книги из ГПНТБ / Швецов К.И. Справочник по элементарной математике арифметика, алгебра

П р и м е р ы .

В

числе

2,06(±0,005)

цифры 2, 0 точные,

а 6

—

сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные,

а

6

—

сомнительная. В

числе

35 000, полученном

в результате

округления

до тысяч, цифры

3 и 5 точные, а

все три

нуля — сомнительные.

Правила подсчета

цифр

тесно связаны с п р и н ц и п о м

Л.

Н .

К р ы ­

л о в а

(1863—1945):

П р и б л и ж е н н о е

ч и с л о с л е д у е т п и с а т ь

т а к , чт обы

в н е м

все з н а ч а щ и е

ц и ф р ы ,

к р о м е

п о с л е д н е й , б ы л и в е р н ы

и

л и ш ь

п о ­

е д и н и ц у .

Например, если приближенное число записано так:

х я 3,52,

то это значит, что оно дано с точностью до сотых,

т. е. л- я 3,52(±0,01).

F-сли же

известно, что х я 3,72 (±0,02), то,

согласно

принципу

собом,

выполняют как

и над

точными числами,

но,

придерживаясь

таких

правил.

подсчета цифр. I.

2.

Правила

П р и с л о ж е н и и и

в ы ч и т а н и и п р и б л и

ж е н н ы х ч и с е л в р е з у л ь т а т е с л е д у е т с о х р а н я т ь ст о л ь к о д е с я т и ч н ы х

з н а к о в ,

с к о л ь к о

и х

в

п р и б л и ж е н н о м

д а н н о м

с

н а и м е н ь ш и м

ч и сло м

д е с я т и ч н ы х з н а к о в .

сумму

приближенных

чисел

127, 42,

67, 3,

П р и м е р .

Найти

0,12 и 3,03.

Р е ш е н и е.

127,42

,

67,3

">■

0,12

3,03

197.87 я

197,9.

П р и м е р .

Найти

разность чисел:.418,7 — 39,832

Р е ш е н и е.

II.

П р и

у м н о ж е н и и

и д е л е н и и

п р и б л и ж е н н ы х

ч и сел

в п р о и зв е д

н и и

н а д о

с о х р а н и т ь с т о л ь к о

з н а ч а щ и х

ц и ф р , ск о л ьк о

и х

ест ь

в д а н ­

н о м

ч и с ле с н а и м е н ь ш и м к о л и ч е с т во м з н а ч а щ и х ц и ф р .

12,32.

П р и м е р .

Умножить приближенные числа 3,4 и

7,6

З а д а ч а .

Площадь

прямоугольной

грядки приближенно равна

к в . м , ширина — 2,38 м . Чему равна

ее длина?

на

Р е ш е н и е .

Длина

грядки

равна

частному от деления 7,6

2,38.

Действие деления выполняют так:

_

7,60 |

2,38

7.'4

3,19 и 3,2 (м ).

460

чив в частном две значащие цифры,

заметив,

что

остаток

больший

половины делителя, округлить частное с избытком.

III.

П р и

в о зв е д е н и и п р и б л и ж е н н ы х

ч и с е л

в

к в а д р а т

и

к у б

в

р е з у л ь ­

т а т е с о х р а н я е т с я

ст о л ь к о

з н а ч а щ и х

ц и ф р ,

с к о льк о

и х

в

о с н о в а н и и *.

П р и м е р ы.

2,32

=

5,29 » 5,3;

0,83

=

0,512 к: 0,5.

IV. В промежуточных

результатах

следует брать

одной

цифрой

больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

знаков

V.

Если

некоторые

данные имеют больше десятичных

(при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при

действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно сле­

дует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

точностью, то для

VI.

- Если данные можно брать с произвольной

получения результата

с к

цифрами

данные

следует

брать

с таким

числом

цифр, которое

дает согласно

правилам

I—IV

к -(- I цифру

П р и м е р .

Найти значение х = ——

, если а « 9,31, Ь к 3,1,

Р е ш е н и е ,

а — 6 =

9,31— 3 ,1 = 6 ,2 1 ;

(а — 6 ) с =

6,21

• 2,33 я

14,5;

а -f- b =

9,31

+ 3,1 =

12,4;

х =

14,5

: 12,4 и

1,2.

О т в е т , х

к 1,2.

Имеем:

3,15 <

х <

3,25,

откуда 1 1 , 0 0

7,85 <

у

<

7,95,

< x-j- у

<

1 1 ,2 0 .

Итак, x -j- у к ,

11,1 (±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сум­

ме нижних границ слагаемых, а

верхняя — сумме

верхних границ

слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ (* + !/) =

НГх + НГ//;

ВГ (х + у )

= ВГх + ВГ//.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ ( а -у ) =

НГх •

НГ//;

ВГ (ау ) =

ВГх • ВГу .

Для обратных действий — вычитания

и деления — соответствую­

щие правила

имеют такой вид:

ИГ (х — у )

=

НГх — ВГ//;

ВГ (х — у )

= ВГх — НГу .

НГ

х

НГх

ВГ

_

ВГх

У

ВГу

'

_

Н Г //‘

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять

НГ

можно

только по

недостатку,

а ВГ — по из­

бытку;

разность

ВГх — НГх,

тем точнее

определяется х;

2) чем меньше

3) в качестве приближенного значения х рекомендуется брать

среднее арифметическое чисел НГх и ВГх или число,

близкое к нему.

примере.

Найти значение

П р и м е р.

... _ (а — Ь) с

а

+ Ь

’

если а и 9,21 (±0,01);

6 ^ 3,05 (±0,02),

с я 2,33 (±0,01).

Р е ш е н и е .

Определяем НГ

и ВГ каждого из чисел а , Ь, с и,

выполнив над ними соответствующие действия,

находим

НГ и ВГ

числа х .

Запись удобно оформить в виде такой таблицы.

Компоненты

НГ

ВГ

1,15 < х < 1,19

а

9,20

9,22

, 1. 15

1,19

“г

1,19

“ 1,15

Ь

3,03

3,07

с

2,32

2,34

2,34

0,04

а — b

6,13

6.19

2,34:2

=

1,17;

0 ,0 4 :2

= 0 ,0 2

(а — Ь) с

14.22

14,49

а + 6

12.23

12,29

я 1,17 (±0,02).

л*

1,15

1.19

х

Л и т е р а т у р а .

Энциклопедия элементарной математики, I, М, 1951.

В. М.

Б р а д и с ,

Средства и способы элементарных

вычислений, Учпедгиз,

М., 1954.

И з м е р и т ь

какую-нибудь величину — значит сравнить ее значение

со значением другой величины такого же рода,

принятой за единицу.

В каждом

государстве

установлены

определенные единицы для

измерения основных величин.

Единицы

измерения,

вошедшие

в упо­

требление, называются м е р а м и . Так, сейчас у

нас

приняты:

за еди­

ницу длины метр, за единицу

веса — грамм, за

единицу

времени —

секунда и т. д.*.

пользовались такими мерами,

а

в неко­

Однако не всегда у нас

2.

Старые русские меры.

Некоторые старые русские меры и со

ношения между ними.

М е р ы

д л и н ы

Миля содержит

саженей я 1,0668 к м

Верста

»

500

Сажень

»

3 аршина я

2,1336 м

Аршин

»

16 вершков я 0,7112 м

Сажень

»

7 футов я 213,36 см

Фут

»

12 дюймов я

30,48 с м

Дюйм

*

10 линий я

2,54 с м

М е р ы

в е с а

Пуд содержит 40 фунтов (1

пуд я 16,4 к г )

Фунт

»

32 лота

Лот

»

3 золотника

Золотник »

96 долей

3. Английские меры.

М е р ы

д л и н ы

1

мил

содержит 0 , 0 0 1 дюйма

1

ладонь

»

4

дюйма

1

пядь

з>

9

дюймов

1

фут

г

1 2

дюймов

1

ЯРД

3)

3

фута

1

пол

»

5,5 ярдов

1

фурлонг

»

2 2 0

ярдов

1

англ, миля

»

8

фурлонгов

1

лига

»

3

мили

ярд равен

3600

ш

м .

М е р а , в е с а

унция содержит

16 драхм

фунт

»

16 унций

стоун

»

14 фунтов

британская четверть содержит 2 стоуна

четверть (в США)

25

фунтов

1

центнер

4

четверти

1

тонна

тонна

(бри­

2 0

центнеров

1

длинная

2240

фунтов

танская мера)

2 0 0 0 фунтов

1

короткая

тонна

(в США)

П р и м е ч а н и е . Основной единицей веса в

Англии и США

является фунт. Он равен 0,453559243 килограмма.

Перечень других

Дециметр

(д м ) — 0,1 м

Декаметр

( д к м ) — 10 м

Сантиметр

( с м ) — 0,01 м

Гектометр

( г м ) — 100 м

Миллиметр (м м ) — 0,001 м

Километр ( к м ) — 1000 м

Микрон

или микрометр (|л) —

Мириаметр ( м м ) — 10000 м

0 , 0 0 0 0 0 1 м

Мегаметр — 1000000 м

Миллимикрон (пцс) — 0,000000001 м

М е р ы п л о щ а д и

Основная единица — квадратный метр (к в .

м , или м 2)

Б о л е е м е л к и е е д и н и ц ы

Б о л е е к р у п н ы е е д и н и ц ы

Квадратный

дециметр

(кв .

д м )

=

Квадратный

декаметр

или

ар

Квадратный

= 0 , 0 1

к в .

м

(а ) = 1 0 0 к в . м

сантиметр

(к в .

с м )

=

Квадратный гектометр или гек­

= 0 , 0 0 0 1

к в .

м

тар

(га ) = 1 0

0 0 0 к в .

м

Квадратный миллиметр

(к в .

м м )

=

Квадратный километр (к в . /&«)=

= 0 , 0 0 0 0 0 1

к в .

м

= 1 0 0 0

0 0 0 к в .

м

а )

Г а з о о б р а зн ы х и т в е р д ы х т е л

Основная

единица — кубический

метр,

или стер ( к у б .

м ,

или

м 3)

Б о л е е м е л к и е е д и н и ц ы

Б о л е е к р у п н ы е е д и н и ц ы

Кубический

дециметр

( к у б .

д м )

=

Кубический километр ( к у б . к м ) =

Кубический

сантиметр

0 , 0 0 1 к у б .

м

= 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 к у б .

м

( к у б .

с м )

—

= 0 , 0 0 0 0 0 1 к у б .

м

Кубический миллиметр ( к у б . м м )

—

= 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1

к у б .

м

б) Ж и д к о с т е й и с ы п у ч и х т е л

Основная единица — литр

( л ) — объем

1 к у б .

д м .

Точнее

1 л

—

— 1,000028

к у б . д м .

Б о л е е м е л к и е е д и н и ц ы

Б о л е е к р у п н ы е е д и н и ц ы

Децилитр (дл) = 0,1 л

Декалитр

( д к л ) =

\ 0

л

Сантилитр (сл) = 0,01 л

Гектолитр

(гл )

=

100 л

Миллилитр (.ил) = 0,001 л

Килолитр ( к л )

—

1000

л

Микролитр ( м к л ) = 0,000001 л

М е р ы

в е с а

Основная

единица — грамм (г)

вес 1

к у б . с м чистой дистиллиро­

ванной воды

при 4° С и

атмосферном

давлении

760

м м

p m . c m .

Б о л е е м е л к и е е д и н и ц ы

Б о л е е к р у п н ы е е д и н и ц ы

Дециграмм (д г ) = 0,1

г

Декаграмм (д к г ) =

10 г

Сантиграмм (сг) = 0,01 г

Гектограмм = 100 г

г

Миллиграмм (м г )

= 0,001 г

Килограмм (кг) = 1000

Микрограмм =

0,000001 г

Центнер (ц )

= 100 к г

Карат

( к ) = 0,2 г

Тонна (т ) —

1000 к г

няла

Международную

систему

единиц

SI

(СИ — система

интерна­

циональная) в качестве универсальной системы для всех

отраслей

пауки и техники.

г. Комитет стандартов,

мер

и измерительных

В сентябре 1961

приборов при Совете Министров СССР

утвердил

новый

государст­

венный стандарт «Международная

система

единиц»

(ГОСТ

9867-61)

для

предпочтительного его применения с 1 января

1963

г.

во всех

областях науки, техники и народного

хозяйства.

Международная система единиц состоит из шести основных еди­

ниц: метра

( м ) — для длины, килограмма

( к г ) — для массы, секунды

(с е к )

— для

времени,

градуса

Кельвина

(°К) — для

термодинамиче­

ской

температуры, ампера ( а )

— для силы

тока

и

свечи

( с в ) — для

силы света; двух дополнительных

единиц: радиана ( р а д ) — для плос­

кого угла и

стерадиана ( с т е р ) — для

телесного угла и 27 важнейших

производных

единиц: площади — квадратный

метр

( м 2) ,

объема —

кубический

метр ( м 3) ,

линейной скорости — метр на секунду

( м /с е к ) ,

угловой

скорости — радиан на секунду ( р а д /с е к )

и др. *.

Большинство определений основных единиц в системе СИ является

новыми. Например:

« М е т р — длина,

равная

1650763,73

длин волн

в вакууме

излучения,

соответствующего

переходу

между

уровнями

2Р10

и 5d s

атома криптона 8 6 »; « К и л о г р а м м

— единица

массы

представлен

массой

международного

прототипа

килограмма»; «Се­

к у н д а

— 3 1 5 5 6 9 2 5

9 7 4 7 часть

тропического года

для 1900 г. января

0 в

1 2

часов

зфемеридного времени».

вызвана тем,

что старые опре­

Необходимость

новых определений

степень числа 1 0 , соответствующую

приставке, присоединенной

к на­

именованию основной единицы**:

* М. Г. Б о г у с л а в с к н II и др.,

Таблицы

перевода единиц измерений,

Стандартгиз, М ., 1963.

** 10— 1, 10— 2, . . . обозначают соответственно

. . . . (см. стр.

210).

особые системы измерений; особенно

много их было в средние века

и в новое время, когда Европа была

раздроблена на много мелких

В старых русских рукописях (в

«Русской правде»

и др.) сохра­

нились

сведения о единицах измерения,

которыми

пользовались

в IX—XIII вв. в Киевской Руси. Подобно тому, как это было в За­

падной

Европе, отдельные русские

земли

имели свои

меры и весы.

ствовали 1 0 0

различных футов (рабочий, землемерный,

ткацкий,

портняжный,

инженерный, геометрический и др.), 1 2 0

различных

собственным аршином и собственным фунтом, они

извлекали

для

себя максимальные прибыли.

научными

инте­

Реформа системы мер была вызвана не столько

революции

и была

введена

во Франции

7 апреля 1795

г. В основу

метрической

системы

была

положена

единица длины — метр, равная

длине одной

сорокамиллионной

части

Парижского меридиана. Все

остальные единицы

измерений находились в определенных соотноше­

ниях с метром, причем за основу была

принята десятичная система

счисления, вследствие чего метрическая

система экономически была

самой выгодной.

Несмотря на эю ,

проведение новой системы в жизнь

встретило

большие

препятствия.

Проведение реформы

мер было не

в интересах

крупной

буржуазии,

пришедшей к власти

во Франции,

а восстановление

королевской

власти

(1815 г.) содействовало забве­

метрии

Н.

И.

Лобачевского,

мотивируя

тем,

что

в нем за единицу

длины принят метр, а за единицу измерения

дуг— градус,

а «сне

разделение

выдумано было во

время Французской

революции,

когда

бешенство

нации уничтожить

все прежде бывшее

распространилось

даже до календаря и деления

круга».

наук обратилась к научным

В 1869 г. Петербургская

Академия

учреждениям

всего мира с призывом пересмотреть

основание

метри­

ческой

системы с тем, чтобы она могла

стать

международной.