книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

В 1877 г. в Париже

на средства двадцати государств — участни­

ков «Конференции

метра» было создано

«Международное бюро мер

и весов», которому вменено

в обязанность хранить эталоны мер и

изготовлять их образцы.

был

изготовлен

из устойчивого сплава пла­

Новый эталон

метра

чины, взятое вместе с

указанием единиц измерения, называется и м е ­

н о в а н н ы м

числом. Так, 5 к г ,

35 с м — именованные

числа. Если же

при числе

не указано

единиц

измерения, то такое

число называется

вание

именованного

числа

в единицы какого-нибудь

низшего наиме­

нования называется

р а з д р о б л е н и е м ,

а обратное преобразование в еди­

ницы высшего

наименования

называется п р е в р а щ е н и е м ,

или у к р у п н е ­

н и е м .

Так, преобразование

числа

2 к м 25 м

в 2025 м

есть

раздроб­

ление, а обратное преобразование

числа

2025

м

в

2

к м

25 м —

превращение.

Раздробление

и превращение

именованных

чисел

вы­

полняется в большинстве случаев устно и записывается так:

Р а з д р о б л е н и е :

75

руб. 17

коп. = 7517 коп.;

7 к г

250 г = 7250 г;

27 м

15 см

5 м м

=

27155 м м .

П р е в р а щ е н и е :

3574 коп.= 35 руб.

74 коп.;

6005 м = 6

к м

5 м .

В отдельных случаях,

если устно трудно

выполнить

раздробле­

X

60

17

+

1020

24

X

1044

60

+

62640

39

17 ч 24 м и н

39 сек —

62679 сек .

62679

с

3.

Действия

с именованными

числами.

Арифметические действия

именованными

числами выполняются так же, как и с отвлеченными

числами, только здесь иногда одновременно с выполнением действия

делают

и некоторые

преобразования.

Поэтому

различают действия

с п р е о б р а зо в а н и е м и б е з п р е о б р а зо в а н и й .

записывать действия

с

Ниже на примерах показано, как

принято

именованными

числами.

_37 к м

750м

_7 м

2 д м

5 см

15 к м

385м

5 м 8 д м

6 см

22

к м

365м

1

,ч 3 д м

9 см

У м н о ж е и и е

умножении

составных

именованных чи­

сел

Запись

при

письменном

можно

вести по двум

формам.

• П р и м е р .

35 к м

252 м

X

125.

А.

35 к м

252 м

v 252 м

х

35 к м

х ________ 125_

х

125

125

4406 к м

500 м

+

1260

+

175

504

70

252

35

31500 м = 31 к м

,

4375 к м

500 м

500 м

31 к м

4406 к м

500 м

Б.

35 к м 252 м

х

125

v

35252 м

х

125

+

176260

70504

35252

4406500 м

4406 к м

500 м

Д е л е н и е

различают два

случая:

При делении именованных чисел

т.

е.

ле

а)

деление

именованного

числа

на

абстрактное

число,

лсние на равные части;

числа

на

именованное

число,

т.

е.

де

б)

деление

именованного

ление

по содержанию.

выполняется так:

а)

Письменное д е л е н и е

н а

р а в н ы е

ч а с т и

Б е з р а з д р о б л е н и я .

_ 312 к г 420 г

|

12

24

26 кг

35 г

72

— 72

420 г

36

60

~ 6 0

0

С р а з д р о б л е н и е м .

5

к г 120 г

|

16

5120 г

320~г

48

“

32

32

0

б)

Письменное д е л е н и е

п о

с о д е р ж а н и ю выполняется так:

65 ч 15 м и н

| 45 м и н

3915 м и н

87

~ 3 6 0

деления

одного

числа на другое называется также

их о т н о ш е н и е м .

Таким образом,

частное и отношение обозначают одно и то же

поня

тне.

Однако,

когда

говорят

«частное»,

имеют в виду одно

число,

полученное е

результате деления двух данных чисел.

Когда же

гово­

рят

«отношение»,

имеют в виду

пару

чисел,

соединенных

знаком

деления.

Например,

если

разделить

10

на 2,

получим

10 :2 = 5.

В данном случае говорят, что частное

от

деления 10 на

2 равно 5,

говорят

также,

что

отношение

10

к 2

равно 5.

Но

само

отношение

данных

чисел

записывают в виде

10 :2,

или —■. Понятно,

что числа

10 :2 и 5

равны.

Поэтому

и говорят,

что

отношение — то же самое,

что

и частное.

Для обозначения отношения используют дробную черту или

двоеточие — знак деления.

вопрос, во

Определив величину отношения, получаем ответ на

сколько раз одно число больше другого или какую часть

другого

числа оно составляет.

В общем

виде отношение записывают так: а

: Ь.

Первый

член а

Числа

а

и

Ь

называются

ч л е н а м и

о т н о ш е н и я .

называется п р е д ы д у щ и м , второй Ь — п о с л е д у ю щ и м . Например, в отно­

шении 4 :5

число 4 есть предыдущий член, 5 — последующий.

Из двух

чисел

можно составить

два

отношения,

например

из

7

и 8

имеем:

8 :7

и 7 : 8 .

Эти отношения отличаются друг от друга тем, что пре­

дыдущий член одного является последующим членом другого

и наобо­

рот. Такие

два отношения

называются

о б р а т н ы м и .

Произведение

обратных отношений

равно единице:

'

Так

как

отношение

двух

чисел получают с помощью

деления,

то

для

него

справедливы все

свойства

частного.

О сн о вн о е

сво й ст во

о т н о ш е н и я :

в е л и ч и н а

о т н о ш е н и я

н е

и з м е н и т с я , е с л и его

ч л е н ы у м н о ­

ж и т ь и л и р а з д е л и т ь

н а

о д н о

и

т о

ж е ч и сло .

Чтобы получить отношение

двух именованных чисел, надо дать

эти числа в одних единицах измерения.

к 2,92 м .

П р и м е р . Найти отношения 73 с м

„

73 см

73 см

п

Р е ш е н п е - 2Щ ~Л1 ~ 292~сл1 = 0,25‘

отношения дробны

2.

Сокращение

членов

отношения н замена

чисел отношением целых чисел.

Используя

основное

свойство отно­

шения,

выполняем два

преобразования:

1)

сокращение членов отно­

П р и м е р

1. Сократить члены отношения: 48:32.

Р е ш е н п е . 48 : 32 = 3 : 2.

дробных чисел отношением

П р и м е р

,

2.

Заменить

отношение

целых чисел:

1

2

1

— : — .

„

,

1 2

3

2

9

4

„ .

Р е ш е н и е .

1у : у

у у = т : т = 9 : 4.

П р и м е ч а н и е .

Раньше различали р а з н о с т н ы е

отношения (вида

а — Ь) и к р а т н ы е отношения (вида а : Ь).

Теперь понятие «разностное

отношение» не употребляют.

А то,

что раньше называли «кратным

отношением», называют «отношением».

§

33. Пропорции

1. Понятие о пропорции. П р о п о р ц и е й

называют

равенство двух

отношений.

Общий

вид пропорции: ~ =

— , или а

: Ь — с : й .

Примеры

пропорций.

3 :4 =

9:12,

2 _ _

8_

3

12 ’

сится к 2-тг-, как

1-i- к

— » н т. д. Или: «отношение 3 к 4 равно

/•

О

6

Члены отношений,

составляющих

пропорцию,

называются ч л е ­

н а м и п р о п о р ц и и .

Пропорция

состоит

из

четырех

членов.

Первый

и последний

члены, т.

е. члены, стоящие

по краям,

называются

к р а й н и м и ,

а

члены

пропорции,

находящиеся

в середине,

называются

с р е д н и м и

членами.

Так,

в первой пропорции числа 3

и 12 будут край­

ними членами, а числа

4 и 9 — средними

членами

пропорции.

Все члены пропорции могут быть абстрактными числами,

но два

о 1

с

1

5

З у

к г : 5

к г = -у

м : у м .

2. Основное свойство

пропорции.

П р о и з в е д е н и е

к р а й н и х ч ле н о в

п р о п о р ц и и р а в н о п р о и з в е д е н и ю с р е д н и х ее ч л е н о в .

В общем виде это свойство

пропорции

записывают так:

_

2

:

Р е ш е н и е . — ■-g- =

• 20. Пропорция правильная, так как

этих четырех чисел можно составить пропорцию.

3.

Вычисление неизвестных членов пропорции. Вычисление неи

вестного члена пропорции называют решением пропорции.

Для вычи­

сления

членов пропорции используются следствия из ее основного

свойства.

1) Н е и з в е с т н ы й к р а й н и й ч л е н п р о п о р ц и и р а в е н п р о и з в е д е н и ю с р е д ­

н и х

ч л е н о в ,

д е л е н н о м у н а и зве с т н ы й

к р а й н и й , т. е. если

х : а — b : с,

то

л* =

a b

— .

с

2) Н е и з в е с т н ы й с р е д н и й ч л е н п р о п о р ц и и р а в е н п р о и з в е д е н и ю к р а й ­

н и х ч л е н о в ,

д е л е н н о м у н а и з в е с т н ы й

с р е д н и й , т. е., если

а : х = 6 :с,

3

12 •4Т

4

П р и м е р 1. х : 12 = 4—

х =

12 -

19 • 8

Q

= -4 Т 5 т ~ = 8-

П р и м е р 2.

5

10,4 : 3-у =

52

5_

5

'

И

5 2 - 7

14

3

“

26

1 1 -26

1 1

1 1 *

7

а : b = с : d

с : d = а : b

d

: b = с

: а

b : d

=

a : c

а

: с = b

: d

c : a =

d

: b

d : c = b : a

b : a

= d

: c

Для

всех

этих

пропорции выполняется

основное

свойство:

a d = be.

Выполнить

возможные

перестановки

членов в про­

П р и м е р .

порции

5 : 3 =

20 : 12.

Р е ш е и и е.

5 : 3 = 20 : 12

3 : 5 = 12 : 20

5 : 20 =

3 : 12

3

:; 12 =

5 :: 20

20 ::

5 = 12 :

3

12 : 20 =

3 ::

5

20 :

12 =

5 ::

3

12 : 3 =

20 ::

5

П р и м е ч а и и е.

Если

в пропорции средние

или

крайние

члены

равны (такие пропорции называют

н е п р е р ы в н ы м и ), то

из

нее можно

получить путем перестановки членов только

4

разных

пропорций.

Например,

18:

6 =

6 :2

2 : 6 =

6:

18

6 : 1 8 =

2 : 6

6 : 6 = 18:

6

5.

Упрощение

пропорций.

К

числу

преобразований,

не riapy-

порции, в частности освобождать их от дробных членов.

П р и м е р ы.

Упростить

пропорции:

а)

| =

20:30;

, 0

15

1Г

10

1

б) 1 2 : п = 1 6 : т ; в) т : — = 20 : — .

48

6

Р е ш е н и е.

а)

Приведем дроби к общему знаменателю:

: -= =

= 20:30.

Умножив

на

8 оба

члена

первого

отношения,

О

о

получим:

2 : 3 =

20 : 30.

б)

Приведемдроби

к

общему

знаменателю:

12: — = 1 6 : - ^ .

Умножив оба последующих члена на

14,

получим

1 2 : 1 5 = 1 6 : 2 0 .

в)

Умножив все члены

1

1

5

48,

полу-

пропорции -= : -= =

20 : -= на

чим 24

:1 = 960 : 40,

или 24 : 1

Z

4о

о

= 96 : 4.

5 5-353

129

а)

о + Ь

с +

д

Словами это можно выразить так.

С у м м а

ч л е н о в п ер во го о т н о ­

ш е н и я

д а н н о й п р о п о р ц и и

о т н о с и т с я

к

его

п о с л е д у ю щ е м у

ч л е н у , к а к

с у м м а

ч ле н о в в т о р о го

о т н о ш е н и я

о т н о с и т с я

к

его п о с л е д у ю щ е м у .

п

с

5

20

8

=

32

П р и м е р .

Если

™

T

W

Аналогично

из данной

пропорции

можно

получить

следующие:

б)

с — d

d

’

щему члену, как разность

членов

второго отношения к его после­

дующему члену;

„ч

a + b

C + d

>

.

о. -f- b c + d

Д)

а^Ь ~ 7^1'

a -f- с

а

с

называются п р о и з в о д н ы м и п р о п о р ц и я м и .

Последний пример производной

7.

Свойство равных отношений.

пропорции можно обобщить на случай нескольких равных отношений.

Если

ТО

°i ~f~ g 2 4~ •••-)- ап _ щ

bi Н~ Ь2-j- ■ ■ • -[- Ьп

Ьх '

( у м е н ь ш е н и е м ) з н а ч е н и я о д н о й и з н и х в н е с к о л ь к о р а з с о о т в е т с т в у ю ­

щ ее з н а ч е н и е д р у г о й у в е л и ч и в а е т с я

( у м е н ь ш а е т с я ) во с т о л ь к о ж е р а з ,

т о т а к и е в е л и ч и н ы в а р и ф м е т и к е

н а з ы в а ю т с я п р я м о п р о п о р ц и о н а л ь ­

н ы м и *.

при

П р и м е р

ы. Время работы и заработок,

полученный за это время

поденной

оплате

труда, — величины

прямо пропорциональные,

так

как чем

больше

работает рабочий,

тем

больше его заработок,

5*

131