книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

5)

Сколько стоит килограмм

винограда?

0,2 руб. +

0,4

руб. =

0,6

руб.

О т в е т .

0,2

руб.

и 0,6

руб.

нив

П р и м е ч а н и е .

Можно

было

бы

решить задачу

иначе;

заме­

5 к г

яблок

на

5 к г винограда.

Тогда

покупка

стоила

бы

па

2 руб. дороже.

З а д а ч а

2.

Сосновая

шпала весит 27,8 к г ,

а дубовая — 45,5 к г .

10 шпал

весят 384,2 к г .

Сколько

среди

них сосновых

и

сколько

ду­

бовых? *

10 шпал, если бы они

все были дубовые, весили бы:

45,5

Р е ш е н и е .

•

10 = 455 (кг).

На

сколько

меньше

весят 10 сосновых и дубовых

шпал, чем 10 дубовых?

455 — 384.2 =

70,8 (кг).

На

сколько дубовая

шпала

тяжелее

сосновой?

45,5

— 27,S =

17,7 (кг).

Сколько было сосновых

шпал?

70,8:

17,7 =

4.

Сколько было дубовых

шпал?

10 — 4 =

6.

О т в е т .

4 шпалы

и 6

шпал.

6.

Задачи на

уравнивание данных.

сорта

и 28 кг второго

З а д а ч а

1.

За

1,5 кг

товара

первого

сорта

уплатили

252,5 руб.

В

другой

раз

за

30 кг

второго

сорта

и 4,5 кг первого сорта уплатили 325,5

руб.

Сколько

стоит 1 к г каж­

дого

сорта?

запись

условия:

1,5

I

и 28 кг

II — 252,5

руб.

Краткая

к г

Р е ш е н и е .

4,5

к г

I

и 30 к г

II — 325,5

руб.

Заметив, что во второй раз куплено в 3 раза больше

товара первого сорта, можно уравнять число

килограммов товара

первого

сорта,

купленных

оба

раза.

'Д ля

этого

предполагаем,

что первая покупка была в 3

раза больше данной условием.

Тогда,

имеем:

4.5 кг I

и 84 кг

II — 757 руб.

50

коп.

4.5 к г

I

п 30 к г

II — 325 руб.

50

коп.

— 224 = 28,5

(руб.)>

следовательно,

1кг

его

стоит

28,5:1,5 =

= 19 (руб.).

19

руб. и 8

руб.

О т в е т .

З а д а ч а

2.

За

30 тетрадей и 12 карандашей уплатили 96коп.

По той же цене за

20 тетрадей н 7 карандашей уплатили 61

коп.

Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш?

Запись

условия:

30 тетр. и 12

карапд.— 96 коп.

Р е ш е н и е .

20

»

7

»

— 61 коп.

в обеих

по­

Уравняем

число

тетрадей,

купленных

купках. Для

этого

предполагаем,

что

первая

покупка

в два раза,

а вторая в три раза

была больше действительной, тогда имеем:

60

тетр. и 24. каранд. — 1 руб.

92 коп.

60

»

21

»

— 1

руб. 83 коп.

Далее

так

же,

как и в предыдущей задаче,

находим стоимость

карандаша

и тетради.

коп.

О т в е т .

2 коп.

и 3

пробы. Какой пробы получился сплав?

Р е ш е н и е .

В

первом

слитке чистого золота было 0,92 от 180 г,

т. е.

180 • 0,92 =

165,6

(г). Во

втором

слитке

чистого

золота

было

0,752

от 100 г, т.

е.

100 • 0,752 = 75,2 (г). Следовательно, в

получен­

ном сплаве чистого золота содержится 165,6 +

75,2 =

240,8 (г). Общий

вес сплава равен

180 +

100 = 280 (г). Его проба равна

240,8

1000 = 860.

280

О т в е т .

Получен сплав

860-й пробы.

8 кг

70-процентного

рас­

З а д а ч а

2.

К

2 кг воды

прибавили

твора

серной

кислоты.

Определить процентную

концентрацию полу­

ченного раствора.

1)

Сколько

в растворе чистой (безводной)

кислоты?

Р е ш е н и е .

8 кг •

0,7 =

5,6 кг.

2)

Чему

равен

вес

раствора?

2

кг +

8 кг =

10 кг.

3)

Чему

равна

процентная

концентрация

раствора?

5,6

кг : 10 кг =

0,56 =

56%.

П р и м е ч а й

и е.

Если

количество

кислоты выражено

не в ки­

лограммах, а в литрах,

то

подобные

задачи

можно

решать только

с помощью таблиц

удельных

весов

растворов серной

кислоты.

Рас­

смотрим, например, такую задачу.

К 2 л

воды прибавили 8 л

70-про-

иентного раствора серной кислоты. Определить

процентную

концен­

трацию

полученного

раствора.

удельный

вес 70-процентного

Р е ш е н и е .

В

таблице

находим

раствора серной

кислоты. Он равен 1,6.

Следовательно,

8 л этого

раствора

весят

1,6 •

8 = 12,8 ( к г ).

Безводной

кислоты

в нем содер­

жится

12,8 • 0,7 =

8,96 (кг).

Концентрация

раствора

равна

8,96:

: 14,8 =

0,6 =

60%.

относятся

к задачам

на см е ш е н и е

Рассмотренные

задачи

п ер во го

р о д а . Они сравнительно не трудны.

Более сложными задачами являются задачи на

см е ш ен и е

вт о р о го

рода .

З а д а ч а

3.

В каком отношении нужно взять два сорта товара

стоимостью по 7,5

руб.

за

1

к г

и по 7

руб.

за

1 к г .

чтобы

получить

смесь стоимостью

по 7,2 руб. за 1 кг ?

количества

товара

ценой

Р е ш е н и е .

Обозначив

неизвестные

7,5 руб. и 7

руб.

за

1

к г

соответственно

через

а-,

и

л'2, составляем

таблицу:

Далее

рассуждаем

так.

При

стоимости

1 к г

смеси по 7,2 руб.

каждый

килограмм

товара

первого сорта оценивался дешевле его

стоимости

на 0,3

руб., а каждый килограмм второго сорта, вошед­

ший в смесь, оценивался дороже на 0,2 руб.

могло быть

Для того чтобы уменьшение стоимости первого сорта

покрыто повышением стоимости второго сорта (стоимость всей

по­

купки не изменилась), необходимо,

чтобы

каждый

раз,

когда

берут

0,2 к г

товара

первого

сорта,

брали

0,3

кг

второго

сорта,

т.

е.

*i • * 2 =

0,2 : 0,3,

или .yl : агл= 2 : 3.

О т в е т .

В отношении 2 :3 .

З а д а ч а

4.

Из двух сплавов с 60-процентным и 80-процентным

содержанием

меди

надо изготовить сплав весом 40 к г с 75-процентиым

содержанием

меди.

Сколько

килограммов

каждого

сплава надо взять

для этого?

Выражаем

содержание

меди

в

граммах

на

1

Р е ш е н и е .

кг

сплава:

Xi = — = 10 (к г );

Ло = — ■3 = 30 (кг).

О т в е т . 10 кг и 30 к г .

8.

Задачи на движение. К арифметическим

задачам на движение

принадлежат такие, в которых на основании зависимости между вре­

менем, скоростью и расстоянием при равномерном движении надо

найти одну

из этих величин.

В зависимости

от их содержания раз­

личают задачи на

встречное

движение

и на

движение в одном

на­

правлении.

З а д а ч а

1.

Из

города

а)

В с т р е ч н о е д в и ж е н и е .

А

в 11 ч выехала легковая машина и движется

со

средней

скоростью

50 к м /ч

по

направлению к городу В .

Через

30 м и н

навстречу ей

из

города

В

вышла

грузовая

машина

со

средней

скоростью 35 к м /ч .

В котором часу произойдет их встреча, если расстояние между горо­

дами равно

195 к м

(рис. 13}?

5 0 к м /ч

35 к м /ч |

195 — 25 = 170 (к м ).

3)

На

сколько километров

сближаются

за

один

час

легковая

и грузовая

машины?

50 +

35 = 85 (к м ).

4)

Через

сколько

часов

после

выхода

грузовой

машины они

встретятся?

170 : 85 =

2 (ч).

5)

В котором

часу произойдет встреча машин?

11 ч + 30 м и н -)- 2 ч = 13 ч 30 м и н .

О т в е т . В 13 ч 30 м и н .

пунктов,

расстояние

между

которыми

З а д а ч а

2.

Из

двух

37 к м ,

вышли

одновременно навстречу друг другу два туриста. Пер­

вый проходил

за

час

на 0,5

к м

больше второго.

С какой скоростью

шел каждый турист, если через 2,5 ч

после

выхода

расстояние меж­

ду

ними

было

18,25 к м ?

расстояние: 37—18,25=

=

Р е ш е и и е. Оба туриста прошли за 2,5 ч

1S.75 (к м ) .

За

час они прошли

18,75 : 2,5 = 7,5 (кл).

Если

бы ско­

рость первого туриста была такая

же, как и второго, они за час

прошли

бы 7,5 — 0,5 = 7 ( к м ) .

Тогда

второй

турист за час проходил

7 : 2 =

3,5 (к м ),

а

первый — 3,5 -J- 0,5 = 4 (к м ) .

О т в е т .

4 к м

и 3,5 к м .

З а д а ч а 3

Из

б)

Д в и ж е н и е в о д н о м н а п р а в л е н и и .

пункта

А

выехал

велосипедист и едет

по

направлению

пункта В

со средней

скоростью

12 к м /ч .

Через

2 ч

из этого

же

пункта

отпра­

вился

в

том

же

направлении

второй

велосипедист

со

скоростью

18 к м /ч .

Через сколько часов

и

на

каком расстоянии

от А

второй

велосипедист догонит

первого?

74»

12км/ч51*2

А *=-----------

в

1

/б /ш /ч •

Рис.

14.

Р е ш е н и е

(рис.

14). 1)

Какое

расстояние

проходит

первый

велосипедист до

выхода второго?

18 — 12 = 6 (/си<).

3) Через сколько часов после своего выхода второй велосипедист

догонит

первого?

24 к м : 6 к м = 4 (ч).

4)

На

каком расстоянии от А второй велосипедист догонит пер

вого?

18 х

4 = 72 (к м ).

О т в е т . 4 ч, 72 км .

в экскурсию, рассчитал,

что

З а д а ч а

4. Мотоциклист, отправляясь

если

он будет

проезжать

по 20 к м /ч ,

то приедет

на место на

15

м и н

раньше,

чем

если

поедет со скоростью 18

к м /ч . Какое

расстояние он должен

проехать?

задач,

приводящих к

уравнениям

с одним

неизвестным.

Значи­

тельно более глубокими знаниями

обладали

вавилоняне. До

нашего

времени

сохранились

тексты с решением системы двух уравнении

с двумя

неизвестными,

квадратных и кубических уравнении,

систем

квадратных уравнений с двумя и с тремя неизвестными.

В древней Греции

алгеброй занимались очень мало. Однако за­

250

г. и. э.,

является доказательством

того,

что в древней Греции

уже

тогда

существовала алгебра как

паука,

связанная, очевидно,

Диофанта — чисто

аналитического типа, но

при решении

каждой

задачи

он

пользовался специальным

способом: общих способов ре­

шений

он

не.знал.

Диофант не знал

также

отрицательных

чисел,

корень

в качестве ответа. В сеоих алгебраических рассуждениях

он

пользовался некоторой символикой.

алгебры, различают

три

В истории математики, и в частности

способа

изложения — риторический, синкопированный

и символиче­

ский. Р и т о р и ч е с к и м способом называется

такой, когда

все предло­

Индийцы

внесли в алгебру значительный вклад. Во II в. и. э.

они пользовались иррациональными числами. В VII в. математик

Брахмагупта

уже полностью владеет теорией уравнений первой и вто­

Бхаскары,— «Лилаватн» и «Бпджаганита». В

последнем

Бхаскара

занимается решением квадратных уравнений, причем

рассматривает

оба корня, считая, однако, второй корень ненужным.

Некоторыми

познаниями

в алгебре

обладали также математики

древнего и средневекового

Китая. Последняя

часть

«Математики

в девяти книгах», написанной во II—-III вв. и. э., посвящена приме­

нению алгебры

к некоторым задачам

геометрии. В XIII

в. выдаю­

математиков. Особенно значительный вклад

принадлежит

средне­

азиатским ученым, которые,

кроме греческой

математики,

изучили

и индийскую, чем облегчили

свои дальнейшие

исследования.

степеней,

рассматривает применение алгебры к геометрии, а также

к ряду вопросов,

связанных

с наследованием и делением имущества

по сложным законам мусульманского права.

велико. В сущности, он

Значение

Мухаммеда в истории

науки

подытожил

и свел

воедино

знания

греков,

индийцев и среднеазиат­

ских народов

по арифметике

и алгебре.

написал около 1070 г.

трактат по

алгебре, содержащий решение

уравнений

первой,

второй и третьей

степеней,

а также

некоторых

специальных

видов

уравнений

методом

геометрических

построений.

Много алгебраических задач было решено среднеазиатскими и

арабскими

учеными

в связи с

развитием

астрономии и

геометрии.

Так, астроном

Улуг-Бек

(1394— 1449)

разработал

численное решение

кубических

уравнений типа

заимствованные у восточных математиков.

Как это сочинение, так

и его прообразы — труды среднеазиатских

и восточных ученых — на­

10 на две части, произведение которых

равно

40,

и в

результате

получает 5 -|- У — 15; 5 — ] / — 15. Перемножив

эти

числа,

он

полу­

чает: 25 -)- 15 = 40.

наука

достигла

в

XVI

в. во

Наибольшего развития алгебра как

До XVII в. европейские

математики,

за исключением Жирара,

не признавали отрицательных

чисел, пока знаменитый французский

геометр Рене Декарт (1596—1650)

не дал геометрического истолкова­

ния их на числовой оси.

Однако

и после

Декарта встречаются не­

правильные

взгляды на

отрицательные числа; только с середины

XIX в. в

учебниках для

средней

школы

отрицательные числа изла­

разработал

прием исключения одного

неизвестного из

двух уравне­

ний одинаковой

степени.

«Универсальная

арифметика»

В 1707

г.

была

опубликована

И. Ньютона (1642—1727), в которой содержался ряд полученных им

результатов из

области

алгебры. Частично эти результаты были опуб­

1703). Ньютон усовершенствовал

метод исключения Ферма,

открыл

теорему о

биноме,

хотя и не

дал

ее доказательства.

«Алгебра» Джона Валлиса долгое время

служила наиболее пол­

ным руководством по этому предмету. Кроме

глав из области теории

и практики

алгебры

и арифметики,

книга содержала также

раздел