх3 — старший

член,

—5а 2— низший

член,

3 — будет

степенью

старшего члена и степенью самого многочлена.

6.

Коэффициент.

Ч и с ло во й

м н о ж и т е л ь , стоящий впереди букве

ных множителей,

называется к о э ф ф и ц и е н т о м .

Если выражение содержит только буквенные множители, то его

коэффициент равен единице, например, вместо

1с пишут просто с,

вместо

la b

пишут a b .

Коэффициент может

быть

целым числом, на­

пример в выражении

5 c d ,

а также дробным, например в выражении

о a b .

Если

коэффициент — натуральное

число,

го он показывает,

сколько раз стоящее за ним выражение берется слагаемым,

например

5 c d =

c d -)- c d + c d +

c d

+

cd .

Если же коэффициент — дробное поло­

г

_

4г .

3 "

~

¥

’

х

х -f- х

х -]—х

х

х

7х

П р и м е ч а н и е.

У

У

У

Зу

В дальнейшем • понятие

коэффициента обобщи*

ется, даже буквенные

множители

можно

рассматривать как коэффи­

циенты. Например, в выражении 2a b x

коэффициентом при х есть 2a b .

7.

Порядок действии. В алгебре сохраняются правила о порядке

выполнения действий, которые

приняты

в арифметике

(если

не учи­

тывать одного исключения, рассмотренного на стр. 59). В выра­

жениях

без скобок, содержащих действия разных ступеней,

сначала

надо

выполнять

возведение в

степень,

затем

умножение,

деление

и, наконец,

сложение и вычитание.

Если в выражении есть

скобки,

то действия над числами, заключенными в скобки, выполняются

первыми.

П р и м е р. Найти числовое значение выражения

а

Ь (Ь —

2а )

а

: a b 2

при а

=

— 1,

b =

0,5.

—1,

b =

0,5,

то

Р е ш е н и е .

Если а =

а +

а

аУ —

1 +

°-5 (М

;

, 0|52 ,

— 1

=

- 1 +

0 5 (0 5 -I-

• 0,25 =

0 5 - 2 5

: (-0 ,2 5 )=

'

1 >: ( - 1 )

- 1 + , _

1 1

= — 1 — 1,25: (—0,25) =

—1 + 5

=

4.

при а

=

1

3 (а — 2) +

6 =

3

и За =

3,

при а

=

2 3 (а — 2) +

6 =

6

и За =

6 и т. д.

Два тождественных

выражения, соединенные знаком

равенства,

составляют т ож дест во .

Можно сказать

и так:

входящих

равенство,

верное

при

всех

допустимых значениях

в него букв, называется тождеством.

П р и м е р ы. 3 (а — 2) -(- 6 = За;

х + 2.v +

5 х

=

8.V — тождества.

Тождествами являются также все равенства, выражающие законы

сложения и умножения:

а +

=

Ь +

b

а,

а + Ь + с = а + (Ь + с),

ab

=

Ьа,

a b c

=

а (Ьс),

6 5-353

161