книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

д в у х с о о т в е т с т в у ю щ и х з н а ч е н и й

в т о р о й в е л и ч и н ы . Отсюда следует,

что для

данной

пары прямо пропорциональных величин частное от

деления

любого

значения одной

величины на соответствующее зна­

ветствующее значение другой

величины — буквой х , определим

коэф­

фициент пропорциональности

k

так:

-^-= k . Отсюда, у = k x .

Эю

равенство называется ф о р м у л о й

п р я м о й п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и .

П р и м е р .

При постоянной

скорости время движения и расстоя­

ние, пройденное

движущимся

телом

за это время, — величины

прямо

скоростью

50 к м / ч .

Тогда за

1 ч ,

2 ч,

3 ч,

4 ч

и т. д.

он пройдет

соответственно

50

к м ,

100 к м ,

150 к м ,

200

к м

и

т. д.

Отношения

50

100

150

200

Раш1Ы’

так

как

кажД°е

113

них

равно 50.

Т ’

~ 2 ~ '

Т

’ ~4~

дет поезд за любое данное время. Например, если а-= 5, то

у — 250.

Следовательно, за 5 ч поезд пройдет 250 к м .

2.

Величины обратно

пропорциональные.

Е с л и

две

в е л и ч и н ы св

з а н ы

м е ж д у

собой т а к ,

чт о

с у в е л и ч е н и е м ( у м е н ь ш е н и е м )

з н а ч е н и я

о д н о й

и з

н и х

в н е с к о л ь к о

р а з з н а ч е н и е

д р у г о й с о о т вет ст вен н о у м е н ь ­

ш а е т с я (у в е л и ч и в а е т с я ) во с т о ль к о ж е р а з , т о т а к и е в е л и ч и н ы н а з ы ­

в а ю т с я

о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н ы м и .

Например,

если

на

15 руб.

будет

зависеть

от

цены

одного

килограмма.

Во сколько

раз выше

цена,

во столько

раз меньше

можно купить

на эти деньги конфет.

Обратно пропорциональные величины обладают следующим свой­

ством:

е с л и две

в е л и ч и н ы

о б р а т н о п р о п о р ц и о н а л ь н ы , т о

о т н о ш е н и е

о т н о ш е н и ю с о о т в е т с т в у ю щ и х з н а ч е н и й д р у г о й в е ли ч и н ы .

обратно

Отсюда можно

сделать такой вывод:

для дайной

пары

пропорциональных

величин п р о и з в е д е н и е

лю б о го з н а ч е н и я о д н о й

в е л и ­

ч и н ы н а

со о т в е т с т в у ю щ е е

з н а ч е н и е д р у г о й

в е л и ч и н ы

ест ь

ч и сло п о ­

с т о я н н о е .

значение одной

величины буквой а , а

соот­

Обозначим некоторое

ветствующее значение другой величины буквой у .

Тогда

х у

= к .

Отсюда

у — — . Это равенство называется

ф о р м у л о й

о б р а т н о й

п р о ­

П р и м е р .

Если покупать товар стоимостью в 1

руб.,

1,5 руб.,

2 руб., 3 руб.

за килограмм,

то за 15

руб. можно

купить

соответ­

ственно:

15 к г ,

10 к г , 7,5

к г , 5 к г .

З а д а ч а

1. 10 болтов весят 4 к г . Сколько весят 25 таких бол­

тов? Такие задачи можно решать несколькими способами.

Р е ш е н и е

1 (способом приведения к единице).

1) Сколько весит один

болт?

4

к г : 10 =

0,4 к г .

2) Сколько весят 25 болтов?

0,4 к г ■ 25 =

10 к г .

откуда

а- :

4 =

25 : 10,

4

•

25 . . . .

а = —щ — = 10 (к г ).

Можно рассуждать и так:

25 болтов больше 10 болтов в 2,5 раза.

Следовательно, они тяжелее 4 к г

тоже в 2,5 раза:

4 к г

■ 2,5 = 10 к г .

О т в е т .

25

болтов

весят

10 к г .

делает

50 о б /м и н .

Второе

З а д а ч а

2.

Первое

зубчатое колесо

зубчатое

колесо,

сцепленное

с

первым,

делает

75

о б / м и н .

Найти

число зубьев

второго

колеса,

если число

зубьев

первого

равно 30.

Р е ш е н и е

(способом

приведения к единице).

Оба

сцепленные

зубчатые

колеса передвинутся за минуту на одинаковое число

зубьев,

50

обор. — 30

зуб.

75 обор. — х

зуб.

* : 30 = 50 : 75;

х =

= 20 (зубьев).

Можно рассуждать н так:

второе

колесо делает оборотов в 1,5

раза больше первого (75:50 =

1,5). Следовательно, оно имеет зубьев

в 1,5

раза меньше первого:

30 : 1,5 = 20

(зубьев).

О т в е т . 20

зубьев.

правило.

Задачи, в которых по данно

2.

Сложное тройное

ряду соответствующих друг другу значений

нескольких (более двух)

пропорциональных величин

требуется

найти значение одной из них,

соответствующее другому

ряду данных

значений остальных величин,

называют задачами на сло ж н о е

т р о й н о е

п р а в и л о .

З а д а ч а .

5 насосов

в

течение 3

ч выкачали 1800 ведер воды.

Сколько воды выкачают 4 таких насоса в течение 4 ч?

Р е ш е н и е .

5

нас.

3 ч — 1800 вед.

4 нас.

4 ч —

х

вед.

1)

Сколько

ведер воды

выкачал

1

насос

в течение 3 ч?

-Vj

Л*2 =

100,

,Vj :

л'2

=

2: 3 .

Такие задачи решают,

пользуясь следующим правилом.

Ч т о б ы р а з д е л и т ь ч и с ло н а ч а с т и п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь н о н е с к о л ь ­

к и м д а н н ы м

ч и с л а м ,

д о с т а т о ч н о

р а з д е л и т ь

его

н а

с у м м у э т и х ч и сел

и ч а ст н о е у м н о ж и т ь

н а каж д ое

и з

э т и х

ч и с е л .

Решим

приведенную выше задачу.

-И

100 •

2

ЛГо —

юо • з

= 60.

2 + 3 = 40;

2 +

3

О т в е т .

40

и 60.

Аналогично делят числа па три и более частей, пропорционально

данным числам.

Разделить

780

на

четыре

части

пропорциональна

З а д а ч а .

через х ±, л-2, х 3 и л"4, то:

Aj : л'2 = 1 ,5

: 0,75;

л-2 : л3 =

0,75 : 0,4;

л'з : л-.] =

0,4 : 1,25;

Коротко условились записывать это так:

.Vi : х2 : А'з : ,v4 = 1 , 5 :

0 ,7 5 : 0 ,4 : 1,25.

После замены отношения дробных чисел отношением целых чисел

получим схематическую запись:

* i: Аз : Л'з: л-4 = 30 : 15

: 8 : 25.

3 0 + 1 5 + 8 + 2 5

’

А-! =

10 • 30 =

300,

л» =

10 • 15 =

150 и т. д.

н ы м ч и с л а м ,

н а д о

р а з д е л и т ь

его

п р я м о

п р о п о р ц и о н а л ь н о ч и с л а м ,

о б р а т н ы м д а н н ы м .

52

на три

части обратно пропорцио­

З а д а ч а .

Разделить число

нально числам

4, 6

и 8.

Р е ш е н и е .

Числа, обратные данным,

будут: 44- ,

4о- ,

о ■Сле-

довательно, л*, : л*2 : д*а

1

1

1

■ Г

4

О

4

to

о

= b

: 4 : 3.

6

—р 4 - р 3

5 2 - 4

- т г =

16,

6 —}—4 —f—3

52 • 3

=

12.

л'з : : 6 + 4 +

3

О т в е т . 24,

16 и

12.

§

36.

Арифметические

задачи

1.

Общие сведения. Различают арифметические

задачи н а вы

л е н и е ,

д о к а за т е л ь с т в о

и и сслед о ва н и е .

Рассмотрим несколько арифметических задач.

Сколько

1. У ученика было 12

тетрадей,

5

тетрадей

он списал.

тетрадей у него осталось?

к трехзначному

числу

приписать такое же

2.

Доказать,

что если

на 7,

11 и 13.

дают в ос­

3.

Существуют ли числа, которые при делении на 9

татке 5, а при делении на 15 дают остаток 6?

Первая нз этих задач — на

вычисление, вторая — на доказатель­

ство,

третья — на исследование.

даны некоторые числа, соот­

В каждой

арифметической

задаче

ношения и т.

д. и сформулированы некоторые

требования. То, что

дано в задаче,

называется

ее

у с л о в и е м

*, что

требуется

сделать —

т р е б о ва н и е м или в о п р о со м .

Р е ш и т ь з а д а ч у — значит выполнить то, что

требуется в ней. В результате

решения

задачи

получают

о т в е т или

р е ш е н и е .

единственного ответа. Такие задачи

называют

о п р е д е л е н н ы м и . Но

иногда встречаются задачи, имеющие

несколько

и даже

бесконечное

множество решений; их называют н е о п р е д е л е н н ы м и задачами.

Бывают

и такие задачи, которые не имеют ни одного решения;

их называют

п е р е о п р е д е л е н н ы м и задачами. Иногда

к

переопределенным

относят

* Иногда условием задачи называют

есю

задачу,

включая

и вопрос или

требование.

гих

величин, находящихся в определенной

зависимости между собой

н с

искомым. Необходимыми элементами

арифметической задачи на

вычисления являются:

Все

арифметические задачи

на вычисление принято делить на

простые

и составные. П р о с т ы м и

называются задачи, которые можно

действием,

называют с о с т а в н ы м и .

составных

арифметических задач.

Рассмотрим

важнейшие

типы

3. Задачи

на

нахождение

двух

чисел

по

их сумме и разности.

З а д а ч а

1.

Кусок полотна

в

104 .и надо разрезать на 2 такие

части, чтобы в первой было

на

16 м больше, чем во второй. Сколько

метров полотна будет в каждой части?

по длине была такая

Р е ш е н и е .

Если бы первая

часть куска

же, как

вторая,

т. е. на

16

м

меньше,

чем в

действительности

(рнс. 8), то весь кусок

имел

бы

J04

•— 16 м = 88 м .

16

4

i

I

104

I

I

I

I

L

J

Рнс.

8.

Разделив его

пополам,

получим

длину второй части:

88 м

: 2 = 44 м .

Тогда

первая

часть имеет:

44 м -j- 16 м = 60 м .

О т в е т . 60 л/ и 44 м .

П р и м е ч а н и е.

Вместо

последнего

действия

можно было бы

выполнить

иное:

104 м — 44 м — 60 м .

104

м

+

16 л i =

120 м ,

120 м

:

2 = 60 м ,

44 м .

60

м

— 16 м =

Рнс.

9.

З а д а ч а

2.

На

опытном

участке

площадью

940 к в . м

имеется

виноградник,

фруктовый сад,

полевые культуры

и овощи. Площадь

виноградника

меньше

площади сада на 120 к в . м , площадь

под по­

левыми

культурами

больше

площади

виноградника на

40 к в .

м ,

а

площадь

под

овощами меньше площади полевых культур

на

60

к в .

м .

Какова

площадь сада,

виноградника,

полевых

культур

приведенных

выше чисел,

получим

учетверенную площадь под ово­

щами:

940 — (60

+ 20 +

140) = 720 ( к в .

м ) .

Тогда площадь под овощами равна:

720

к в . м :

4 =

180 к в . м ,

под полевыми

культурами:

180 к в .

м -}- 60 к в .

м = 240 к в .

м ,

под

виноградником:

под садом:

180 к в .

м -}- 20 к в .

м

=

200 к в .

м ,

180 к в .

м

-(- 140 к в .

м

=

320 к в . м .

О т в е т .

320 к в .

м ,

200 к в . м , 240 к в .

м и

180 к в . м .

\20

г

4Z-

I----------------------------------------------

1

I

4О

6 0

------------------------------------------

г ' -

-

- - — ,

Рис.

10.

З а д а ч а

3.

В

двух

участках

земли

было

24,27 га .

Если бы от

первого отрезать 3,5

г а

и

прибавить

ко

второму, то в первом

все-

таки

оказалось

бы

на 0,61 г а больше,

чем во втором.

Каковы

раз­

меры каждого

участка?

второго (рис.

11) на

Р е ш е н и е .

Первый участок больше

3,5

■2 + 0,61 =

7,61 (га ).

3 .5

0.61

3.5

первого ящика?

О

Принимаем, что число болтов

в первом

ящике со­

Р е ш е н и е .

ставляет одну

часть. Тогда число болтов во

втором ящике составит

2

390 болтов

составляют

2

-т-такой части. Следовательно,

1— части.

О

ящике

и

Значит, в первом

390 : 1^- = 23-1 (болта),

а во втором

«3

23-1 ■-Т-=

156 (болтов).

О т в е т .

234 болта, 156 болтов.

14.

Частное от деления

З а д а ч а

2.

Разность двух

чисел равна

шее — 4-^- таких

частей. Имеем:

4-^—

■1 = З- i

(части)

составляет

j

о

о

разность

чисел

14;

14:3-^- =

4-^---- меньшее

число;

4- ^- - 44- =

о

о

5

о

= 18—-----большее число.

О

18,2 и 4,2.

О т в е т .

3

раза больше

муки,

чем на

З а д а ч а

3.

На

одном складе в

другом.

Если

из

одного склада

вывезти

850 к г ,

а из другого

50 к г ,

то

на обоих складах

останется

муки

поровну.

Сколько

муки было

на

каждом складе?

150кг

8 0 0 к г

j

8 5 0 кг

I